王小梅 湯強

【摘要】學生在學習數(shù)學運算時一般會不自覺地將乘法分配律遷移過來，造成運算錯誤，教師往往采用特殊值法進行驗算后便不再進行深入分析，這便錯過了一次改進教學和幫助學生學習的機會.本文對學生的錯誤進行深入分析，總結(jié)出這類運算錯誤的原因有：對數(shù)學概念理解不深刻;對數(shù)學符號認識不充分;對數(shù)學的符號或形式認識比較單一.所以，在教學中應該重視數(shù)學概念的本質(zhì)，有意識地加強數(shù)學符號教學.

【關(guān)鍵詞】乘法分配律;數(shù)學運算;負遷移

一、問題提出

學生在運算過程中經(jīng)常出現(xiàn)以下幾種錯誤：（a+b）2=a2+b2，am+n=am+an，loga（M+N）=logaM+logaN，sin（α+β）=sin α+sin β，教師往往僅通過特殊值法或者數(shù)形結(jié)合法驗證以上運算是錯的，沒有對其進行深入分析，這種做法簡單易操作，成效大，但是，這只是暫時解決了當前的問題，沒有從根本上分析學生為什么會出現(xiàn)這類錯誤，那么今后學生還會出現(xiàn)類似錯誤.例如，已知a是非零向量，且b≠c，求證：a·b=a·c a⊥（b-c）[1].很多學生直接利用乘法分配律求證，在沒有證明（a+b）·c=a·c+b·c時直接拿來用，雖然結(jié)果是正確的，但是這種做法是極其不嚴謹?shù)?，向量與實數(shù)有本質(zhì)上的區(qū)別.我們知道，在人教版中向量的內(nèi)容在必修4，函數(shù)在必修1，學生是先學函數(shù)再學向量，經(jīng)過多次糾正，學生可能在函數(shù)中不會出現(xiàn)錯誤了，但是在向量中又會犯類似的錯誤，這說明學生并未認識到錯誤行為產(chǎn)生的根本原因，因此，我們很有必要對其進行深入研究.

二、問題分析

1.對數(shù)學概念理解不深刻

《數(shù)學辭海》中分配律的定義：乘法對加法（或減法）的分配律，簡稱乘法分配律.兩個數(shù)的和（或差）與一個數(shù)相乘的積等于被加數(shù)（或被減數(shù)）和加數(shù)（或減數(shù)）分別與這個數(shù)相乘，所得的積的和（或差），即（a±b）c=ac±bc[2] .這里，涉及的是乘法與加法或減法的運算，但是（a+b）2不僅僅涉及加法運算，還有乘方，同理，其他錯誤也是一樣的道理.從另一個角度分析，乘法分配律中涉及的字母本意是數(shù)，而sin（α+β），loga（M+N）中涉及的是sin，log，是一種運算符號，并不能代表數(shù)，所以不能進行遷移.

2.對數(shù)學符號認識不充分

首先，我們對學生的錯誤進行分析，抽象出共同特征，如下圖.

從圖中可以發(fā)現(xiàn)，學生在運算時，把a（b+c）=ab+ac 與f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）人為地強行聯(lián)系起來，在實數(shù)的運算與函數(shù)運算性質(zhì)間建立了非實質(zhì)性聯(lián)系，這不是一種有意義的學習，相反，是一種機械學習.

進一步分析，最終原因是學生對數(shù)學符號認識不充分，錯把f當成a，同樣是字母，但是所代表的意義不一樣，在f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）中，“f”是一種運算符號，表示按某種規(guī)定進行運算的符號稱為運算符號，例如，加、減、乘、除、開方、冪、sin、log、行列式等，

而a（b+c）=ab+ac中“a”是一種元素符號，表示數(shù)和幾何圖形的符號稱為元素符號[3]，在a（b+c）=ab+ac中，“a”代表的是數(shù).因此，在教學過程中要加強數(shù)學符號的教學，明確符號所表示的概念，防止概念與符號之間脫節(jié).

再補充一點，從上圖中我們可以看到，滿足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）性質(zhì)的函數(shù)是正比例函數(shù)y=kx，同樣的，我們對冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的運算性質(zhì)進行抽象，發(fā)現(xiàn)不同函數(shù)有不同的特征，具體內(nèi)容見表1（表中抽象函數(shù)一列采用的符號是x和y，與前面符號不一致，因為在考試中經(jīng)常遇到的抽象函數(shù)表達式中用的是x和y），而學生錯誤地將所有函數(shù)的運算性質(zhì)的抽象形式歸結(jié)于f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）.

3.對數(shù)學的符號或形式認識比較單一

從上述分析中可以看出，a（b+c）=ab+ac 與f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）雖然形式差不多，但是內(nèi)容相差很大，而抽象函數(shù)與特殊函數(shù)，比如，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）與y=kx從形式上看起來毫無聯(lián)系，但本質(zhì)是一樣的.從更特殊的角度看，甚至有些形式或符號完全一樣，但可以用多種數(shù)學語義解釋，比如，a2+b2最基本的含義是a2+b2的算術(shù)平方根;在直角三角形中，可以表示以a，b為直角邊的斜邊;在直角坐標平面內(nèi)，可以表示點（a，b）到原點（0，0）的距離;在復數(shù)域中，表示復數(shù)（a+bi）的模[4].反過來，同一數(shù)學內(nèi)容也可以用不同的數(shù)學符號表示，例如，兩條直線垂直關(guān)系在中學數(shù)學里就有多種表達形式：在平面幾何中，兩直線 l1和l2垂直指的是兩直線的夾角是90°，表示為l1⊥l2;在三角形中，如果α+β=90°就有sin α=cos β;在解析幾何里，如果兩直線方程用點斜式表示，即y1=k1x1+b1和 y2=k2x2+b2k1k2≠0，那么兩直線的垂直關(guān)系就是k1k2=-1[5].

綜上可知，數(shù)學中的同一個數(shù)學表示形式可以做不同的語義解釋，同一種數(shù)學語義的內(nèi)容可以用不同的數(shù)學語言形式表示.而學生往往只認識到符號或形式的一種含義，沒有意識到符號在不同內(nèi)容中有不同的意義，這也說明了數(shù)學符號的意義是發(fā)展的、變化的，不是絕對不變的.符號意義的變化發(fā)展實際是其所代表的概念意義的變化發(fā)展，因此，我們應該用發(fā)展的眼光看待數(shù)學符號.

三、問題解決

1.重視數(shù)學概念的本質(zhì)

數(shù)學概念是反映一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性的思維形式[6]，數(shù)學概念學習是其他內(nèi)容學習的基礎(chǔ)，學生對于數(shù)學概念理解的準確程度直接影響后續(xù)學習的效率.前面分析到學生不自覺地將乘法分配律移到數(shù)學運算中是因為對乘法分配律概念理解不到位，如果學生理解到乘法分配律中只涉及加法、減法、乘法，不涉及其他運算，就不會隨意地將其遷移到其他數(shù)學運算中去.另外，三角函數(shù)是刻畫客觀世界中周期變化規(guī)律的數(shù)學模型，如果學生頭腦中有三角函數(shù)的圖像，并且知道sin（α+β）其實指的是兩個角的和的正弦值，可能就不會簡單地將a（b+c）與sin（α+β）建立非實質(zhì)性聯(lián)系.所以，教師在教學中要花時間和精力去揭示數(shù)學概念的本質(zhì)，闡明數(shù)學概念的來龍去脈，而教學中“掐頭去尾燒中段”的做法看似效率高，實際上是對短期目標的追求，忽視了長期目標，不利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提升.