羅文俊，王德禹

1 中遠(yuǎn)海運(yùn)特種運(yùn)輸股份有限公司，廣東 廣州 510623

2 上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240

3 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240

0 引 言

基于可靠性的優(yōu)化設(shè)計(jì)因在滿足船舶結(jié)構(gòu)經(jīng)濟(jì)性的同時(shí)能夠保證足夠的安全性而極具優(yōu)勢。目前，可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)已經(jīng)在航空航天、汽車和船舶等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1-3]。

可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法主要分為3 種：雙循環(huán)法、單循環(huán)法和解耦法。雙循環(huán)策略雖然精度高，但計(jì)算成本較大、效率較低，而后兩種方法能有效解決此問題。Liang 等[4]根據(jù)庫恩-塔克（KKT）最優(yōu)條件代替可靠性分析過程，通過計(jì)算得到近似最小功能點(diǎn)，將概率約束轉(zhuǎn)化為確定性約束，提出了單循環(huán)法。劉勤等[5]采用單循環(huán)法將優(yōu)化迭代計(jì)算與可靠壽命的迭代求解同步進(jìn)行，并通過傳動(dòng)箱的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證了方法的高效性。單循環(huán)法雖然效率較高，但只適用于線性和弱非線性問題，對(duì)于強(qiáng)非線性問題，無法保證精度甚至有可能出現(xiàn)迭代不收斂的情況。而解耦策略在保證精度的前提下，不僅能提高求解效率，同時(shí)還具有良好的適用性。Du 和Chen[6]提出的序貫優(yōu)化與可靠性評(píng)估（sequential optimization and reliability assessment, SORA）法通過將可靠性分析結(jié)果轉(zhuǎn)化為優(yōu)化邊界條件的偏移向量，使確定性優(yōu)化與可靠性分析被解耦。李海燕和井元偉[7]將SORA 法應(yīng)用于多學(xué)科可靠性優(yōu)化，降低了協(xié)同優(yōu)化計(jì)算的復(fù)雜度。解耦方法較前2 種集成策略具有很大的優(yōu)勢，而SORA 法是解耦方法中應(yīng)用最為廣泛的一種方法。

船舶結(jié)構(gòu)響應(yīng)屬于多參數(shù)、強(qiáng)非線性問題，采用代理模型替代有限元模型能極大地提高可靠性優(yōu)化效率，對(duì)于強(qiáng)非線性和高維度工程問題，Kriging 模型能實(shí)現(xiàn)良好的擬合。劉瞻等[8]通過結(jié)合重要抽樣法和人工蜂群算法，建立了參數(shù)優(yōu)化的Kriging 模型，有效提高了可靠度計(jì)算精度和效率。張干鋒和王德禹[9]對(duì)常規(guī)Kriging 模型進(jìn)行了分區(qū)間泛化和參數(shù)融合，其將改進(jìn)后的Kriging模型用于船舶結(jié)構(gòu)型線優(yōu)化，在預(yù)測多維度響應(yīng)時(shí)具有更高的精度。代理模型分靜態(tài)代理模型和動(dòng)態(tài)代理模型2 種。靜態(tài)代理模型需要在設(shè)計(jì)空間中采集足夠的樣本點(diǎn)才能構(gòu)造高擬合精度的代理模型，計(jì)算成本較大，而動(dòng)態(tài)代理模型采用序貫抽樣方法，能以較少的樣本點(diǎn)實(shí)現(xiàn)對(duì)有限元模型的高度擬合。Echard 等[10]引入了一種學(xué)習(xí)函數(shù)，其以該學(xué)習(xí)函數(shù)作為篩選準(zhǔn)則進(jìn)行序貫抽樣來構(gòu)造動(dòng)態(tài)Kriging 模型，以較少的樣本點(diǎn)實(shí)現(xiàn)了對(duì)極限狀態(tài)邊界的高度擬合。高月華和王希誠[11]基于Kriging 代理模型提出了多點(diǎn)加點(diǎn)準(zhǔn)則，基于樣本集信息和預(yù)測函數(shù)特征添加新樣本集，在尋優(yōu)迭代之時(shí)自適應(yīng)地提升代理模型的精度。

根據(jù)結(jié)構(gòu)可靠性理論，最大可能失效點(diǎn)（MPP）周圍區(qū)域?qū)煽慷鹊呢暙I(xiàn)最大，而結(jié)構(gòu)優(yōu)化的最優(yōu)解通常位于約束邊界附近，因此可靠性優(yōu)化必然存在一個(gè)可能存在最優(yōu)解的區(qū)域，即興趣子域。Zhao 等[12]通過計(jì)算影響可靠度主要區(qū)域的大小，提出興趣子域的概念，從而構(gòu)造了在MPP 附近區(qū)域?qū)崿F(xiàn)高度近似的代理模型。龍周等[13]引入少數(shù)類合成的過采樣算法(synthetic minority oversampling technique，SMOTE)對(duì)MPP 附近進(jìn)行過采樣，構(gòu)建對(duì)極限狀態(tài)邊界高度擬合的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，極大地提高了計(jì)算效率和精度。

針對(duì)船舶結(jié)構(gòu)因強(qiáng)非線性、多參數(shù)、多響應(yīng)而導(dǎo)致計(jì)算成本較大、難以獲取大量樣本點(diǎn)的問題，本文擬提出可靠性優(yōu)化策略。首先，提出并確定基于SORA 法中圓弧搜索法（arc search method，ASM）的興趣子域范圍，基于信息熵函數(shù)H制定自適應(yīng)空間減縮規(guī)則，對(duì)設(shè)計(jì)空間進(jìn)行不斷的縮減，進(jìn)而構(gòu)造基于興趣子域的自適應(yīng)空間減縮序貫抽樣策略，以采用盡可能少的樣本點(diǎn)構(gòu)造對(duì)興趣子域進(jìn)行高度擬合的Kriging動(dòng)態(tài)代理模型，減少計(jì)算成本；其次，提出基于SORA 法的概率約束可行性檢查方法，減少不必要的可靠性評(píng)估過程，提高可靠性分析效率；最后，將Kriging 模型和多島遺傳算法（multi-island genetic algorithm，MIGA）嵌入SORA 法中進(jìn)行可靠性優(yōu)化，以保證可靠性優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1 基于興趣子域的自適應(yīng)空間減縮及序貫抽樣策略

1.1 圓弧搜索法

本文中的SORA 法采用ASM 法作為可靠性分析方法，該方法由Du 等[14]提出，用于將逆可靠性分析法中的優(yōu)化過程轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)迭代計(jì)算，從而簡化計(jì)算，提高可靠性分析效率。ASM 法的原理如下：逆可靠性分析法是在期望可靠度指標(biāo)的等值面（||u||= βa）上尋找概率約束性能函數(shù)G(u)（其中，G＞0 為可行性條件）的最小值，約束條件為可靠度指標(biāo)期望值 βa。根據(jù)KKT 條件，可以將逆可靠性分析的優(yōu)化過程推導(dǎo)為如下迭代公式：

ASM 法的迭代原理如圖1 所示。圖中：x1，x2為設(shè)計(jì)變量；Gk為概率約束性能函數(shù)第k次迭代取值。

圖1 圓弧搜索法[15]Fig. 1 Arc search method[15]

當(dāng)式（1）迭代收斂至uk+1，即功能函數(shù)與期望可靠度指標(biāo)面相切時(shí)，若G(uk+1)＜G(uk)，說明樣本點(diǎn)朝著功能函數(shù)G減小的方向前進(jìn)，uk+1即為可靠性分析的逆最大可能失效點(diǎn)；當(dāng)出現(xiàn)G(uk+1)≥G(uk)的情況時(shí)，進(jìn)行第2 階段尋優(yōu)，尋優(yōu)空間為期望可靠度指標(biāo)面上uk+1和uk之間的圓弧。采用以下數(shù)學(xué)優(yōu)化模型進(jìn)行尋優(yōu)：

通過第2 階段的尋優(yōu)迭代策略，可以保證新的迭代收斂點(diǎn)的功能函數(shù)值比上一個(gè)最優(yōu)點(diǎn)的更小，實(shí)現(xiàn)對(duì)原迭代策略的補(bǔ)充完善。

本文充分利用ASM 法的尋優(yōu)過程原理，提出基于興趣子域的自適應(yīng)空間減縮及序貫抽樣策略，實(shí)現(xiàn)了對(duì)興趣子域的高度擬合；而對(duì)于非興趣子域，則采用空間減縮技術(shù)，無需對(duì)這些區(qū)域進(jìn)行精確擬合，因而減少了可靠性優(yōu)化的循環(huán)次數(shù)，可在保證擬合精度的同時(shí)提高效率。

1.2 興趣子域范圍的確定

ASM 法是在半徑為可靠度指標(biāo)β 的圓（球面或超球面）上尋找功能函數(shù)的最小值，如圖2 所示，分別為當(dāng)功能函數(shù)為凹函數(shù)和凸函數(shù)時(shí)的搜索過程（G＞0 為可行域）。

圖2 圓弧搜索法尋優(yōu)過程[15]Fig. 2 Optimization process of arc search method[15]

1.3 自適應(yīng)空間減縮及序貫抽樣策略

1.3.1 自適應(yīng)空間減縮規(guī)則

圖3 興趣子域示意圖Fig. 3 Schematic diagram of interest subdomain

構(gòu)建對(duì)興趣子域進(jìn)行高度擬合的動(dòng)態(tài)代理模型，可同時(shí)提高確定性優(yōu)化和可靠性分析過程的計(jì)算效率。本節(jié)將采用蒙特卡羅抽樣生成整個(gè)設(shè)計(jì)空間的樣本點(diǎn)集S，采用Lv 等[16]提出的AK-LS方法中基于信息熵的主動(dòng)學(xué)習(xí)函數(shù)H實(shí)現(xiàn)序貫抽樣，在提高Kriging 模型全局?jǐn)M合精度的同時(shí)，采用自適應(yīng)的空間減縮技術(shù)不斷刪減樣本點(diǎn)集S中位于非興趣子域的樣本點(diǎn)，從而縮小設(shè)計(jì)空間的范圍直至興趣子域。學(xué)習(xí)函數(shù)H如下：

由于初始Kriging 模型的全局?jǐn)M合精度較低，因此非興趣子域中樣本點(diǎn)的刪減條件應(yīng)當(dāng)遠(yuǎn)離興趣子域。隨著Kriging 模型擬合精度的不斷提高，非興趣子域中樣本點(diǎn)的刪減條件自適應(yīng)地不斷逼近興趣子域邊界，即在進(jìn)行序貫抽樣更新動(dòng)態(tài)代理模型的同時(shí)不斷減縮設(shè)計(jì)空間。最后，只保留興趣子域及其附近的部分樣本點(diǎn)，通過學(xué)習(xí)函數(shù)H構(gòu)造代理模型來實(shí)現(xiàn)對(duì)興趣子域的局部高精度擬合。考慮到隨著樣本點(diǎn)的不斷增加，整個(gè)設(shè)計(jì)空間中樣本點(diǎn)的Hmax值逐漸減小，因此，本文在序貫抽樣的同時(shí)采用Hmax作為篩選因子。

本文采用的自適應(yīng)空間減縮規(guī)則如下：

其中，篩選條件中下確界的設(shè)定參考了Cox和John[17]提出的用于優(yōu)化的下置信界（lcb）函數(shù)，下置信界函數(shù)如下所示：

1.3.2 自適應(yīng)空間減縮及序貫抽樣流程

基于興趣子域的自適應(yīng)空間減縮及序貫抽樣策略是通過不斷減縮全局設(shè)計(jì)空間，直至保留興趣子域，同時(shí)通過具備高效提高全局精度特點(diǎn)的學(xué)習(xí)函數(shù)H建立Kriging 動(dòng)態(tài)代理模型來擬合興趣子域。

Lv 等[16]通過大量的算例結(jié)果分析指出，當(dāng)H函數(shù)對(duì)應(yīng)的迭代停止準(zhǔn)則為Hmax≤0.5 時(shí)，代理模型具有足夠的擬合精度。因此，為保證Kriging模型在興趣子域內(nèi)具有足夠的擬合精度，本文擬采用Hmax≤0.5 作為自適應(yīng)空間減縮和序貫抽樣的迭代停止準(zhǔn)則。

基于興趣子域的自適應(yīng)空間減縮及序貫抽樣策略流程如圖4 所示。

圖4 自適應(yīng)空間減縮及序貫抽樣策略Fig. 4 Adaptive spatial reduction and sequence sampling strategy

1） 在設(shè)計(jì)空間中采用拉丁超立方抽樣或蒙特卡羅抽樣生成樣本集S，S集中的所有樣本點(diǎn)均無需調(diào)用有限元計(jì)算。

2） 生成訓(xùn)練集T。采用最優(yōu)拉丁超立方抽樣生成少量樣本點(diǎn)，作為訓(xùn)練集T。

3） 調(diào)用功能函數(shù)或有限元軟件計(jì)算，得到訓(xùn)練集響應(yīng)值G。

4） 根據(jù)訓(xùn)練集T，同時(shí)對(duì)約束條件和目標(biāo)函數(shù)使用Matlab 自帶的DACE 工具箱建立多個(gè)Kriging 模型。

5） 分別用Kriging 模型預(yù)測S集中樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值。

6） 采用學(xué)習(xí)函數(shù)H篩選最優(yōu)樣本點(diǎn)ui，具體準(zhǔn)則見1.3.1 節(jié)，同時(shí)根據(jù)空間縮減規(guī)則選擇樣本點(diǎn)集D。

7） 進(jìn)行序貫抽樣迭代停止準(zhǔn)則判斷。若滿足所有功能函數(shù)的迭代停止條件，則輸出代理模型，否則，將篩選的新樣本點(diǎn)ui加入訓(xùn)練集，轉(zhuǎn)到步驟3）。若某個(gè)功能函數(shù)對(duì)應(yīng)的代理模型已達(dá)到精度要求，則無需繼續(xù)對(duì)該代理模型進(jìn)行最優(yōu)樣本點(diǎn)篩選，同時(shí)從樣本集S中剔除樣本集D中的樣本點(diǎn)，從而更新S集，轉(zhuǎn)到步驟5），循環(huán)直到所有動(dòng)態(tài)代理模型均滿足序貫抽樣迭代停止準(zhǔn)則。

2 基于興趣子域的可靠性優(yōu)化方法

2.1 基于SORA 法的概率約束可行性檢查方法

SORA 法作為最理想的可靠性優(yōu)化解耦方法，在工程實(shí)際中得到了廣泛應(yīng)用。不過該方法的提出者Du 和Chen[6]指出，該方法值得改進(jìn)之處在可靠性評(píng)估尋找逆最大可能失效點(diǎn)的過程中，并非所有的概率約束都起作用，因此研究識(shí)別概率約束可行性檢查方法，以此避免不必要的可靠性分析過程可以極大地減少計(jì)算量，提高計(jì)算效率。如圖5所示，圖中：G1，G2，G3為3 個(gè)功能函數(shù)，x1，x2為2 個(gè)設(shè)計(jì)變量，由于最優(yōu)點(diǎn)H2的位置遠(yuǎn)離第2 個(gè)概率約束的極限狀態(tài)邊界，在對(duì)該最優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行可靠性分析時(shí)，第2 個(gè)概率約束是不起作用的，所以無需對(duì)第2 個(gè)概率約束進(jìn)行可靠性分析。

圖5 概率約束條件偏移示意圖Fig. 5 Schematic diagram of probability constraint deviation

本節(jié)采用ASM 法對(duì)SORA 法中的可靠性進(jìn)行評(píng)估，在確定性優(yōu)化計(jì)算得出最優(yōu)解樣本點(diǎn)之后，以最優(yōu)解樣本點(diǎn)為中心進(jìn)行蒙特卡羅抽樣，生成若干個(gè)隨機(jī)樣本點(diǎn)，然后分別計(jì)算各個(gè)概率約束條件的失效概率以及整體失效概率。若某個(gè)概率約束條件的失效概率高于設(shè)計(jì)值，則采用ASM 法計(jì)算逆最大可能失效點(diǎn)，從而計(jì)算偏移向量，在下一循環(huán)的確定性優(yōu)化中按該偏移向量移動(dòng)該概率約束條件；若某個(gè)概率約束條件的失效概率低于設(shè)計(jì)值，則直接設(shè)置偏移向量為0 的向量，即無需移動(dòng)該概率約束條件。

本節(jié)提出的概率約束可行性檢查方法操作簡單、易于實(shí)現(xiàn)，能極大地減少不必要的可靠性評(píng)估過程，提高了計(jì)算效率。

2.2 基于興趣子域的可靠性優(yōu)化流程

MIGA 算法具備遺傳算法的優(yōu)點(diǎn)，即適用于全局的、離散的、非光滑的優(yōu)化問題，同時(shí)，還克服了傳統(tǒng)遺傳算法易早熟、局部優(yōu)化能力弱且計(jì)算耗時(shí)的缺點(diǎn)。本節(jié)將具有全局尋優(yōu)性能的MIGA算法和基于興趣子域的Kriging 模型嵌入SORA解耦方法中，通過SORA 法，將可靠性分析解耦成了確定性優(yōu)化和可靠性分析的優(yōu)化過程。本節(jié)提出的基于興趣子域的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)流程如圖6所示，歸納如下：

圖6 基于興趣子域的可靠性優(yōu)化流程Fig. 6 Reliability optimization process based on interest subdomain

1） 在確定性空間中，采用自適應(yīng)空間減縮及序貫抽樣策略構(gòu)造基于興趣子域的Kriging 模型，具體過程詳見1.3.2 節(jié)。

2） 設(shè)置所有概率約束條件的偏移向量初值為0 的向量。

3） 在確定性優(yōu)化部分，根據(jù)偏移向量V調(diào)整約束條件位置，采用MIGA 算法作為優(yōu)化算法，通過每次調(diào)用Kriging 模型計(jì)算各個(gè)功能函數(shù)的響應(yīng)值，并判斷各約束響應(yīng)是否滿足約束條件，然后輸出符合約束條件的最優(yōu)樣本點(diǎn)ui。

4） 基于最優(yōu)樣本點(diǎn)ui，根據(jù)2.1 節(jié)中的概率約束可行性檢查方法，篩選出需要進(jìn)行可靠性分析的概率約束條件，然后，采用ASM 法調(diào)用Kriging模型尋找逆最大可能失效點(diǎn)，計(jì)算偏移向量，以作為下一次循環(huán)過程確定性優(yōu)化中對(duì)應(yīng)約束條件的偏移向量。

5） 根據(jù)2.1 節(jié)中計(jì)算的整體失效概率Pf判斷是否停止迭代，若得到滿足約束條件要求的最優(yōu)可行解，可靠性優(yōu)化結(jié)束；否則，轉(zhuǎn)到步驟3）進(jìn)行下一次循環(huán)。

2.3 數(shù)學(xué)算例效果校驗(yàn)

本文采用文獻(xiàn)[18]中具有非線性概率約束的數(shù)學(xué)算例，來驗(yàn)證本文所提基于興趣子域的自適應(yīng)空間減縮及序貫抽樣策略的有效性。該算例的數(shù)學(xué)模型如下：

式中：ux表示由2 個(gè)設(shè)計(jì)變量x1，x2組成的樣本點(diǎn)； Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)；N表示正態(tài)分布；u0為初始樣本點(diǎn)； μxi為均值。

根據(jù)3 個(gè)概率約束函數(shù)Gi(X)，在平面空間中繪制如圖7 所示曲線。

圖7 概率約束函數(shù)曲線Fig. 7 Curves of probability constraint function

根據(jù)1.3.2 節(jié)的自適應(yīng)空間減縮及序貫抽樣流程，如圖8(a)所示，橫、縱坐標(biāo)分別表示2 個(gè)設(shè)計(jì)變量，采用拉丁超立方抽樣方法，在設(shè)計(jì)空間中生成10 000 個(gè)樣本點(diǎn)作為樣本集S，生成10 個(gè)樣本點(diǎn)作為訓(xùn)練集T。圖中，小圓點(diǎn)代表樣本集S，*點(diǎn)代表訓(xùn)練集T。

圖8(a)～圖8(f)所示為該數(shù)學(xué)算例的自適應(yīng)空間縮減過程圖。由圖可知，隨著序貫抽樣的進(jìn)行，代理模型精度不斷提高，同時(shí)，設(shè)計(jì)空間不斷縮小至興趣子域。其中，至圖8(f)所示在第15 次空間縮減后，共剩余3 265 個(gè)樣本點(diǎn)，分布區(qū)域主要集中在興趣子域中，訓(xùn)練集38 個(gè)樣本點(diǎn)，主要分布在約束邊界上。

圖8 自適應(yīng)空間縮減過程圖Fig. 8 Flowchart of adaptive space reduction

由表1 可知，采用本文提出的基于興趣子域的可靠性優(yōu)化方法得到了該數(shù)學(xué)算例的全局最優(yōu)解，該最優(yōu)解與理論解的相對(duì)誤差為0.066 8%，證明本文方法具有足夠的計(jì)算精度。且本文方法相比其他方法極大地減少了調(diào)用功能函數(shù)的次數(shù)，其中和文獻(xiàn)[18] 中最優(yōu)的HCC 方法相比減少了40.6%的調(diào)用次數(shù)，證明本文可靠性優(yōu)化方法高效。

表1 數(shù)學(xué)算例可靠度計(jì)算結(jié)果Table 1 Reliability calculation results of the math example

3 船舶艙段的可靠性優(yōu)化

3.1 船舶艙段模型介紹

本文將采用基于興趣子域的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，對(duì)一艘618TEU 型多用途船的貨艙艙段進(jìn)行可靠性優(yōu)化。該船主要裝載礦石等散裝貨物和集裝箱，其主尺度等參數(shù)如表2 所示。

表2 618TEU 型多用途船主尺度及航速Table 2 Main dimensions and speed of the 618TEU multipurpose vessel

本文優(yōu)化的區(qū)域?yàn)樵摯闹虚g貨艙。由于模型結(jié)構(gòu)、載荷和邊界條件都是沿中縱剖面對(duì)稱分布，為節(jié)省計(jì)算成本，船寬方向僅選取艙段的1/2 作為計(jì)算模型。同時(shí)，考慮到減少邊界條件的影響，船長方向選取1/2+1+1/2 艙段作為計(jì)算模型。艙段模型的垂向范圍則選取為船體型深。該艙段有限元模型如圖9 所示。

圖9 艙段有限元模型Fig. 9 Finite element model of the cabin

艙段模型的坐標(biāo)規(guī)定為：船長方向?yàn)閄軸，正方向由船艉指向船艏；船寬方向?yàn)閅軸，正方向由右舷指向左舷；型深方向?yàn)閆軸，正方向由基線指向甲板。

該艙段首、尾端面載荷對(duì)稱分布，可在兩端面建立多點(diǎn)約束（multi-point constraints，MPC），將MPC 與兩端面上節(jié)點(diǎn)耦合，從而施加約束和載荷。艙段模型邊界約束如表3 所示，有限元模型上邊界約束情況如圖10 所示。表3 中：Ux表示約束X方向的平移；Uy表示約束Y方向的平移；Uz表示約束Z方向的平移；URy表示約束繞Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)；URz表示約束繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖10 艙段模型約束情況Fig. 10 Constraints of the cabin model

表3 邊界條件施加表Table 3 Introduction of boundary conditions

貨艙艙段的載荷布置情況按中國船級(jí)社的《散貨船結(jié)構(gòu)強(qiáng)度直接計(jì)算分析指南》[19]確定。有限元模型中施加的載荷主要分為3 個(gè)部分：端面彎矩、外部水壓力和艙室內(nèi)貨物壓力，如圖11 所示。

圖11 艙段模型的載荷分布情況Fig. 11 Load distribution of the cabin model

3.2 船舶艙段可靠性優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

圖12 艙段橫剖面圖及設(shè)計(jì)變量分布情況[13]Fig. 12 Cross section of the cabin and distribution of design variables[13]

次確定性優(yōu)化迭代后得出的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案所對(duì)應(yīng)的板厚值；而標(biāo)準(zhǔn)差 σti則設(shè)為制造加工的許用偏差，本文取為對(duì)應(yīng)板材厚度均值的2%，即ti～N(μti,(0.02μti)2)。

各設(shè)計(jì)變量的編號(hào)以及對(duì)應(yīng)的名稱和初始值如表4 所示。

表4 設(shè)計(jì)變量參數(shù)表Table 4 Parameter list of design variables

式中：Gj(ti)為 各個(gè)概率約束條件的功能函數(shù)；gj(ti)為按照規(guī)范分類的板和梁的應(yīng)力響應(yīng)。gj(ti)對(duì)應(yīng)的計(jì)算區(qū)域及許用應(yīng)力要求如表5 所示。通過對(duì)表5 中6 個(gè)結(jié)構(gòu)分類區(qū)域分別建立分組，輸出每個(gè)分組中單元絕對(duì)值最大的von Mises應(yīng)力值作為表5 中6 個(gè)變量的應(yīng)力響應(yīng)值。

表5 g i(x)對(duì)應(yīng)的計(jì)算區(qū)域及許用應(yīng)力要求Table 5 Analysis domain and allowable stress for gi(x)

3.3 船舶艙段可靠性優(yōu)化計(jì)算結(jié)果

本文通過Isight 優(yōu)化平臺(tái)，集成Matlab，Patran和Nastran 軟件，采用2.2 節(jié)所述的基于興趣子域的可靠性優(yōu)化流程，對(duì)此艙段結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)。即采用Isight 自帶的MIGA 優(yōu)化算法，采用Matlab 軟件實(shí)現(xiàn)SORA 算法，然后采用Patran軟件進(jìn)行參數(shù)化建模及后處理，并調(diào)用Nastran 軟件進(jìn)行模型分析計(jì)算。具體參數(shù)設(shè)置和流程如下：

1） 采用最優(yōu)拉丁超立方抽樣技術(shù)生成180 個(gè)初始樣本點(diǎn)，對(duì)6 個(gè)概率約束條件和目標(biāo)函數(shù)分別構(gòu)造初代Kriging 模型，進(jìn)而采用基于興趣子域的自適應(yīng)空間減縮及序貫抽樣策略構(gòu)造7 個(gè)Kriging動(dòng)態(tài)代理模型。

2） 采用SORA 算法結(jié)合MIGA 算法進(jìn)行可靠性評(píng)估和優(yōu)化，具體流程詳見2.2 節(jié)。并將不考慮概率約束的優(yōu)化結(jié)果與可靠性優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表6 和表7 所示。

表6 可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)與無概率約束優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Table 6 Comparison between reliability-based design optimization and probability-free constrained optimization

由表7 可知，對(duì)船舶艙段進(jìn)行可靠性優(yōu)化后，可靠度達(dá)99.68%，滿足概率約束條件；艙段總質(zhì)量相比初始方案下降了6.32%，優(yōu)化效果顯著；艙段總質(zhì)量相比確定性優(yōu)化增加了0.728%，符合基于可靠性的優(yōu)化設(shè)計(jì)原理，即考慮到設(shè)計(jì)變量的不確定性，通過偏移向量將邊界條件朝著可靠域偏移，從而犧牲部分經(jīng)濟(jì)性來達(dá)到可靠度指標(biāo)。通過對(duì)比文獻(xiàn)[13]的可靠性優(yōu)化結(jié)果可知，本文與文獻(xiàn)[13]相比少調(diào)用了94 次有限元計(jì)算次數(shù)，且艙段總質(zhì)量和文獻(xiàn)[13]的結(jié)果相比減少了0.883%，證明了本文所提可靠性優(yōu)化策略的高效性和適用性。

表7 可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)與無概率約束優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Table 7 Comparison between reliability-based design optimization and probability-free constrained optimization

采用蒙特卡羅法對(duì)上述可靠性優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。在設(shè)計(jì)空間均勻生成106個(gè)隨機(jī)樣本點(diǎn)，采用蒙特卡羅仿真（Monte Carlo simulation，MCS）得到可靠度Pr= 99.67%，由此可知，本文的可靠性優(yōu)化方案滿足可靠度要求。為檢驗(yàn)本文中基于興趣子域的自適應(yīng)空間減縮及序貫抽樣策略所構(gòu)建的動(dòng)態(tài)代理模型的預(yù)測精度，將最終方案進(jìn)行了有限元計(jì)算驗(yàn)證，表8 所示為概率約束條件和優(yōu)化目標(biāo)對(duì)比結(jié)果。

艙段質(zhì)量作為優(yōu)化目標(biāo)，可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)和有限元分析兩種方式的計(jì)算結(jié)果分別為456.6 t 和452.536 t，相 對(duì) 誤 差 為0.898 1，因 此 綜 合 表8 可知，本文構(gòu)建的替代艙段模型的Kriging 模型對(duì)各個(gè)約束功能函數(shù)和優(yōu)化目標(biāo)的預(yù)測相對(duì)誤差均在1%以內(nèi)，驗(yàn)證了本文所提可靠性優(yōu)化方法的精度，以及其在船舶結(jié)構(gòu)領(lǐng)域的適用性。

表8 可靠性優(yōu)化結(jié)果與有限元模型結(jié)果對(duì)比Table 8 Comparison between result of reliability-based design optimization and FEM

4 結(jié) 論

本文針對(duì)船舶結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化，采用序貫抽樣策略構(gòu)建了高精度、高效率的動(dòng)態(tài)代理模型，用以達(dá)到使用盡可能少的樣本點(diǎn)構(gòu)建具有足夠擬合精度的代理模型的目的，從而減少調(diào)用耗時(shí)的有限元模型計(jì)算的次數(shù)，節(jié)約計(jì)算成本。得到的主要結(jié)論如下：

1） 通過研究本文所采用SORA 算法中ASM法的尋優(yōu)原理，以及確定性優(yōu)化的最優(yōu)解可能存在的區(qū)域，確定了基于可靠性優(yōu)化的興趣子域范圍，并提出了基于興趣子域的自適應(yīng)空間減縮序貫抽樣策略，通過制定自適應(yīng)空間減縮規(guī)則，在采用主動(dòng)學(xué)習(xí)函數(shù)進(jìn)行序貫抽樣的同時(shí)，逐步對(duì)設(shè)計(jì)空間進(jìn)行了縮減，從而能采用盡可能少的樣本點(diǎn)構(gòu)造對(duì)興趣子域進(jìn)行局部高度擬合的動(dòng)態(tài)代理模型。

2） 針對(duì)SORA 法在可靠性評(píng)估尋找逆最大可能失效點(diǎn)的過程中并不是所有的概率約束都起作用的問題，提出了概率約束可行性檢查方法，該方法操作簡單、易于實(shí)現(xiàn)，能極大地減少不必要的可靠性評(píng)估過程，節(jié)省了計(jì)算成本。

3） 將基于興趣子域構(gòu)建的動(dòng)態(tài)Kriging 代理模型與MIGA 算法相結(jié)合嵌入SORA 算法中，構(gòu)建了基于興趣子域的可靠性優(yōu)化方法，通過采用數(shù)學(xué)算例，驗(yàn)證了該方法的計(jì)算效率和精度。

4） 將基于興趣子域的可靠性優(yōu)化方法應(yīng)用于船舶艙段結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)中，結(jié)果顯示艙段總質(zhì)量相比初始方案下降了6.32%，相比確定性優(yōu)化增加了0.883%，可靠度達(dá)到了99.68%。該方案在保證結(jié)構(gòu)安全性的同時(shí)提升了經(jīng)濟(jì)性，證明了本文所提可靠性優(yōu)化策略的高效性和適用性。