沈 偉， 劉 帥， 武 毅

（1. 上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093；2. 中國船舶集團(tuán)公司 第七〇三研究所，哈爾濱 150000）

在實(shí)時(shí)反饋控制閉環(huán)回路中，傳感器的采樣信號(hào)通過共享網(wǎng)絡(luò)發(fā)送到控制器，控制器接收并更新，之后控制信息通過共享網(wǎng)絡(luò)發(fā)送到執(zhí)行器，這樣的新型控制系統(tǒng)被稱為網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（NCS）。NCS擁有以下優(yōu)勢：a. 系統(tǒng)搭建成本低；b. 提高了系統(tǒng)的安裝靈活性，易于維護(hù)；c. 突破了物理空間上的限制，有利于實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)程訪問和控制等[1-2]。這些優(yōu)勢使NCS迅速應(yīng)用于機(jī)器人、遠(yuǎn)程醫(yī)療和許多其他領(lǐng)域[3-4]?；诰W(wǎng)絡(luò)的液壓伺服控制系統(tǒng)面臨時(shí)變網(wǎng)絡(luò)引起的延遲和閥控馬達(dá)模型的結(jié)構(gòu)和非結(jié)構(gòu)不確定性等問題，這些因素不僅會(huì)降低整個(gè)系統(tǒng)的性能，而且會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。

Yi等[5]考慮利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測網(wǎng)絡(luò)的延時(shí)，但是，該方法僅適用于線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，沒有考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Pade定理可以近似用于系統(tǒng)中可變網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)延時(shí)的建模[6-7]。Shen等[8]在液壓變壓器中使用網(wǎng)絡(luò)控制，并且針對網(wǎng)絡(luò)延時(shí)和液壓變壓器的非線性提出了解決方案，但是，將網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)與液壓系統(tǒng)結(jié)合的文獻(xiàn)并不多見。麥云飛等[9]提出的分?jǐn)?shù)階PID（比例積分控制器）常被用來處理液壓系統(tǒng)的復(fù)雜模型，但是，需要將液壓系統(tǒng)中非線性項(xiàng)進(jìn)行線性化。因此，誤差符號(hào)的魯棒積分（RISE）被提出用來補(bǔ)償光滑的有界擾動(dòng)，且這個(gè)方法對非結(jié)構(gòu)不確定性有著極強(qiáng)的包容性。文獻(xiàn)[10-11]將RISE用于液壓系統(tǒng)中，控制器具有漸近跟蹤性能。

本文提出了一種新的基于Pade定理的自適應(yīng)魯棒積分控制器，通過反推的方法，將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)逐層降階，并由輔助誤差得到虛擬控制律。仿真結(jié)果證明了該控制策略在液壓系統(tǒng)遠(yuǎn)程控制中的可行性和優(yōu)越性。

1 問題描述和數(shù)學(xué)模型

基于網(wǎng)絡(luò)的液壓伺服系統(tǒng)原理如圖1（a）所示，圖1（b）為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)原理圖。i為輸入電流信號(hào)，Q1，Q2分別為進(jìn)油腔室和出油腔室液壓油流量。借助先進(jìn)的控制算法，控制器可以遠(yuǎn)程精確控制帶有慣性負(fù)載的閥控馬達(dá)旋轉(zhuǎn)位置。通過設(shè)計(jì)物理系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，有利于推導(dǎo)出先進(jìn)的控制算法。

圖1 基于網(wǎng)絡(luò)的電液伺服系統(tǒng)原理圖Fig.1 Schematic diagram of electro-hydraulic servo system based on network

伺服閥的流體動(dòng)力學(xué)模型為非線性，負(fù)載時(shí)馬達(dá)的輸出流量QL與閥芯位移xv的數(shù)學(xué)關(guān)系可表示為

式中：Cd為小孔系數(shù)；w為伺服閥的面積梯度；ρ為油液的密度；Ps為進(jìn)油口壓力；PL為相鄰兩腔室壓力差，PL=P1-P2，P1，P2分別為進(jìn)油腔室和出油腔室壓力。

液壓旋轉(zhuǎn)執(zhí)行器的流動(dòng)連續(xù)性方程為

式中：Dm，Vt分別為液壓馬達(dá)旋轉(zhuǎn)位移和腔室總的體積；Q(t)，βe分別為時(shí)變不確定流量和油液體積模量；Ct為總泄漏系數(shù)；θ˙為閥控馬達(dá)的角速度。

根據(jù)牛頓第二定律，可以得到力的平衡方程

式中：J表示液壓馬達(dá)總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；B為粘性阻尼系數(shù)；F(t)表示外部負(fù)載隨時(shí)間變化的擾動(dòng)值；θ¨為閥控馬達(dá)的角加速度。

目前，伺服閥的制造技術(shù)成熟、控制精度高。本文采用的伺服閥的工作頻率遠(yuǎn)高于液壓馬達(dá)，因此，可以將伺服閥的動(dòng)態(tài)特性簡化為比例環(huán)節(jié)xv=kiu，ki為伺服閥的動(dòng)態(tài)比例系數(shù)，u為控制電壓。伺服閥的流量方程為

式中：kt為總的流量增益。

選擇狀態(tài)變量

假設(shè)外界擾動(dòng)|d(t)|＜D，D為未知外干擾上邊界。通過將網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的延時(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)橄到y(tǒng)中存在一個(gè)時(shí)變的輸入時(shí)滯，從而得到非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的模型，由式（1）～（7）可知，基于網(wǎng)絡(luò)的閥控馬達(dá)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

式中：τ為網(wǎng)絡(luò)時(shí)變參數(shù)，表示網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)的延時(shí)；τ取決于網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)；d2為建模不確定項(xiàng)誤差。

為了滿足上面的閥控馬達(dá)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，必須考慮以下假設(shè)：

a. 不考慮管道的摩擦損失、流體質(zhì)量。

b. 液壓回轉(zhuǎn)馬達(dá)的每個(gè)腔室中的壓力在任何地方都是相等的。

c. 液壓馬達(dá)中的每處泄漏都是層流。

d.干擾d(t)在系統(tǒng)模型中是足夠平滑的，且滿足均為已知的正數(shù)。

利用Pade定理來逼近系統(tǒng)的輸入延時(shí)是可行的。因此，有

式中：φ{(diào)u(t)}為u(t)的拉普拉斯變換；s為拉普拉斯變量。

一種新的狀態(tài)變量x4定義為

經(jīng)過拉普拉斯變換可以得到

定義γ=2/τ，可得

則延時(shí)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（8）可以改寫為

2 自適應(yīng)魯棒積分控制器設(shè)計(jì)

控制目標(biāo)是確保慣性負(fù)載能夠跟蹤期望的時(shí)變軌跡x1d，為量化此目標(biāo)，定義位置跟蹤誤差

假設(shè)理想的位置軌跡x1d∈C3，且有界。

為了簡便設(shè)計(jì)過程，首先對式（13）中前2個(gè)方程構(gòu)造二次Lyapunov函數(shù)，定義跟蹤誤差e2,e3和輔助誤差r。

式中：k1，k2為正常數(shù)；α1，α2分別為對x2，x3的虛擬控制律。

根據(jù)式（13）～（15）可求得輔助誤差r。

根據(jù)r的靜態(tài)方程式（16），設(shè)計(jì)虛擬控制律

式中：kr為反饋增益，kr＞0；α2a為模型的前饋控制律；α2s為模型魯棒控制律；α2s1為穩(wěn)定液壓系統(tǒng)模型的線性魯棒反饋律；α2s2為積分魯棒項(xiàng)；為α2s2的魯棒反饋增益。

式中，φ為自適應(yīng)率增益，φ＞0。

由式（14）～（18）可以求得r的時(shí)間導(dǎo)數(shù)。

將式（14），（16），（18）代入式（19），則

τ(x4,t)的自適應(yīng)更新律

式中，η為自適應(yīng)增益，η＞0。

式中：k3為正反饋增益；us為魯棒控制項(xiàng)。

根據(jù)式（22），式（20）可以改寫為

另外，e3的動(dòng)態(tài)誤差導(dǎo)數(shù)可以表示為

3 穩(wěn)定性證明

定理在自適應(yīng)律式（18）和式（21）控制下，選擇合適的反饋增益k1，k2，k3，kr，所提出的控制律式（22）能夠保證系統(tǒng)信號(hào)(e1,e2,e3)在閉環(huán)操作下都是有界的，在此基礎(chǔ)上，當(dāng)t→∞時(shí)，系統(tǒng)的位置跟蹤誤差e1→0。

引理1設(shè)輔助函數(shù)

選擇增益 β滿足下面的條件：

那么，函數(shù)P（t）總是正的。

設(shè)V（t）為連續(xù)可微的正定函數(shù)，定義

根據(jù)式（18）和式（21），式（29）可以表示為

式中，λmin(Λ)是λ(Λ)最小特征值，λmin＞0。

根據(jù)Barbalat定理[12]可得，2,3，即可以得到系統(tǒng)的位置跟蹤誤差是收斂的。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 系統(tǒng)參數(shù)選取

為了驗(yàn)證本文提出的自適應(yīng)魯棒積分控制算法，依據(jù)給出的閥控馬達(dá)位置伺服系統(tǒng)的實(shí)際工況，在Matlab/Simulink軟件中搭建系統(tǒng)仿真模型，設(shè)置仿真步長為0.001 s。物理系統(tǒng)主要參數(shù)如表1所示。

表1 液壓馬達(dá)伺服系統(tǒng)主要參數(shù)Tab.1 Main nonminal parameter of hydraulic motor servo system

4.2 比較實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖2為外部負(fù)載隨時(shí)間變化的擾動(dòng)軌跡?？紤]網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的誘導(dǎo)延時(shí)常常是不穩(wěn)定的，可以將丟包認(rèn)為是一種大延時(shí)狀態(tài)[13]，因此，考慮時(shí)變范圍(0.001s＜τ＜0.2s)。Matlab/Simulink軟件的Variable Time Delay模塊能夠使延時(shí)均勻概率分布，對2個(gè)控制器的仿真結(jié)果進(jìn)行對比，以驗(yàn)證所提控制方案的有效性。

圖2 外界擾動(dòng)扭矩Fig. 2 External disturbance torque

a. 自適應(yīng)魯棒積分控制器?？刂圃鲆娼o定如下：k1=800,k2=800,k3=100,k4=100,kr=900, 控制器的自適應(yīng)增益η=0.5。

b. PID。通過試錯(cuò)法得到控制器增益kp=900,ki=1000,kd=0。

輸入信號(hào)①為正弦平滑軌跡，x1d=10(1-cos(πt))(1-exp(-t))?。如圖3（a）所示，將自適應(yīng)魯棒積分控制器和PID控制器跟蹤曲線進(jìn)行比較，自適應(yīng)魯棒積分控制器輸出位置能夠很好地跟蹤期望軌跡。圖3（b）為2種控制器的跟蹤誤差曲線。由表2可知，相比于PID控制器，自適應(yīng)魯棒積分控制器具有較小的跟蹤誤差，并且最終保持良好的穩(wěn)態(tài)跟蹤性能。圖3（c）為自適應(yīng)魯棒積分控制器的控制信號(hào)。此外，x4是一個(gè)重要的參數(shù)，該參數(shù)的振動(dòng)可能導(dǎo)致控制信號(hào)振蕩，為了避免這些振蕩，如圖3（d）所示，必須保持穩(wěn)定的延時(shí)補(bǔ)償信號(hào)。圖3（e）是建模不確定項(xiàng)和延時(shí)誤差和的估計(jì)值。仿真結(jié)果表明，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)存在時(shí)變延時(shí)時(shí)，PID的最終跟蹤誤差是自適應(yīng)魯棒積分控制器的4倍多，這是因?yàn)樽赃m應(yīng)魯棒積分控制器中的Pade定理補(bǔ)償了網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的時(shí)變延時(shí)和自適應(yīng)律補(bǔ)償了液壓系統(tǒng)中的結(jié)構(gòu)不確定性。

圖3 輸入信號(hào)①時(shí)，擾動(dòng)和網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)延時(shí)影響下的閥控馬達(dá)響應(yīng)Fig.3 When the input signal is ①, the response of the valve-controlled motor under the influence of disturbance and networkinduced delay

為了更加直觀地展現(xiàn)2個(gè)控制器最終的跟蹤精度，Deng等[14]使用3個(gè)性能指標(biāo)衡量設(shè)計(jì)的控制算法的質(zhì)量，即跟蹤誤差的最大值Me，平均值μe和標(biāo)準(zhǔn)差σe，由表2的指標(biāo)參數(shù)可以看出，設(shè)計(jì)的自適應(yīng)魯棒積分控制器在各個(gè)性能方面均優(yōu)于PID。

表2 在輸入信號(hào)①狀態(tài)下整個(gè)周期的性能指標(biāo)Tab.2 Performance indicators for the entire cycle under the input signal ① state

輸入信號(hào)②為快速運(yùn)動(dòng)軌跡，x1d=10(1-cos(4πt))(1-exp(-t))?，最大角速度為125.6（°）/s。圖4（a）給出了自適應(yīng)魯棒積分控制器和PID的跟蹤誤差對比，PID并不能很好地處理這種快速變化的運(yùn)動(dòng)，出現(xiàn)了±0.27?左右的跟蹤誤差。圖4（b）為自適應(yīng)魯棒積分控制器在快速軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)的輸出信號(hào)，在整個(gè)運(yùn)行過程中，自適應(yīng)魯棒積分控制器的跟蹤誤差控制在±0.06?以內(nèi)，對比表3的指標(biāo)參數(shù)，說明本文所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)魯棒積分控制算法在提高閥控馬達(dá)跟蹤精度方面具備較好的效果。

圖4 輸入信號(hào)為②時(shí)，在擾動(dòng)和網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)延時(shí)影響下的閥控馬達(dá)響應(yīng)Fig.4 When the input signal is ②, the response of the valve-controlled motor under the influence of disturbance and networkinduced delay

表3 在輸入信號(hào)②狀態(tài)下整個(gè)周期的性能指標(biāo)Tab.3 Performance indicators for the entire cycle under the input signal ② state

5 結(jié)論

提出了一種基于網(wǎng)絡(luò)的液壓伺服系統(tǒng)高精度跟蹤控制算法，不僅考慮了系統(tǒng)的非線性不確定性，而且針對網(wǎng)絡(luò)中的延時(shí)，利用Pade定理補(bǔ)償。對狀態(tài)方程反向推導(dǎo)，在得到的虛擬控制律中引入積分魯棒項(xiàng)和自適應(yīng)律，通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)驗(yàn)證了閉環(huán)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性，保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)的有界性和跟蹤誤差漸進(jìn)收斂性。仿真結(jié)果驗(yàn)證了自適應(yīng)魯棒積分控制算法的有效性。在未來的工作中，也可以考慮建立具有丟包情況的模型，利用多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、狀態(tài)觀測器等來設(shè)計(jì)基于網(wǎng)絡(luò)的液壓伺服控制器。