潘承勇

(中鐵廣州局三公司，廣東 肇慶 526020)

1 算法原理

根據(jù)插值求積公式有

其中tk(k=0，1，…，n-1)為區(qū)間[-1，1]上的n個(gè)求積結(jié)點(diǎn)，且

在區(qū)間[-1，1]上的n個(gè)零點(diǎn)，則稱其為勒讓德-高斯求積公式，其代數(shù)精度為2n-1。當(dāng)n=10時(shí)，相應(yīng)的求積結(jié)點(diǎn)tk，求積系數(shù)λk可通過查表得出。

2 算法實(shí)現(xiàn)

根據(jù)上述算法，可以在EXCEL表格中實(shí)現(xiàn)求定積分的自定義函數(shù)“jf()”，進(jìn)入EXCEL的Visual Basic編輯器，插入一個(gè)“模塊”，在“模塊”中輸入如下代碼：

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Public Function jf(fx As String，a As Double，b As Double)

Dim ary(1 To 2，1 To 10)As Double，i As Integer，j As Integer

ary(1，1)=0.148874339

ary(2，1)=0.2955242247

ary(1，3)=0.4333953941

ary(2，3)=0.2692667193

ary(1，5)=0.6794095683

ary(2，5)=0.2190863625

ary(1，7)=0.8650633667

ary(2，7)=0.1494513492

ary(1，9)=0.9739065285

ary(2，9)=0.0666713443

For i=2 To 10 Step 2

ary(1，i)=-ary(1，i-1)

ary(2，i)=ary(2，i-1)

Next

jf=0

For j=1 To 10

jf=jf+Evaluate((b-a)/2*ary(2，j)&"*("&Replace(UCase(fx)，"X"，(b-a)/2*ary(1，j)+(a+b)/2)&")")

Next

End Function

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該EXCEL文件類型應(yīng)為“啟用宏的工作簿”。

也可將該EXCEL文件類型另存為“加載宏”，并對其進(jìn)行“加載”，這樣就可以在其它所有EXCEL“工作簿”中運(yùn)用該自定義函數(shù)。

3 工程計(jì)算實(shí)例

上述自定義函數(shù)“jf()”返回定積分的值

語法：jf(fx，a，b)

fx必需。字符串類型，表示帶有“x”的被積表達(dá)式。

a必需。數(shù)值，表示積分下限。

b必需。數(shù)值，表示積分上限。

3.1 變截面體積計(jì)算實(shí)例

南江雙線特大橋8#墩托盤高度為2 m，底面為圓端形截面，直線段長為5.2 m，圓端半徑為2.1 m;頂面為矩形截面，長為11.2 m，寬為5 m；中間部分呈線性變化，其三維圖如圖1所示。

圖1 三維圖

根據(jù)上述條件，在0≤x≤2區(qū)段內(nèi)可列出體積計(jì)算公式如

(π-4)(2.1-1.05x)2dx

在EXCEL電子表格的單元格中輸入公式如

=jf("(0.9*x+9.4)*(0.4*x+4.2)+

("&PI()&"-4)*(2.1-1.05*x)^2"，0，2)

式中:“PI()”為EXCEL函數(shù)，返回π值，最終返回值為：92.4763，與設(shè)計(jì)所給92.5相符。

對于內(nèi)含倒角的空心墩，連續(xù)剛構(gòu)梁部均可按上述方法計(jì)算出每節(jié)段混凝土的體積，以便于施工材料的報(bào)備和圖紙工程量的復(fù)核。同理也可運(yùn)用該方法計(jì)算出變截面墩身的表面積，用于模板用量的估算。

3.2 拋物線長度計(jì)算實(shí)例

南江雙線特大橋連續(xù)剛構(gòu)梁底下緣按二次拋物線變化，拋物線方程為

y=660+620x2/7 4002

則y′=1 240x/7 4002

故相應(yīng)于a≤x≤b的一段邊跨底板鋼絞線拋物線長度計(jì)算公式如

當(dāng)a=0，b=4 535.9時(shí)，在EXCEL電子表格的單元格中輸入如下公式

=jf("(1+(1 240*x/7 400^2)^2)^(1/2)"，0，4 535.9)

返回值為：4 543.862 9，與設(shè)計(jì)所給相符。

運(yùn)用該方法可方便的計(jì)算出每個(gè)分段鋼絞線的長度，對鋼絞線理論伸長量的精確計(jì)算起著至關(guān)重要的作用；同理還可單獨(dú)計(jì)算出某一個(gè)節(jié)段內(nèi)的波紋管長度，以確保單個(gè)節(jié)段施工下料長度的準(zhǔn)確無誤。

3.3 線路中樁坐標(biāo)計(jì)算實(shí)例

線路形式多種多樣，但都是由直線、圓曲線及緩和曲線組成。而這3種線型都具有曲率隨弧長作線性變化這一共性，故可用曲線元代表3種線型中的任意一種。由此易推出已知弧長l求任意點(diǎn)的坐標(biāo)的積分通式如

式中：XA,YA為分別表示曲線元起點(diǎn)的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)；kA，kB為分別表示曲線元起點(diǎn)和終點(diǎn)的曲率；aA為曲線元起點(diǎn)的前視方位角，以弧度形式表示；L為曲線元的長度；1為任意點(diǎn)距曲線元起點(diǎn)的弧長；i為線路偏向，左偏取-1，右偏取1；

上式所表示的積分十分復(fù)雜，直接求出原函數(shù)十分困難，故可用勒讓德-高斯數(shù)值積分進(jìn)行求解：

工程實(shí)例：雙園二號隧道進(jìn)口段位于平曲線的第二段緩和曲線上，曲線元起點(diǎn)里程為：DK41+802.098；起點(diǎn)x坐標(biāo)XA=1 330.781 8；y坐標(biāo)yA=755.312 8；起點(diǎn)前視方位角aA=357.179 278 5度(計(jì)算時(shí)化為弧度形式)；起點(diǎn)曲率kA=1/4 000；終點(diǎn)曲率kB=0；曲線長度L=200；線路偏向i=-1；

首先在EXCEL的A1:G3區(qū)域建立如“表3-3-1”形式的表格，第一行為里程樁號，第二行為X坐標(biāo)，第三行為Y坐標(biāo)，并在第一行中填入所需計(jì)算中線坐標(biāo)的里程。

接著在B2單元格中輸入公式

=1 330.781 8+jf("cos(357.1 792 785*"&PI()&"/180-(1/4 000*x+x^2*(0-1/4 000)/(2*200)))"，0，B1-41 820.098)

然后在B3單元格中輸入公式

=755.312 8+jf("sin(357.1 792 785*"&PI()&"/180-(1/4 000*x+x^2*(0-1/4 000)/(2*200)))"，0，B1-41 820.098)

最后復(fù)制B2∶B3至C2∶G3區(qū)域，即可完成計(jì)算。

計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 計(jì)算結(jié)果

運(yùn)用上述方法可方便快捷地完成大量的坐標(biāo)計(jì)算，對測量計(jì)算及復(fù)核起到重要作用，進(jìn)一步提高了工作效率。

4 結(jié)束語

勒讓德-高斯積分法是精度最高的插值型數(shù)值積分，具有2n+1階精度，并且高斯積分總是穩(wěn)定。本文中運(yùn)用了10結(jié)點(diǎn)勒讓德-高斯數(shù)值積分模型進(jìn)行編程，并在常用的EXCEL電子表格中進(jìn)行計(jì)算，這也彌補(bǔ)了EXCEL無法進(jìn)行積分計(jì)算的弊端。同時(shí)也列舉了三個(gè)工程實(shí)例，說明了定積分計(jì)算在工程中的重要性。

基于以上模型，可以開發(fā)出更多具有針對性的程序軟件，用于計(jì)算鋼絞線理論伸長量，用于線路中邊樁坐標(biāo)的正算及反算等等。有了這些程序的幫助，可以成倍提高工作效率，而這正是工程技術(shù)工作的主要內(nèi)涵和方向。