程吉，魏海鵬，林毅，劉華坪，舒樂(lè)時(shí)，周奇，蔣平*

1 華中科技大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430074

2 華中科技大學(xué) 航空航天學(xué)院，湖北 武漢 430074

3 中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076

4 華中科技大學(xué) 數(shù)字制造裝備與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430074

0 引 言

為了提高復(fù)雜工程產(chǎn)品（例如飛機(jī)、輪船、汽車等）的設(shè)計(jì)質(zhì)量及設(shè)計(jì)效率，代理模型（又稱近似模型或元模型）已被廣泛用于基于實(shí)驗(yàn)或數(shù)值仿真的設(shè)計(jì)優(yōu)化中，以替代昂貴的實(shí)驗(yàn)或仿真模型來(lái)降低計(jì)算成本[1]。在基于代理模型的設(shè)計(jì)優(yōu)化中，分析模型的精度對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程及結(jié)果至關(guān)重要。采用高精度分析模型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，構(gòu)建滿足精度要求的代理模型需要大量計(jì)算昂貴的高精度樣本點(diǎn)，導(dǎo)致優(yōu)化過(guò)程所需的計(jì)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)；而采用低精度分析模型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，雖能夠顯著降低建模成本[2]，但可能會(huì)導(dǎo)致最后得到失效的優(yōu)化解。

為解決優(yōu)化設(shè)計(jì)中高/低精度分析模型之間的矛盾問(wèn)題，變可信度代理模型應(yīng)運(yùn)而生。變可信度代理模型通過(guò)低精度樣本點(diǎn)降低設(shè)計(jì)成本，同時(shí)采用少量的高精度樣本點(diǎn)來(lái)矯正相對(duì)高精度模型間的偏差，使其能夠在減少計(jì)算成本的同時(shí)保證模型的精度[3]。將變可信度代理模型與高效全局優(yōu)化（efficient global optimization, EGO）方法結(jié)合用于設(shè)計(jì)優(yōu)化時(shí)，在優(yōu)化過(guò)程中需要同時(shí)確定序貫更新樣本點(diǎn)的位置和模型精度層級(jí)。為此，Huang 等[4]提出了一種Co-Kriging 模型輔助的EGO 方法，通過(guò)采用增強(qiáng)期望改善（augmented expected improvement, AEI）準(zhǔn)則來(lái)同時(shí)確定更新樣本的位置和精度層級(jí)。Zhang等[5]基于層次Kriging 模型提出一種變可信度期望改善（VF-EI）準(zhǔn)則，通過(guò)分析高/低精度樣本對(duì)變可信度模型不確定性的影響來(lái)自適應(yīng)地選擇模型精度層級(jí)，有效避免了經(jīng)驗(yàn)參數(shù)對(duì)優(yōu)化方法的影響。Jiang 等[6]考慮低精度樣本的成本及其對(duì)變可信度代理模型的影響，提出了一種變可信度置信下界（lower confidence bound, LCB）準(zhǔn)則，以此確定更新樣本的模型精度層級(jí)。張守慧等[7]將仿真分析模型與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型分別作為高/低精度模型，對(duì)KCS 集裝箱船艏部型線進(jìn)行優(yōu)化，得到了興波阻力下降的船型。然而，目前基于變可信度EGO 方法的船舶優(yōu)化設(shè)計(jì)均是在每次迭代過(guò)程中選取單個(gè)樣本進(jìn)行仿真計(jì)算，設(shè)計(jì)仍需要大量的計(jì)算時(shí)間。

隨著計(jì)算機(jī)軟硬件的快速發(fā)展，計(jì)算機(jī)的性能得到大幅提升，設(shè)計(jì)者們更加青睞于使用并行計(jì)算結(jié)構(gòu)（即多臺(tái)計(jì)算機(jī)或同一計(jì)算機(jī)多個(gè)處理器同時(shí)進(jìn)行計(jì)算的結(jié)構(gòu)）進(jìn)行設(shè)計(jì)，以此來(lái)縮短優(yōu)化設(shè)計(jì)所需的時(shí)間。若想將傳統(tǒng)的EGO 方法拓展至并行計(jì)算，則需要開發(fā)相應(yīng)的并行更新準(zhǔn)則，使得算法能夠在每次迭代過(guò)程中選取多個(gè)更新點(diǎn)。為此，Ginsbourger 等[8]提出了一種q-EI 準(zhǔn)則（q為計(jì)算資源數(shù)），該準(zhǔn)則能夠計(jì)算q=2時(shí)的目標(biāo)改善期望值，以此選擇貢獻(xiàn)更大的2 個(gè)樣本點(diǎn)，并使用蒙特卡洛方法來(lái)近似計(jì)算q＞2時(shí)的EI 函數(shù)值，然而該方法在高維時(shí)計(jì)算十分困難。為解決該問(wèn)題，Ginsbourger 團(tuán)隊(duì)同時(shí)提出了KB（Kriging beliver）和CL（constant liar）方法，避免了q-EI 準(zhǔn)則在選取樣本點(diǎn)時(shí)的大量運(yùn)算[8]。Zhan 等[9]根據(jù)Kriging 模型中的相關(guān)性函數(shù)提出一種偽EI（PEI）準(zhǔn)則，使其能高效、準(zhǔn)確地選取多個(gè)更新樣本，并應(yīng)用于甲板板架、船底板架、縱橫加筋圓錐殼、環(huán)向加筋圓錐殼[10]的船舶結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中。另外，夏志等[11]基于4 種常用的代理模型對(duì)水下結(jié)構(gòu)物基座的阻抗特性進(jìn)行快速預(yù)報(bào)分析。雖然上述并行EGO 方法均可加速優(yōu)化過(guò)程以節(jié)省優(yōu)化設(shè)計(jì)所需時(shí)間，但是現(xiàn)有的并行EGO 方法均是針對(duì)單精度分析模型而言，適用于變可信度的并行EGO 方法仍待完善。

綜上，為縮短復(fù)雜產(chǎn)品設(shè)計(jì)時(shí)間并提高設(shè)計(jì)效率，本文將提出一種適用于并行計(jì)算結(jié)構(gòu)的變可信度LCB 優(yōu)化方法。該方法可通過(guò)變可信度LCB 函數(shù)在高/低精度間分配計(jì)算資源，并經(jīng)影響函數(shù)選取多個(gè)可能的最優(yōu)樣本點(diǎn)，且與常用約束處理策略相結(jié)合以對(duì)約束問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化。最后，將該方法應(yīng)用于水下發(fā)射的航行體天線罩結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題中，對(duì)天線罩的結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行優(yōu)化。

1 Kriging 模型與變可信度代理模型

1.1 Kriging 模型

Kriging 模型[12]是一種插值回歸模型，又稱為高斯過(guò)程模型，因其能夠在預(yù)測(cè)響應(yīng)值的同時(shí)給出預(yù)估均方誤差而被廣泛使用。Kriging 模型可以表示為

1.2 變可信度代理模型

變可信度代理模型通過(guò)整合來(lái)自高精度及低精度分析模型的樣本信息來(lái)近似模擬原系統(tǒng)，通常假設(shè)高/低精度模型間存在一定的差異，但響應(yīng)的整體趨勢(shì)大致相似[13]?，F(xiàn)有的變可信度代理模型構(gòu)建方法主要包括3 種：基于標(biāo)度函數(shù)的變可信度代理模型、基于空間映射的變可信度代理模型和Co-Kriging 類變可信度代理模型。其中，基于標(biāo)度函數(shù)的變可信度代理模型應(yīng)用最為普遍，主要有3 種標(biāo)度函數(shù)被用于構(gòu)建變可信度代理模型：加法標(biāo)度函數(shù)、乘法標(biāo)度函數(shù)及混合標(biāo)度函數(shù)。其中，加法標(biāo)度函數(shù)因其原理簡(jiǎn)單、構(gòu)建迅速而被廣泛應(yīng)用于工程優(yōu)化問(wèn)題中，本文選用加法標(biāo)度函數(shù)法構(gòu)建變可信度代理模型。

在低精度及差異函數(shù)的Kriging 模型構(gòu)建完后，變可信度代理模型在未觀測(cè)點(diǎn)處的高精度預(yù)測(cè)值及預(yù)測(cè)誤差可以表示為：

2 并行變可信度LCB 方法

為充分利用變可信度代理模型及并行計(jì)算結(jié)構(gòu)各自的優(yōu)勢(shì)，本文提出了基于變可信度LCB 的并行優(yōu)化方法（PVF-LCB）。PVF-LCB 方法選取并行更新樣本點(diǎn)的主要思想為：首先，并行計(jì)算樣本點(diǎn)處的響應(yīng)值，以及根據(jù)加法標(biāo)度函數(shù)構(gòu)建變可信度代理模型；然后，利用變可信度LCB 函數(shù)（VF-LCB）選取合適的樣本點(diǎn)位置及精度層級(jí)；最后，通過(guò)選取的高/低精度樣本點(diǎn)構(gòu)建影響函數(shù)（IF），經(jīng)IF計(jì)算，對(duì)不同精度上其他未觀測(cè)點(diǎn)處的Kriging模型預(yù)估誤差值，并基于計(jì)算的預(yù)估誤差及VFLCB 函數(shù)選取下一個(gè)樣本。PVF-LCB 方法流程如圖1 所示，該方法的要點(diǎn)在于并行VF-LCB 準(zhǔn)則選取了多個(gè)樣本點(diǎn)，主要包括3 個(gè)部分：VF-LCB選取樣本點(diǎn)及精度層級(jí)、并行選點(diǎn)策略和約束處理策略。

圖1 并行變可信度LCB 方法流程圖Fig. 1 Flowchart of the proposed PVF-LCB method

2.1 變可信度LCB 函數(shù)

VF-LCB 函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)單精度LCB 函數(shù)的拓展，它能夠同時(shí)確定更新樣本的位置和精度層級(jí)。VF-LCB 函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)LCB 函數(shù)相似，其同樣是代理模型預(yù)測(cè)值和預(yù)估誤差的線性組合，公式如下：

在VF-LCB 函數(shù)中，前一項(xiàng)為高精度的預(yù)測(cè)值，與模型精度層級(jí)無(wú)關(guān)，即無(wú)論搜索高精度樣本還是低精度樣本，VF-LCB 函數(shù)均關(guān)注高精度預(yù)測(cè)值的最小值附近區(qū)域。后一項(xiàng)為預(yù)估誤差項(xiàng)，用于考慮變可信度代理模型的預(yù)估不確定性對(duì)預(yù)測(cè)函數(shù)值帶來(lái)的影響。 ω1和 ω2根據(jù)高精度預(yù)測(cè)值及預(yù)估誤差的分布離散程度來(lái)計(jì)算，能夠在優(yōu)化的過(guò)程中根據(jù)模型自身的特性客觀地調(diào)整兩項(xiàng)之間的權(quán)重參數(shù)。而CR(t)用于調(diào)整不同精度層級(jí)仿真成本帶來(lái)的影響，模型層級(jí)越低且成本系數(shù)越大，CR(t)對(duì)更新樣本點(diǎn)的位置與層級(jí)帶來(lái)的影響則越大；而由于t=1時(shí)CR(1)＞1， 故CR(t)使得VF-LCB 函數(shù)更加傾向于選取廉價(jià)的低精度樣本作為更新樣本。

2.2 并行選點(diǎn)策略

在VF-LCB 函數(shù)中，高/低精度樣本點(diǎn)位置的選取主要由高/低精度的預(yù)估誤差項(xiàng)來(lái)確定。據(jù)此，本文使用影響函數(shù)來(lái)計(jì)算新的未觀測(cè)樣本點(diǎn)處的預(yù)估誤差值，使得提出的方法能夠在每次迭代過(guò)程中選取多個(gè)對(duì)模型改善大且不重復(fù)的樣本點(diǎn)。對(duì)高/低精度模型，影響函數(shù)的公式分別為：

式中：x(i)為目前已選取但未進(jìn)行仿真計(jì)算的更新樣 本 點(diǎn)；RC(·)和Rlf(·)分 別 為 差 異 函 數(shù) 及 低 精度Kriging 模型中的相關(guān)性函數(shù)，通過(guò)式（3）計(jì)算得到。圖2 為某一維函數(shù)的影響函數(shù)示意圖，影響函數(shù)值在已選取的待更新樣本點(diǎn)處為0，且隨著與待更新樣本點(diǎn)的距離增大逐漸增加至1。因此，鑒于影響函數(shù)的關(guān)系，預(yù)估誤差值在待更新樣本點(diǎn)處為0，且隨著與待更新樣本的距離增大而增加，從而避免了選取重復(fù)的樣本點(diǎn)。

圖2 影響函數(shù)示意圖Fig. 2 Schematic diagram of the influence function

在確定一個(gè)或多個(gè)更新樣本點(diǎn)后，使用影響函數(shù)來(lái)計(jì)算變可信度代理模型的預(yù)估誤差：

圖3 并行VF-LCB 準(zhǔn)則流程圖Fig. 3 Flowchart of the proposed PVF-LCB criterion

2.3 約束處理策略

前文的PVF-LCB 并行優(yōu)化方法均針對(duì)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，為了拓展其至約束優(yōu)化方法，本文選取了3 種常用的約束處理方法（包括懲罰函數(shù)法、約束搜索法和可行概率法）與所提出的并行優(yōu)化方法相結(jié)合。

2.3.1 懲罰函數(shù)法

懲罰函數(shù)法是最為常用的一種約束處理方法，該方法在原目標(biāo)函數(shù)上加上懲罰項(xiàng)，使得約束問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)闊o(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。

2.3.2 約束搜索法

約束搜索法即在滿足約束要求的條件下對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行搜索，需要與相應(yīng)的約束優(yōu)化方法進(jìn)行結(jié)合。約束搜索法與懲罰函數(shù)法的區(qū)別在于：懲罰函數(shù)法是通過(guò)無(wú)約束優(yōu)化方法進(jìn)行搜尋，由于缺乏對(duì)約束的考慮，可能會(huì)造成無(wú)法搜索到可行解或者未搜索到最優(yōu)可行解；而約束搜索法則是根據(jù)已有的約束優(yōu)化方法進(jìn)行搜尋，能夠搜索到更優(yōu)的可行解。

使用約束搜索法對(duì)VF-LCB 函數(shù)進(jìn)行搜索時(shí)的優(yōu)化問(wèn)題可以描述為：

2.3.3 可行概率法

可行概率法是通過(guò)計(jì)算在未觀測(cè)點(diǎn)處滿足所有約束的概率，亦稱為可行性概率（PoF），并將該概率值與目標(biāo)函數(shù)相結(jié)合，使原約束問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)闊o(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。PoF 函數(shù)的表達(dá)式為

2.4 數(shù)值算例驗(yàn)證

為測(cè)試該方法的有效性，以及優(yōu)化計(jì)算的效率及魯棒性，本文選取了3 個(gè)典型的數(shù)值算例[5]進(jìn)行計(jì)算及對(duì)比，包括2 個(gè)無(wú)約束算例及1 個(gè)約束算例[6]。在該測(cè)試中，考慮5 臺(tái)計(jì)算機(jī)并行計(jì)算（q=5）的情況，并假定一個(gè)高精度計(jì)算的成本為低精度計(jì)算成本的5 倍（即CR(1)=5）。選取變可信度期望改善方法[5]及偽EI 方法（PEI）[9]作為對(duì)比方法進(jìn)行測(cè)試，并保證相應(yīng)測(cè)試參數(shù)一致。對(duì)每個(gè)測(cè)試函數(shù)計(jì)算10 次，用以評(píng)估方法的魯棒性，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1 所示，表中加粗?jǐn)?shù)據(jù)表示每組對(duì)比中的最優(yōu)結(jié)果。

表1 本文方法的數(shù)值優(yōu)化問(wèn)題測(cè)試結(jié)果Table 1 Optimization results of the proposed approach and comparable methods

由表1 可知：對(duì)于無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題（Hartman 3和Ackley 5），本文所提方法找到了最優(yōu)優(yōu)化解，且所需迭代次數(shù)最少。與VF-EI 方法對(duì)比，本文所提PVF-LCB 方法由于每次迭代多個(gè)樣本點(diǎn)的選取，大大減少了優(yōu)化所需要的時(shí)間；與PEI 方法相比，由于變可信度代理模型的使用，本文方法減少了約50%的計(jì)算成本。另外，從等價(jià)高精度樣本數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差可見，本文方法在面對(duì)不同初始樣本點(diǎn)等因素的影響時(shí)，穩(wěn)定性最好。

對(duì)于約束問(wèn)題（Gano 2），通過(guò)3 種約束處理方法與本文所提出的并行變可信度LCB 方法相結(jié)合，分別表示為：PVF-LCB1，PVF-LCB2，PVFLCB3?？梢?，在優(yōu)化該問(wèn)題時(shí)，與約束搜索法結(jié)合的方法得到了最為精確的優(yōu)化解，而PVFLCB1得到滿足精度解時(shí)所需要的迭代次數(shù)最少，即優(yōu)化時(shí)間最少。而從所提方法的魯棒性看，PVF-LCB1和PVF-LCB2方法在處理該問(wèn)題時(shí)魯棒性較好，而PCEI 和PVF-LCB3方法魯棒性最差。

3 航行體天線罩結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

采用適配器發(fā)射是一項(xiàng)先進(jìn)的航行體水下發(fā)射技術(shù)，它不僅結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，而且裝填方便[14]。航行體未發(fā)射時(shí)，適配器在發(fā)射筒內(nèi)起到了固定、支撐航行體的作用；發(fā)射時(shí)在發(fā)射筒內(nèi)與航行體一起運(yùn)動(dòng)，對(duì)航行體起到定位和導(dǎo)向的作用。適配器方案下存在航行體出筒后分離多余物的問(wèn)題，而分離的適配器可能會(huì)與天線罩發(fā)生碰撞，因此對(duì)天線罩的結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重大意義。

天線罩作為航行體的一部分，其主要用途是保護(hù)航行體上的天線能夠在航行體飛行途中正常工作，若將天線比作航行體的“眼睛”，天線罩則好比航行體的“護(hù)目鏡”。而天線罩設(shè)計(jì)得過(guò)大會(huì)造成航行體質(zhì)量不均衡且受到的氣動(dòng)阻力變大，因此，本文考慮在保證一定結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的要求下對(duì)天線罩結(jié)構(gòu)進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)。

航行體天線罩和適配器的結(jié)構(gòu)位置如圖4 所示，航行體以一定的初速度運(yùn)動(dòng)，使天線罩與呈一定角度的適配器發(fā)生碰撞。適配器為環(huán)形空心結(jié)構(gòu)，材料采用的是廣泛使用的聚氨酯泡沫和聚氨酯彈性體。適配器結(jié)構(gòu)分為3 層，其三維模型如圖5 所示。

圖4 航行體天線罩與適配器位置示意圖Fig. 4 Schematic diagram of the location between the deep-submerged body's protective cover and the adapter

圖5 適配器三維模型Fig. 5 3D model of the adapter

在設(shè)計(jì)天線罩時(shí)，有3 個(gè)設(shè)計(jì)變量：天線罩沿航行體縱向的長(zhǎng)度L，天線罩在環(huán)向的長(zhǎng)度H和天線罩的厚度D，如圖6 所示。該設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述可以表示為

圖6 天線罩設(shè)計(jì)變量示意圖Fig. 6 Schematic diagram of the design variables

式中：V(·)為 天線罩的體積；F(·)為天線罩受到的最 大沖擊力； εz(·)為 適 配 器 在z軸方向上的最大應(yīng)變值；設(shè)計(jì)變量取值范圍：150 mm ≤L≤250 mm;140 mm ≤H≤200 mm; 25 mm ≤D≤50 mm。

在仿真計(jì)算時(shí)，首先，采用ANSYS2020 軟件對(duì)航行體、天線罩及適配器進(jìn)行前處理，航行體殼體與天線罩建模時(shí)使用ANSYS 有限元工具中的剛體材料模型RIGID 對(duì)其建模，對(duì)適配器采用Mooney-Rivlin 模型進(jìn)行本構(gòu)建模。然后，再使用LS-DYNA 軟件進(jìn)行有限元仿真計(jì)算。最后，使用LS-PREPOST 進(jìn)行后處理提取所需響應(yīng)值。

選取不同數(shù)量網(wǎng)格的仿真模型作為高/低精度模型，低精度仿真模型網(wǎng)格數(shù)約為22 000，高精度仿真模型網(wǎng)格數(shù)約為120 000，高/低精度模型網(wǎng)格圖如圖7 所示。因每次高精度及低精度仿真時(shí)間分別約為1 h 和10 min，故設(shè)置提出方法中的成本系數(shù)CR(1)=6。對(duì)某一個(gè)樣本點(diǎn)，測(cè)試其高/低精度仿真響應(yīng)，得到的最大沖擊力及適配器最大應(yīng)變?nèi)鐖D8 所示。由圖可見，高/低精度的最大沖擊力存在一定的差異，但出現(xiàn)最大沖擊力的時(shí)刻點(diǎn)幾乎相同，且時(shí)程曲線具有相似的趨勢(shì)。高/低精度模型的適配器最大應(yīng)變值同樣具有一定的差異，但其值卻出現(xiàn)在不同的時(shí)刻點(diǎn)。

圖7 高/低精度仿真模型網(wǎng)格示意圖Fig. 7 Schematic diagram of meshing for the high and low-fidelity simulation model

圖8 高/低精度響應(yīng)值對(duì)比Fig. 8 Response comparison of the high and low-fidelity model

采用提出的變可信度LCB 并行優(yōu)化方法對(duì)航行體天線罩結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，對(duì)2 臺(tái)（q=2） 、3 臺(tái)（q=3 ） 及6 臺(tái)（q=6）計(jì)算機(jī)并行計(jì)算的情況進(jìn)行測(cè)試。同時(shí)，選取2 組已有的基于代理模型的EGO 優(yōu)化方法和本文所提方法對(duì)求解該工程問(wèn)題進(jìn)行對(duì)比。第1 組選取廣泛使用的基于變可信度代理模型的串行優(yōu)化方法，即AEI 方法[4]和VF-EI 方法[5]，用于驗(yàn)證在使用變可信度代理模型情況下采取并行計(jì)算結(jié)構(gòu)的優(yōu)化過(guò)程所節(jié)省的時(shí)間成本。第2 組選取已有的基于單精度代理模型的并行優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，包括KB-CEI 方法[8]和偽CEI 方法（PCEI）[9,10]。對(duì)基于變可信度代理模型的串行優(yōu)化方法，當(dāng)?shù)葍r(jià)高精度樣本數(shù)達(dá)到30 時(shí)停止，等價(jià)高精度樣本數(shù)計(jì)算方法為nhf+nlf/CR(1) ， 其中nlf和nhf為添加的低精度、高精度樣本數(shù)；而對(duì)于本文所提方法及基于單精度代理模型的并行優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，在q=2及q=3時(shí)進(jìn)行10 次優(yōu)化迭代過(guò)程，在q=6時(shí)進(jìn)行5 次優(yōu)化迭代過(guò)程后停止。測(cè)試所提方法與3 種約束處理策略相結(jié)合時(shí)的優(yōu)化結(jié)果，分別表示為：PVF-LCB1，PVFLCB2和PVF-LCB3。在優(yōu)化過(guò)程中，由拉丁超立方實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法選取9 個(gè)高精度樣本點(diǎn)及18 個(gè)低精度樣本點(diǎn)作為本文方法及變可信度串行優(yōu)化方法的初始樣本點(diǎn)，相同的9 個(gè)高精度樣本點(diǎn)作為單精度并行優(yōu)化方法的初始樣本點(diǎn)。表2 所示為本文方法與2 組對(duì)比方法的比較結(jié)果，表中粗體表示對(duì)比項(xiàng)的最優(yōu)值。

圖9 為3 種并行情況下的優(yōu)化過(guò)程迭代曲線圖。由圖可以看到，在q=3 及q=6時(shí)，本文所提方法在第1 次迭代過(guò)程即找到了滿足約束要求的可行解，其中PVF-LCB3方法在第1 次迭代找到了較優(yōu)的解。對(duì)于KB-CEI 方法，其在q=3及q=6時(shí)未能在預(yù)設(shè)的計(jì)算成本內(nèi)找到滿足約束要求的優(yōu)化設(shè)計(jì)解，而在q=2時(shí)經(jīng)過(guò)8 次迭代過(guò)程才找到。對(duì)于PCEI 方法，分別在第7 次、第5 次和第2 次迭代時(shí)才搜尋到滿足約束的解。因此，通過(guò)變可信度LCB 函數(shù)自適應(yīng)分配資源以及變可信度代理模型的使用，本文方法能夠更高效地搜索滿足約束條件的優(yōu)化解。另外，隨著并行計(jì)算資源的增加，本文方法得到相同優(yōu)化解所需的迭代次數(shù)（即設(shè)計(jì)時(shí)間）減少，但仿真計(jì)算所需總次數(shù)增多。

圖9 并行優(yōu)化方法迭代曲線Fig. 9 Iterative curves of the parallel optimization methods

綜上所述，本文提出的并行變可信度LCB 方法能夠有效地對(duì)航行體天線罩的結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，能夠滿足航行體天線罩與適配器碰撞要求。該方法與可行概率法相結(jié)合時(shí)，對(duì)求解工程優(yōu)化問(wèn)題的設(shè)計(jì)效率最高。與已有的變可信度優(yōu)化設(shè)計(jì)方法相比，因使用了并行計(jì)算結(jié)構(gòu)，極大地縮短了優(yōu)化設(shè)計(jì)所需的計(jì)算時(shí)間，且得到的優(yōu)化解更優(yōu)，天線罩質(zhì)量減少了約50%。另外，本文方法與已有的基于單精度代理模型的并行優(yōu)化方法相比，通過(guò)變可信度LCB 函數(shù)自適應(yīng)分配高/低精度資源，提高了優(yōu)化求解效率，且減少了約30%的天線罩質(zhì)量。

4 結(jié) 論

在基于代理模型的復(fù)雜工程產(chǎn)品設(shè)計(jì)問(wèn)題中，為縮短所需的時(shí)間并提高求解效率，本文基于變可信度代理模型優(yōu)化算法的自適應(yīng)機(jī)制與并行計(jì)算框架相結(jié)合，提出了一種并行變可信度LCB算法。該算法能夠通過(guò)提出的VF-LCB 函數(shù)自適應(yīng)地在高/低精度模型間分配計(jì)算資源，以及通過(guò)低精度與差異函數(shù)的Kriging 模型建立影響函數(shù)，用于在優(yōu)化求解過(guò)程中選取多個(gè)對(duì)變可信度代理模型改善較大的更新樣本點(diǎn)。為了將所提方法適用于約束優(yōu)化問(wèn)題，選取了基于代理模型優(yōu)化方法中常用的3 種約束處理方法與并行變可信度LCB算法相結(jié)合，并應(yīng)用于水下航行體發(fā)射時(shí)天線罩與適配器碰撞的優(yōu)化問(wèn)題。對(duì)航行體天線罩結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化的結(jié)果表明：1）所提方法與可行概率法相結(jié)合對(duì)上述工程問(wèn)題的優(yōu)化求解最為高效；2）與已有的基于變可信度代理模型的串行優(yōu)化方法相比，本文方法減少了天線罩質(zhì)量約50%，縮短了設(shè)計(jì)優(yōu)化所需的時(shí)間；而且，與已有基于單精度代理模型的并行優(yōu)化方法相比，天線罩質(zhì)量也減少了約30%，優(yōu)化求解的效率得到了提高。

由于本文所采用的約束處理方法僅考慮了模型的高精度預(yù)測(cè)值，未考慮約束條件下高/低精度的預(yù)估誤差及其他信息，因此，未來(lái)將從昂貴的約束優(yōu)化方向進(jìn)一步開展工作，找到適用于變可信度的昂貴約束優(yōu)化方法，并可以拓展至并行計(jì)算結(jié)構(gòu)。