李國良

(興義民族師范學院 物理與工程技術學院，貴州 興義562400)

在電學恒定電流的學習中，電阻串并聯電路[1-3]一直是研究的熱點。在電阻串并聯電路中，當分壓器電路中滑動變阻器的觸頭滑動而使滑動變阻器并聯部分阻值增大時，則串聯部分阻值變小，即并聯部分阻值和串聯部分阻值變化相反，因而不能直接判斷總電阻的變化規(guī)律。為了獲得分壓器電路中總電阻的變化規(guī)律，以前以滑動變阻器串聯部分阻值為研究變量，并分別用構造函數法、求導法以及單調函數法進行了研究，并對這三種方法進行了比較[4]。在構造函數法中，構造可以直接判斷分壓器電路總電阻變化規(guī)律的特殊函數非常困難，求導法需要熟練掌握求導公式，而單調函數法的研究方法和推導過程都很簡單。

下面以滑動變阻器并聯部分阻值為研究變量，并分別使用構造函數法、求導法以及單調函數法對分壓器電路總電阻的變化規(guī)律進行進一步研究。通過分別以滑動變阻器串聯部分阻值和并聯部分阻值為研究變量用這三種方法進行研究，并比較兩個研究變量之間的差異，不僅可以使學生選擇更合適的研究變量和研究方法，而且可以培養(yǎng)學生的思維能力，增強學生對學習物理的興趣。

1 分壓器電路總電阻的表達式

分壓器電路是由滑動變阻器R1和固定電阻R2組成，如圖1 所示。如果滑動變阻器R1的串聯部分阻值設為x，并聯部分阻值設為y，則總電阻可以表示為：

圖1 分壓器電路的電路圖

當滑動變阻器的觸頭滑動時，由于并聯部分阻值和串聯部分阻值的大小變化相反，所以不能直接判斷分壓器電路總電阻的變化規(guī)律。為了判斷總電阻的變化規(guī)律，并與以前以滑動變阻器串聯部分阻值x 為研究變量進行比較，現在以滑動變阻器并聯部分阻值y 為變量進行進一步研究，由公式(1)可以將總電阻表示為滑動變阻器并聯部分阻值y 的函數，

總電阻的變化規(guī)律[5]：由滑動變阻器R1和固定電阻R2組成的分壓器電路中，當R1的并聯部分阻值y 增大時，總電阻R(y)減小。為了更加容易地判斷分壓器電路總電阻的變化規(guī)律，以滑動變阻器并聯部分阻值y 為變量，用構造函數法、求導法以及單調函數法分別對總電阻的變化規(guī)律進行進一步研究，并與以前以滑動變阻器串聯部分阻值x 為變量的研究結果進行比較，從而為選擇更合適的研究變量和研究方法提供依據。

2 構造函數法

為了能夠直接判斷分壓器電路總電阻R(y)的變化規(guī)律，可以將總電阻R(y)構造為這樣一個特殊函數，即當滑動變阻器并聯部分阻值y 發(fā)生變化時，總電阻R(y)中所有的y 引起總電阻的變化趨勢一致，這就是構造函數法。由公式(2)可以看出，不好直接判斷總電阻R(y)的變化規(guī)律，因此可以先將總電阻R(y)表示為：

當0

當0

以前以滑動變阻器串聯部分阻值x 為研究變量，構造可以直接判斷分壓器電路總電阻變化規(guī)律的特殊函數時，構造過程非常困難?，F在以滑動變阻器并聯部分阻值y 為研究變量，構造可以直接判斷分壓器電路總電阻變化規(guī)律的特殊函數時，構造過程大大簡化。因此，在構造函數法中，如果有多個研究變量，可以通過改變研究變量的方法來分別構造特殊函數，從而選擇最佳的研究變量來簡化構造特殊函數的過程。

3 求導法

首先將分壓器電路總電阻R(y)對y 求導，即求出R′(y)，然后將R′(y)進一步化為各個整式乘積的形式，最后由各個整式的正負來判斷R′(y)的正負，從而判斷出R(y)的單調性，這就是求導法。當0≤y≤R1時，如果R′(y)>0，則R(y)為增函數;如果R′(y)=0，則R(y)為減函數;如果R′(y)=0，則R(y)在y 值時恰好取極值，這時y 值兩邊單調性相反。

由公式(2)，首先將R(y)對y 求導，可以得到R′(y)的關系式：

為了更容易地判斷R′(y)的正負，可以將R′(y)進一步化為各個整式乘積的形式，由上式可以將R′(y)化為：

當0

可見，不論以前以滑動變阻器串聯部分阻值x 為變量研究總電阻R(x)的變化規(guī)律，還是現在以滑動變阻器并聯部分阻值y 為變量研究總電阻R(y)的變化規(guī)律，均需要熟練掌握求導公式，并化為各個整式乘積的形式，才能判斷總電阻的單調性。當然，如果有多個研究變量，可以通過改變研究變量的方法來分別利用求導法，從而選擇最佳的研究變量來簡化研究過程。同時，有些函數的求導過程較難，對求導公式的熟練掌握要求較高。由于求導法不僅能夠判斷函數的單調性，而且可以在某點取函數極值，故在科研中常常用到求導法，如在長方體型消色差延遲器的設計過程中[6-7]，就是利用取極值的方法對延遲器件進行設計。

4 單調函數法

設任意的變量y1、y2∈[0，R1]且y10 時，R(y)為減函數。

設任意的變量y1、y2∈[0，R1]且y1

由公式(7)可以看出，不好直接判斷R(y1)-R(y2)的正負。為了更加容易地判斷R(y1)-R(y2)的正負，可以將R(y1)-R(y2)進一步化為各個整式乘積的形式，則R(y1)-R(y2)可以化為：

由于0≤y1R(y2)，所以R(y)為減函數。因此，當0≤y

可見，不論以前以滑動變阻器串聯部分阻值x 為變量研究總電阻R(x)的變化規(guī)律，還是現在以滑動變阻器并聯部分阻值y 為變量研究總電阻R(y)的變化規(guī)律，單調函數法不僅研究方法都很容易掌握，而且推導過程都很簡單。只要掌握單調函數法的方法，并化為各個整式乘積的形式，均可以利用單調函數法較快地判斷總電阻的單調性。因此，單調函數法是一個非常好用的研究方法。當然，如果有多個研究變量，可以通過改變研究變量的方法來分別利用單調函數法，從而選擇最佳的研究變量來簡化研究過程。

由于單調函數法在判斷函數單調性的過程中，研究方法簡單容易掌握，故在科研中作為一個較為常用地數學工具，如在AD-2 型消色差延遲器件的設計過程中，為了判斷函數f1(θ)和g1(θ)的單調性，就是通過單調函數法進行判斷[8]?？梢姡瑔握{函數法在科學研究中有著非常重要的應用。

當然，在利用構造函數法、求導法以及單調函數法研究分壓器電路總電阻變化規(guī)律的過程中，不管是以滑動變阻器串聯部分阻值x 還是以滑動變阻器并聯部分阻值y 為研究變量，在變量研究的區(qū)域上均為增函數或減函數這種較為簡單的情況。如果在研究的區(qū)域上既有單調增加又有單調減小這種較為復雜的情況，則一般先用求導法求出極值點，然后選擇合適地研究變量和研究方法在多個單調區(qū)域上分別判斷單調性。

5 結束語

在研究分壓器電路總電阻R(y)變化規(guī)律的過程中，以滑動變阻器并聯部分阻值y 為研究變量，分別用構造函數法、求導法以及單調函數法對分壓器電路總電阻R(y)的變化規(guī)律進行進一步研究，得到了分壓器電路總電阻的變化規(guī)律。與以前以滑動變阻器串聯部分阻值x 為研究變量相比，構造函數法在構造特殊函數的過程中大大簡化;求導法和單調函數法的難度基本不變，另外求導法需要熟練掌握求導公式，單調函數法的研究方法和推導過程都很簡單。

因此，研究分壓器電路總電阻變化規(guī)律過程時，與以滑動變阻器串聯部分阻值x 為研究變量利用單調函數法求解較為簡單相比，以滑動變阻器并聯部分阻值y 為研究變量，利用構造函數法和單調函數法求解都較為簡單。

當然，以上主要分析在變量研究的區(qū)域上為增函數或減函數這種較為簡單的情況。如果在研究的區(qū)域上既有單調增加又有單調減小這種較為復雜的情況，則一般先用求導法求出極值點，然后選擇合適的研究變量和研究方法在多個單調區(qū)域上分別判斷單調性。