鄭修才， 黃宗媛， 吳 臻

(山東大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，濟南250100)

1 引 言

普通集合(有限普通集合，無限普通集合)及其運算是大學(xué)數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容，無論是數(shù)學(xué)專業(yè)還是工科類專業(yè)學(xué)生，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的學(xué)習(xí)中都會遇到.不僅如此，集合這一概念在計算數(shù)學(xué)、運籌學(xué)等其他數(shù)學(xué)分支中也占據(jù)著十分重要地位，因此對集合概念的理解與應(yīng)用成為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要環(huán)節(jié).

給定一個有限普通元素集合X={x1,x2，…,xn}，在X內(nèi)潛藏著以下特征：Ⅰ集合X表示的概念內(nèi)涵與外延清晰(表示非此即彼概念)；Ⅱ集合X是精確的；Ⅲ 集合X是靜態(tài)的，不允許X內(nèi)的元素從X內(nèi)遷移到X外，也不允許X外的元素進(jìn)入到X內(nèi).特征Ⅰ-Ⅲ刻畫了有限普通元素集合X的本質(zhì).

隨著應(yīng)用科學(xué)與技術(shù)的進(jìn)步，不斷涌現(xiàn)的新問題或研究領(lǐng)域，常常需要用數(shù)學(xué)語言給出刻畫與描述.對于集合(普通集合)而言，在實際應(yīng)用中往往會遇到一些問題，例如：

(i)A={a1,a1,…,an}是“老年人”構(gòu)成的集合，ai今年74歲是“老年人”，aj(i≠j)今年70歲，是不是“老年人”？用普通集合概念無法給出確切的答案，理由是：集合A表示的概念是內(nèi)涵清楚，外延不清楚(表示亦此亦彼概念)；

(ii) 以等價類[x]作為元素構(gòu)成集合B，B的邊界不規(guī)則，用普通集合概念精確表達(dá)B有困難；

(iii) 集合C中的元素xi在一定條件下從C內(nèi)遷移到C外，C外的元素xj在一定條件下從C外遷移到C內(nèi)，用普通集合的靜態(tài)性不能確切表達(dá)C.

問題(i)-(iii)在信息科學(xué)，信息工程的應(yīng)用研究等領(lǐng)域及大數(shù)據(jù)分析中經(jīng)常遇到，對這些問題的研究與認(rèn)識一直困擾著相關(guān)使用者，也迫使人們尋找新的集合概念給予刻畫和表達(dá).

1965年，美國學(xué)者L.A.Zadeh教授提出模糊集合[1]的概念并給出模糊集合的結(jié)構(gòu)與特征，為研究一類內(nèi)涵清楚而外延不清楚的問題提供了數(shù)學(xué)理論支持.目前，模糊集合已被廣泛地應(yīng)用于模糊控制、模糊決策與模糊識別等眾多領(lǐng)域.1982年，波蘭人Z.Pawlak提出粗集合[2]的概念并給出粗集合的結(jié)構(gòu)，用下近似R-(X)與上近似R-(X)共同近似表達(dá)邊界不規(guī)則的普通集合X，為研究一類近似問題提供了方便.2008年史開泉教授提出P-集合[3，4]的概念并給出其結(jié)構(gòu)，為研究一類動態(tài)問題提供了新的思路.模糊集合、粗集合與P-集合都是由普通集合改進(jìn)得到的，在一定條件下，它們可以被還原成普通集合.

本文作者將這些新集合概念滲透到本科生、碩士研究生的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)中，實踐證明應(yīng)用問題研究與新集合概念生成對學(xué)生的創(chuàng)新思維培養(yǎng)，研究能力提升效果明顯.

2 有限普通集合特征與新集合概念生成

給定有限普通元素集合X={x1,x2,…,xn}?U,X具有三個特征：

(i)X表示的概念邊界確定(或概念的內(nèi)涵外延清楚)，元素x與X的關(guān)系滿足特征函數(shù)：

圖1 集合X的特征函數(shù)圖像

(ii)X是精確的.X內(nèi)有5個元素xi，一個不能多，一個也不能少；

(iii)X是靜態(tài)的.X內(nèi)有5個元素xi，不允許5個元素xi中任何一個離開X，也不允許X之外的任何一個元素xj進(jìn)入X內(nèi).

特征(i)-(iii)潛藏在現(xiàn)代數(shù)學(xué)與工程技術(shù)領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用的有限普通集合X內(nèi)，在現(xiàn)行教材中并沒有給出討論.

2.1 用“邊界不確定”代替“邊界確定”與模糊集合生成

一個事實：xi今年78歲，定義xi是一個“老年人”.人們自然要問xj今年72歲，xk今年77歲，xj，xk算不算“老年人”？顯然“老年人”構(gòu)成的集合A的邊界是不確定的(模糊性的)，不能說“xi是老年人”“xj不是老年人”，或者不能簡單的用“非此即彼”回答這個事實，只能用xi，xj，xk關(guān)于A的“老的程度”回答，更不能絕對的用“0”或絕對的用“1”回答.這類事實在信息(數(shù)據(jù))識別，目標(biāo)辨識與智能系統(tǒng)中經(jīng)常出現(xiàn)，而用有限普通集合的概念刻畫和表達(dá)卻遇到困難.L.A.Zadeh在[1]中提出了模糊集合(Fuzzy set)概念，定義映射

圖2 元素xi與A的關(guān)系

模糊集合A的一般形式是

2.2 用“近似性”代替“精確性”與粗集合生成

圖3，4給出兩個直觀表示.

圖3 元素x1,x2,…,x8構(gòu)成的有限普通元素集合 圖4 元素x1,x2,…,x8構(gòu)成的新集合

令X={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}，圖3中集合X的邊界是規(guī)則的，用粗實線表示.圖4中集合X的邊界(細(xì)實線表示)是不規(guī)則的,R-(X)是X的下近似，R-(X)是X的上近似.圖中每一個小方塊是R-等價類，R是X上的等價關(guān)系.比較圖3與圖4容易得到：

(i) 任意有限普通元素集合X={x1,x2,…,xn}都能用圖3的方法給出直觀表示，X的邊界是精確的；

(ii) 任意一個邊界不規(guī)則的集合X無法用有限普通元素集合的方法表示，只能用X的下近似R-(X)和X的上近似R-(X)共同近似的表示.這種方法與積分學(xué)中曲邊梯形面積的逼近思想類似，但利用圖3給出圖4的表示在理解上遇到了困難，1982年 Z.Pawlak在文獻(xiàn)[2]中提出了粗集(Rough set)概念.

給定有限普通集合X，R是X上的等價關(guān)系，[x]是R-等價類，X的R-粗集的形式

R-(X)=∪[x]={x|x∈U,[x]?X}，

R-(X)=∪[x]={x|x∈U,[x]∩X≠?}，

BnR(X)=R-(X)-R-(X)

是X的R-邊界，由R-(X)與R-(X)構(gòu)成的集合對(R-(X)，R-(X))稱作X的R-粗集.

2.3 用“動態(tài)性”代替“靜態(tài)性”與P-集合生成(P=Packet)

首先注意到集合的“動態(tài)性”特征存在的客觀事實.例如：設(shè)X={x1,x2,…,xn}是準(zhǔn)備乘坐某列火車回家過春節(jié)的旅客構(gòu)成的集合，因為某些原因，X內(nèi)的一些旅客不能按時乘坐本次列車，集合X變成

另有一些旅客因未能買到本次列車的車票，只能上車補辦車票，集合X變成

XF={x1,x2,…,xr}，n

(1)

為X生成的內(nèi)P-集合.

若記X生成的F-元素補充集合為X+={ui|ui∈U,uiX,f(ui)=x′i∈X,f∈F}，且的屬性集合αF滿足

αF=α∪{α′i|βi∈V,βiα,f(βi)=α′i∈α,f∈F}，

(2)

則稱

XF=X∪X+

(3)

為X生成的外P-集合.

(4)

圖5 P-集合的直觀表示

3 新集合概念的應(yīng)用

隨著計算機科學(xué)的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)兼有了科學(xué)與技術(shù)的雙重身份.在信息化發(fā)展的大數(shù)據(jù)時代，科學(xué)技術(shù)的突出特點是定量化，而定量化的標(biāo)志就是運用數(shù)學(xué)思想和方法.下面結(jié)合實例給出新數(shù)學(xué)概念P-集合、粗集合的簡單應(yīng)用.

3.1 P-集合在優(yōu)秀學(xué)生選拔中的應(yīng)用實例

設(shè)x1～x10是山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院2017年入學(xué)的本科新生，x1～x10構(gòu)成有限普通集合

X={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10},

記α1為數(shù)學(xué)成績，α2為語文成績，α3為英語成績，α1,α2,α3構(gòu)成X的屬性集合

α={α1,α2,α3}.

?xi∈X，xi同時具有屬性α1,α2,α3；用數(shù)理邏輯中的合取“∧”表示，xi的屬性αi滿足αi=α1∧α2∧α3.

按照學(xué)校的培養(yǎng)模式，數(shù)學(xué)學(xué)院每年要從本科新生中選拔“泰山學(xué)堂”新生進(jìn)入拔尖人才培養(yǎng)計劃，力爭通過本科階段的強化教育，結(jié)合本-碩-博一站式培養(yǎng)，使學(xué)生具備優(yōu)異的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)和活躍的數(shù)學(xué)思想，成為數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的杰出人才.因此，要對x1～x10進(jìn)行篩選.利用(2)式在屬性集合α內(nèi)補充屬性α4=數(shù)學(xué)能力面試，α5=創(chuàng)新思維問卷，α變成αF，

αF=α∪{α4,α5}={α1,α2,α3,α4,α5}.

由(1)式得

αj=(α1∧α2∧α3)∧α4∧α5.

3.2 粗集合在數(shù)據(jù)智能挖掘中的應(yīng)用實例

粗糙集理論和應(yīng)用的研究已成為智能信息處理領(lǐng)域的熱點問題, 是近年來出現(xiàn)的處理模糊和不確定性問題的有力數(shù)學(xué)工具，現(xiàn)已成功應(yīng)用于人工智能的許多領(lǐng)域.本文以實例給出在數(shù)據(jù)智能挖掘中的簡單應(yīng)用.

將集合X的下近似R-(X)記作[x]，即[x]=R-(X)稱作數(shù)據(jù)，?xi∈[x]稱作數(shù)據(jù)元，R是[x]上的等價關(guān)系構(gòu)成的集合：

[x]={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7},R={R1,R2,R3,R4}.

給定等價關(guān)系集合

R*=R∪{R5,R6}={R1,R2,R3,R4,R5,R6},R?R*，

則存在數(shù)據(jù)[x]*≠?，R，R*，[x]與[x]*滿足粗推理：

若R?R*， 則 [x]*?[x],

這里“?”與“?”等價，R?R*稱作推理條件，[x]*?[x]稱作推理結(jié)論.在R?R*的條件下，數(shù)據(jù)[x]*被智能挖掘-獲?。篬x]*={x2,x4,x7}.

4 教學(xué)效果

創(chuàng)新思維是一切創(chuàng)新活動的核心與靈魂，其主要包括抽象思維、類比思維、求異或發(fā)散思維、逆向思維、直覺思維等，而創(chuàng)新實踐則是在客觀需要的推動下，借助于創(chuàng)新思維獲得靈感而創(chuàng)造出新方法、新概念、新思想，從而突破性地解決實際問題.

本文作者在面向控制科學(xué)與工程專業(yè)“模式識別與智能系統(tǒng)”方向研究生延伸開設(shè)的“數(shù)學(xué)分析選講”中，通過智慧教學(xué)創(chuàng)新充分再現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維過程，運用歸納和類比引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直覺思維，鼓勵學(xué)生突破常規(guī)思維定式，倡導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成逆向思維、發(fā)散思維的習(xí)慣，結(jié)合智能系統(tǒng)的動態(tài)性特征、模糊或不確定性領(lǐng)域的熱點問題引入新數(shù)學(xué)概念P-集合、粗集合的簡單應(yīng)用，使學(xué)生真正地接受創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練.

為確認(rèn)新集合概念的滲透、融合教學(xué)效果，我們對2016-2018級來自控制專業(yè)“模式識別與智能系統(tǒng)”方向的碩士研究生進(jìn)行了如下教學(xué)嘗試：將每屆碩士研究生分成A、B兩組，教學(xué)中A組學(xué)生的數(shù)學(xué)分析選講內(nèi)容以常用數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用為主，B組學(xué)生除此之外還介紹新集合概念提出的背景、與普通集合的關(guān)系、新集合的某些簡單應(yīng)用.連續(xù)三年碩士畢業(yè)論文開題綜合評價結(jié)果發(fā)生了明顯變化，具體統(tǒng)計如下：

表1 碩士研究生畢業(yè)論文開題綜合評價成績

圖6 碩士研究生畢業(yè)論文開題綜合評價成績柱狀圖

其中A組學(xué)生在畢業(yè)論文選題、開題時，一般選用常規(guī)方法和手段解決問題，明顯感到創(chuàng)新性不足，理解應(yīng)用粗淺.而B組學(xué)生多數(shù)能夠運用新集合概念、特征刻畫智能系統(tǒng)的動態(tài)性和不確定性領(lǐng)域的模糊問題，進(jìn)而給出一些創(chuàng)新性研究思路和預(yù)期結(jié)果.因此，我們在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中更加注重對學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，善于給學(xué)生提供創(chuàng)新實踐的機會.

5 結(jié) 論

本文2中給出的幾種新集合概念、結(jié)構(gòu)、特征及其直觀表示均來自于實際應(yīng)用領(lǐng)域，當(dāng)今信息科學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)，人文、社會學(xué)科及其他“軟科學(xué)”的數(shù)學(xué)化、定量化趨向是它們產(chǎn)生的直接動力.應(yīng)用問題的研究是新集合概念形成的依據(jù)，是新集合概念孕育生長的沃土；應(yīng)用問題的再分析、再認(rèn)識誘導(dǎo)出新集合的結(jié)構(gòu)與特征.研究性實踐表明，新集合概念與基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)滲透、有機融合既是對集合概念的豐富、發(fā)展、完善，更是提升研究生發(fā)散思維、創(chuàng)新思維能力的有效途徑.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.