王 濤，李正良,2，范文亮,2

(1.重慶大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶 400045；2.山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(重慶大學(xué))，重慶 400045)

由于不可控制性，無論是結(jié)構(gòu)的輸入(如地震、風(fēng)、波浪荷載等)還是結(jié)構(gòu)參數(shù)(如尺寸參數(shù)和材料參數(shù)等)均呈現(xiàn)隨機(jī)特性[1]。相對(duì)于將上述參數(shù)取固定值的確定性描述方式，引入隨機(jī)變量、隨機(jī)過程和隨機(jī)場(chǎng)的隨機(jī)系統(tǒng)描述更能合理地表征結(jié)構(gòu)的真實(shí)狀態(tài)。由于輸入和參數(shù)的隨機(jī)性，結(jié)構(gòu)響應(yīng)亦需從隨機(jī)的觀點(diǎn)加以考察。量化輸入和參數(shù)的不確定性對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響是典型不確定性傳播分析。理論上，隨機(jī)過程和隨機(jī)場(chǎng)均可由隨機(jī)變量描述，因此僅包含隨機(jī)變量系統(tǒng)的不確定性傳播分析是隨機(jī)系統(tǒng)不確定性分析的基礎(chǔ)。

眾所周知，隨機(jī)變量存在兩類描述方式：概率密度描述和矩描述。相對(duì)于概率密度函數(shù)信息獲取的困難，隨機(jī)變量的矩描述更易實(shí)現(xiàn)，因而獲得了廣泛的關(guān)注。理論上，隨機(jī)變量的精確描述需獲得其無窮階矩，但其不現(xiàn)實(shí)亦不必要。目前大多采用隨機(jī)變量的低階矩描述，且主要集中在前幾階矩。

隨機(jī)系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)的統(tǒng)計(jì)矩估計(jì)實(shí)際上是求解響應(yīng)函數(shù)的概率積分。由于響應(yīng)函數(shù)通常比較復(fù)雜甚至無顯式表達(dá)式，獲取其解析解異常困難，相對(duì)而言，獲得其數(shù)值解是實(shí)用且有效的途徑，其主要包括Monte Carlo模擬法、降維積分法和選點(diǎn)策略方法等。

Monte Carlo模擬法原理簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)，且可以給出比較好的結(jié)果，但由于計(jì)算費(fèi)用昂貴，往往僅用于其他方法的校核。

降維積分法通過高維分解模型將原函數(shù)分解為多個(gè)低維函數(shù)的加和或者乘積形式，主要包括基于單變量加和或乘積降維近似的統(tǒng)計(jì)矩估計(jì)方法[2? 3]與基于廣義加和降維近似的統(tǒng)計(jì)矩估計(jì)方法[4?5]。基于單變量降維近似的統(tǒng)計(jì)矩估計(jì)方法效率高，但加和模型對(duì)于交叉項(xiàng)貢獻(xiàn)較為顯著的響應(yīng)函數(shù)的精度較差，而乘積模型則不適用于以加和形式為主的響應(yīng)函數(shù)?；趶V義降維近似的統(tǒng)計(jì)矩估計(jì)方法對(duì)于各類響應(yīng)函數(shù)均具有較好的適用性，但對(duì)于高維隨機(jī)系統(tǒng)，即使降維的維數(shù)d取2或3[4?7]，由于雙變量分量函數(shù)或三變量分量函數(shù)的數(shù)量較多，積分計(jì)算所涉及的結(jié)構(gòu)分析次數(shù)仍較多，計(jì)算效率有待于進(jìn)一步提高。

選點(diǎn)策略方法著重于選取合適的點(diǎn)集進(jìn)行統(tǒng)計(jì)矩的高效計(jì)算，本質(zhì)上是數(shù)值積分方法在統(tǒng)計(jì)矩估計(jì)中的應(yīng)用與拓展。該類方法主要包括基于高斯求積公式的張量積分方法[8?10]、稀疏網(wǎng)格積分方法[11? 14]以及無跡變換積分方法[15?16]。張量積分方法具有很高的計(jì)算精度，但維數(shù)災(zāi)難問題不可避免[10]。稀疏網(wǎng)格積分方法利用一維配置點(diǎn)的特殊張量積操作進(jìn)行線性組合來構(gòu)建多維求積公式，較張量積分效率更高，可以一定程度上緩解維數(shù)災(zāi)難；但稀疏網(wǎng)格積分對(duì)交叉項(xiàng)影響顯著的情形精度有所減弱[13]；此外，此方法可能會(huì)出現(xiàn)負(fù)權(quán)系數(shù)[13]，導(dǎo)致較大的誤差[14]。無跡變換積分方法是緩解維數(shù)災(zāi)難的另一類途徑[15?16]，其思路是通過單維或多維單項(xiàng)式精確積分的約束方程獲取求積節(jié)點(diǎn)和權(quán)系數(shù)，具有較高的效率，但亦存在負(fù)權(quán)系數(shù)的問題[17]。

值得指出地是，研究者提出的共軛無跡變換方法(CUT)可以避免負(fù)權(quán)系數(shù)的產(chǎn)生，具有更好的穩(wěn)健性。然而，目前該方法僅應(yīng)用于非線性濾波領(lǐng)域的期望計(jì)算[17?18]，且僅適用于包含少量高斯分布與均勻分布變量的低維問題，對(duì)于可能涉及任意隨機(jī)變量類型和高維問題的隨機(jī)系統(tǒng)分析并不適用。為此，本文擬將正態(tài)-非正態(tài)變換與共軛無跡變換方法相結(jié)合，發(fā)展可適用于任意隨機(jī)變量類型的第Ⅰ類擴(kuò)展型共軛無跡變換方法；在此基礎(chǔ)上，引入高維分解模型，進(jìn)一步將擴(kuò)展型共軛無跡變換方法拓展至高維隨機(jī)系統(tǒng)分析。

1 問題描述

對(duì)于一個(gè)典型的不確定性傳播分析問題，隨機(jī)系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)Z可表示為：

式中：Θ={Θ1,Θ2,···,ΘN}為N維隨機(jī)向量；g(?)為表示響應(yīng)量Z與Θ 映射關(guān)系的函數(shù)。

通常，響應(yīng)函數(shù)的統(tǒng)計(jì)矩和概率密度函數(shù)是不確定性傳播分析所關(guān)注的問題。由概率論可知，隨機(jī)響應(yīng)函數(shù)Z的k階統(tǒng)計(jì)矩MZ,k的表達(dá)式如下：

式中：pΘ(θ)為Θ 的聯(lián)合概率密度函數(shù)；MZ,1為其均值；MZ,k為其k階中心矩。

從式(2)看出，響應(yīng)函數(shù)統(tǒng)計(jì)矩的估計(jì)實(shí)質(zhì)是一個(gè)N維積分求解的過程。雖然研究者發(fā)展了多種統(tǒng)計(jì)矩估計(jì)方法，但現(xiàn)有方法存在要么計(jì)算成本昂貴，要么計(jì)算精度不足等問題[10?16]。故而，兼顧精度與效率的統(tǒng)計(jì)矩估計(jì)方法有待進(jìn)一步發(fā)展。

2 共軛無跡變換方法

2.1 共軛無跡變換方法

共軛無跡變換方法本質(zhì)上屬于數(shù)值積分方法，與現(xiàn)有各類數(shù)值積分方法類似，確定求積節(jié)點(diǎn)及其權(quán)系數(shù)亦是其核心環(huán)節(jié)，但確定規(guī)則存在顯著差異。共軛無跡變換方法中，確定求積節(jié)點(diǎn)及其權(quán)系數(shù)主要基于如下兩個(gè)準(zhǔn)則：1)定性準(zhǔn)則：求積節(jié)點(diǎn)需位于主軸和共軛軸上，其中主軸為坐標(biāo)軸，共軛軸為象限內(nèi)的軸；2)定量準(zhǔn)則：一定階次的單維和多維單項(xiàng)式積分可由節(jié)點(diǎn)及權(quán)系數(shù)精確計(jì)算。顯然階次越高，維數(shù)越高，確定節(jié)點(diǎn)和權(quán)系數(shù)所需的方程數(shù)越多，求解越困難；若積分的權(quán)函數(shù)為非對(duì)稱函數(shù)，則既存在奇數(shù)階方程，亦存在偶數(shù)階方程，而當(dāng)權(quán)函數(shù)對(duì)稱性時(shí)則僅需偶數(shù)階方程；此外，對(duì)于非對(duì)稱的權(quán)函數(shù)，共軛軸亦不具有對(duì)稱性，確定過程更為復(fù)雜，因此目前的共軛無跡變換方法只發(fā)展了適用于對(duì)稱權(quán)函數(shù)的4階、6階與8階方法，為簡(jiǎn)便，可分別記為CUT-4、CUT-6及CUT-8。

下面將簡(jiǎn)單介紹共軛無跡變換方法確定主軸、共軛軸以及求積節(jié)點(diǎn)和權(quán)系數(shù)的原理。

2.1.1求積節(jié)點(diǎn)的定性確定準(zhǔn)則

對(duì)于高斯變量或均勻變量，利用其概率分布的對(duì)稱性，構(gòu)造其N維空間的主軸、共軛軸和縮放共軛軸以及其對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)點(diǎn)集如下。

1)主軸：稱以原點(diǎn)為中心的正交坐標(biāo)軸為主軸，記為σ。根據(jù)定義可知，N維空間存在N個(gè)主軸，則主軸上對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)點(diǎn)集σi可表示為：

稱該點(diǎn)集與原點(diǎn)連線所構(gòu)成的軸為Mth共軛軸，記為CM。

稱該點(diǎn)集與原點(diǎn)連線所構(gòu)成的軸為Nth縮放共軛軸，記為SN(h)。

顯然，主軸、共軛軸以及縮放共軛軸上各自的基準(zhǔn)點(diǎn)集均分布在不同的圓上，共軛無跡變換方法中求積節(jié)點(diǎn)確定的定性準(zhǔn)則為：求積節(jié)點(diǎn)由上述各基準(zhǔn)點(diǎn)集分別縮放后確定的點(diǎn)集組合而成。易知，縮放后的基準(zhǔn)點(diǎn)集仍然位于主軸、共軛軸以及縮放共軛軸上。為了便于理解，以如圖1所示的二維空間為例，圖中的σ、C2及S2分別為構(gòu)造出的主軸、共軛軸和縮放共軛軸，各軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)即為CUT 的求積節(jié)點(diǎn)。

圖1 二維空間主軸σ，共軛軸C2，縮放共軛軸S2 及CUT點(diǎn)Fig.1 Principal axisσ,conjugateaxis C2,scaled conjugate axes S2 and CUT points of 2D space

2.1.2求積節(jié)點(diǎn)和權(quán)系數(shù)的定量確定準(zhǔn)則

根據(jù)求積節(jié)點(diǎn)確定的定性準(zhǔn)則可知：各基準(zhǔn)點(diǎn)集縮放后確定的求積節(jié)點(diǎn)集僅取決于距離尺度變量ri，且根據(jù)變量概率分布的對(duì)稱性可知上述節(jié)點(diǎn)集中各節(jié)點(diǎn)具有相同的權(quán)系數(shù)，記為wi。因此，合理確定ri與wi是共軛無跡變換方法的核心環(huán)節(jié)。目前，常用的求積節(jié)點(diǎn)與權(quán)系數(shù)確定的定量規(guī)則是通過Isserlis定理[19]導(dǎo)出ri和wi滿足的矩約束方程。

以二維系統(tǒng)的CUT-4為例，節(jié)點(diǎn)和權(quán)系數(shù)確定的定量規(guī)則為：不高于4階的單項(xiàng)式期望均可精確計(jì)算。于是可建立如下約束方程：

式中：U1、U2表示隨機(jī)變量；u1,i、u2,i表示求積節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)；κ和ν為非負(fù)的整數(shù)且1≤κ+ν≤4；n為除零點(diǎn)外求積節(jié)點(diǎn)的數(shù)量。略去式(7)中的奇數(shù)階方程且將u1,i、u2,i用相應(yīng)的ri替換，則式(7)可改寫為：

類似地，確定N維系統(tǒng)CUT-4的節(jié)點(diǎn)和權(quán)系數(shù)的約束方程為：

據(jù)此，CUT-4的積分節(jié)點(diǎn)u i={u1,i,u2,i,···,uN,i}和權(quán)系數(shù)αi可由表1給出。

表1 CUT-4方法的積分節(jié)點(diǎn)和權(quán)系數(shù)Table 1 Integral nodes and weightsof CUT-4 method

類似地，亦可確定CUT-6和CUT-8的積分節(jié)點(diǎn)與權(quán)系數(shù)，推導(dǎo)過程及結(jié)果可參考文獻(xiàn)[17]。

值得指出地是，隨著維度增加，非線性方程不易求解，且可能出現(xiàn)負(fù)權(quán)系數(shù)?，F(xiàn)有的CUT方法中，對(duì)于CUT-6當(dāng)N≤9或CUT-8當(dāng)N≤6時(shí)，可確保權(quán)系數(shù)為正值，因此當(dāng)前僅發(fā)展了N≤9的CUT-6及N≤6的CUT-8[17]。

2.2 存在的問題

不難發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有CUT盡管較好地兼顧了精度和效率，但其適用范圍非常有限。若欲將其拓展至一般的隨機(jī)系統(tǒng)分析，以下問題亟待解決：

1)CUT利用了積分權(quán)函數(shù)的對(duì)稱性，目前僅在包含高斯分布或均勻分布隨機(jī)系統(tǒng)的期望計(jì)算中獲得了應(yīng)用[17]，并不適用于涉及任意分布隨機(jī)變量的隨機(jī)系統(tǒng)分析。

2)現(xiàn)有CUT-6與CUT-8僅適用于低維隨機(jī)問題，對(duì)于高維問題不再適用。

3 擴(kuò)展型共軛無跡變換方法

針對(duì)CUT的上述兩個(gè)問題，本文提出了兩類擴(kuò)展型共軛無跡變換方法。

3.1 基于正態(tài)-非正態(tài)變換的第Ⅰ類擴(kuò)展型共軛無跡變換方法

為將CUT 拓展至可適用于包含任何隨機(jī)變量的系統(tǒng)，可引入正態(tài)-非正態(tài)變換，即對(duì)于任意相互獨(dú)立的隨機(jī)向量Θ={Θ1,Θ2,···,ΘN}與相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)向量U={U1,U2,···,UN}存在如下關(guān)系：

相應(yīng)地，mZ,k可表示為：

式中：φ(?)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)；u i=(u1,i,u2,i, ···,uN,i)，u i和αi分別為CUT(如CUT-4、CUT-6或CUT-8)的求積節(jié)點(diǎn)和權(quán)系數(shù)。

通過式(12)的變換，可將CUT拓展至包含任意隨機(jī)變量的隨機(jī)系統(tǒng)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩估計(jì)，適用范圍顯著拓寬。本文稱此方法為第Ⅰ類擴(kuò)展型共軛無跡變換方法，為簡(jiǎn)便記為ECUTI。顯然，當(dāng)所有隨機(jī)變量均為高斯分布時(shí)，ECUTI 退化為傳統(tǒng)的CUT。

3.2 基于高維分解模型的第Ⅱ類擴(kuò)展型共軛無跡變換方法

盡管ECUTI 可適用于任意隨機(jī)變量，但其中ECUTI-6、ECUTI-8與CUT-6、CUT-8類似，僅分別適用于N≤9及N≤6的情形。然而，工程實(shí)際中，高維隨機(jī)系統(tǒng)并不鮮見，為此，可將高維分解模型與ECUTI 相結(jié)合，發(fā)展具有更廣泛適用性的方法。

根據(jù)高維分解模型方法，Z=h(U)可近似為多個(gè)最高維數(shù)為d(d

式中：uq,i和ωi分別為Gauss-Hermite求積公式的求積節(jié)點(diǎn)和權(quán)系數(shù)；m為一維積分的節(jié)點(diǎn)數(shù)量，Np為二維CUT的節(jié)點(diǎn)數(shù)量，且m與Np的取值應(yīng)保證一維積分與二維積分具有相同或相近的代數(shù)精度；u i={us,i,ut,i}與αi分別為二維CUT的節(jié)點(diǎn)與權(quán)系數(shù)，可由式(17)確定：

文中稱上述方法為第Ⅱ類擴(kuò)展型共軛無跡變換方法，為簡(jiǎn)便記為ECUTII。

表2 二維系統(tǒng)CUT方法對(duì)應(yīng)的ri 和wiTable 2 ri and wi in CUT method for two-dimensional system

3.3 效率分析

若記CUT、ECUTI及ECUTⅡ的函數(shù)調(diào)用次數(shù)分別為Npo、NpI及NpII，顯然，Npo=NpI，且有：

式中：Npo4、Npo6及Npo8分別為CUT-4、CUT-6及CUT-8的函數(shù)調(diào)用次數(shù)；NpⅡ4、NpⅡ6及NpⅡ8分別為ECUTII-4、ECUTII-6及ECUTII-8的函數(shù)調(diào)用次數(shù)。

三類方法的函數(shù)調(diào)用次數(shù)Np隨著N的變化規(guī)律如圖2所示。不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)N小于等于維度界限Nb時(shí)，ECUTⅠ(CUT)的計(jì)算效率高于ECUTⅡ；然而當(dāng)N>Nb時(shí)，ECUTⅡ的計(jì)算效率將高于ECUTⅠ(CUT)。具體而言，對(duì)于CUT-4、CUT-6及CUT-8，Nb分別取8、6及3。

圖2 各類CUT 方法效率對(duì)比Fig.2 Efficiency comparison of various CUT methods

4 算例分析

為了研究提出的方法的精度、效率以及適用性，本節(jié)將對(duì)三個(gè)算例進(jìn)行分析。算例1考慮了一個(gè)隨機(jī)變量均為高斯變量的問題，用于驗(yàn)證提出的方法的計(jì)算效率以及計(jì)算精度；算例2和算例3分別考慮了具有非高斯變量的隨機(jī)問題與高維隨機(jī)問題，用于驗(yàn)證提出的方法對(duì)于各類隨機(jī)問題的普適性。為了驗(yàn)證方法的計(jì)算效率與精度，分別將提出的方法分別與Monte Carlo模擬方法(MCS)、7點(diǎn)張量數(shù)值積分方法(FTM)[17]、雙變量降維近似方法(BDRM)[5]及2階精度的稀疏網(wǎng)格方法(SGI-2)[12]進(jìn)行了對(duì)比。本文將MCS計(jì)算結(jié)果視為精確解，其他各方法的相對(duì)誤差為：

式中：Value表示對(duì)應(yīng)方法的計(jì)算結(jié)果；MCV表示Monte Carlo方法計(jì)算的結(jié)果。

4.1 算例1：隨機(jī)變量為高斯分布類型的非線性問題

考慮一個(gè)如圖3所示的屋架結(jié)構(gòu)，屋架的上弦桿和其他壓桿采用鋼筋混凝桿，下弦桿和其他拉桿采用鋼桿。設(shè)屋架承受均布載荷q作用，將均布載荷q轉(zhuǎn)化成節(jié)點(diǎn)載荷P=0.25ql后,C點(diǎn)處延垂直面方向的位移對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)可表示為[22]：

圖3 屋架結(jié)構(gòu)Fig.3 Roof structure

式中，共包含6個(gè)隨機(jī)變量，其物理意義與統(tǒng)計(jì)特性如表3所示。采用各類方法計(jì)算出功能函數(shù)的前四階矩如表4所示。

表3 算例1中隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征Table 3 Statistical characteristics of the random variablesfor Example1

通過表4可以看，就精度而言，采用各類方法可以較為精確地估計(jì)前兩階矩，然而對(duì)于高階矩的估計(jì)，采用SGI 和ECUTⅡ-4的相對(duì)誤差較大，F(xiàn)TM的結(jié)果與精確解相同，而BDRM、ECUTⅡ-6及ECUTⅡ-8由于高維分解模型的截?cái)?，存在一定的誤差，但其相對(duì)誤差低于7%，原始的CUT均具有很高的精度，和精確解的結(jié)果相同；從效率上看，F(xiàn)TM所需函數(shù)調(diào)用次數(shù)較多；而CUT-4和CUT-6具有明顯的優(yōu)勢(shì)，且優(yōu)于ECUTⅡ-4、ECUTⅡ-6及BDRM；ECUTⅡ-8的函數(shù)調(diào)用次數(shù)高于CUT-8；雖然SGI方法僅需要較少的函數(shù)調(diào)用次數(shù)，然其精度不足。整體而言，對(duì)于服從正態(tài)分布的低維隨機(jī)問題，本文推薦采用CUT；當(dāng)容許較小誤差且注重計(jì)算效率時(shí)，相比于CUT-8，ECUTⅡ-8亦被推薦。

表4 算例1中極限狀態(tài)函數(shù)前四階統(tǒng)計(jì)矩的結(jié)果Table 4 Results of the first four order moments of the limit state function for Example 1

4.2 算例2：具有不同分布類型的隨機(jī)問題

考慮一個(gè)倒三角荷載作下的6層框架結(jié)構(gòu)，如圖4所示?？蚣艿目缍萀=7.5 m，層高H=3 m，梁與柱的截面尺寸分別為300 mm×400 mm 和500 mm×500 mm，水平荷載F可表示為：

圖4 6層框架結(jié)構(gòu)Fig.4 Six story frame structure

該問題中的隨機(jī)變量服從非正態(tài)分布類型，傳統(tǒng)的CUT 不再適用。首先，基于式(12)，將響應(yīng)函數(shù)Z中各隨機(jī)變量變換為獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)向量，可得：

進(jìn)而，分別采用MCS、FTM、SGI、BDRM以及提出的ECUTI和ECUTⅡ計(jì)算Z的前四階矩，其結(jié)果如表6所示。

表5 算例2中隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征Table 5 Statistical characteristics of the random variables for Example 2

表6 算例2中極限狀態(tài)函數(shù)前四階統(tǒng)計(jì)矩的結(jié)果Table 6 Results of the first four order moments of the limit state function for Example 2

通過表6可以看出，對(duì)于非正態(tài)隨機(jī)變量類型，響應(yīng)函數(shù)Z的前兩階矩均可以被精確估計(jì)。對(duì)于三階、四階矩的估計(jì)，SGI-2、ECUTI-4和ECUTⅡ-4估計(jì)的相對(duì)誤差較大；FTM 和ECUTI-8的估計(jì)結(jié)果和精確解相同，但FTM 所需的有限元分析次數(shù)較多，而ECUTI-8僅需要355次有限元分析；BDRM、ECUTI-6、ECUTⅡ-6及ECUTⅡ-8估計(jì)的三階、四階矩的相對(duì)誤差較低，最大相對(duì)誤差為8.25%，且提出的ECUTI和ECUTⅡ的有限元分析次數(shù)均低于BDRM，具有更好的效率。值得指出地是，表6中ECUTⅡ-6的計(jì)算精度高于ECUTⅡ-8，造成這一現(xiàn)象的原因可能是高維分解模型引入的誤差與CUT-6本身的誤差產(chǎn)生了抵消效應(yīng)。整體而言，對(duì)于低維問題，本文推薦使用ECUTI-6和ECUTI-8；同時(shí)，當(dāng)容許少許誤差且注重計(jì)算效率時(shí)，ECUTⅡ-6和ECUTⅡ-8亦可被推薦采用。

4.3 算例3：高維隨機(jī)問題

考慮一個(gè)高維隨機(jī)問題，其極限狀態(tài)函數(shù)的表達(dá)式為：

式中，Θi(i=1,2,···,d)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，均服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其均值為1，標(biāo)準(zhǔn)差為0.2，維度d=20。

對(duì)于此類高維問題，CUT-6、CUT-8、ECUTI-6以及ECUTI-8均不再適用，ECUTI-4及ECUTⅡ可解決此類問題。采用各類方法估計(jì)高維隨機(jī)問題的前四階矩，其計(jì)算結(jié)果如表7所示。

表7 算例3中極限狀態(tài)函數(shù)前四階統(tǒng)計(jì)矩的結(jié)果Table 7 Resultsof the first four order momentsof the limit state function for Example 3

通過表7可以看出，對(duì)于前兩階矩，各類方法均具有較高的精度；對(duì)于三階、四階矩的估計(jì)，F(xiàn)TM 方法的結(jié)果接近精確解但函數(shù)調(diào)用次數(shù)高達(dá)1016量級(jí)；雖然采用精度水平為2的SGI-2方法最為高效，但方法精度不足，若需達(dá)到較高精度，SGI方法(SGI-3)需要的函數(shù)調(diào)用次數(shù)為120 321，其次數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于BDRM 和本文提出的方法；ECUTI-4 和ECUTⅡ-4估計(jì)的三階矩的相對(duì)誤差較大且ECUTI-4函數(shù)調(diào)用次數(shù)達(dá)百萬量級(jí)；本文提出的ECUTⅡ-6 與ECUTⅡ-8能夠兼顧精度與效率。整體而言，對(duì)于高維問題，本文推薦采用ECUTⅡ-6與ECUTⅡ-8，其中，ECUTⅡ-6函數(shù)調(diào)用次數(shù)較少而ECUTⅡ-8的精度更高。

5 結(jié)論

統(tǒng)計(jì)矩是描述隨機(jī)系統(tǒng)不確定性傳播分析的有效方式之一，實(shí)用時(shí)以低階矩描述為主。本文將共軛無跡變換方法引入到隨機(jī)系統(tǒng)不確定性傳播分析中，并針對(duì)現(xiàn)有方法的不足，結(jié)合正態(tài)-非正態(tài)變換以及高維分解模型，提出了兩類適用于不確定性傳播分析的擴(kuò)展型共軛無跡變換方法。文中分析結(jié)果表明：

(1)相較于傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)矩估計(jì)方法，本文建議的兩類方法均可兼顧精度與效率，對(duì)于隨機(jī)系統(tǒng)可以進(jìn)行高效的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩估計(jì)。

(2)建議的兩類方法均可適用于任意隨機(jī)變量類型的隨機(jī)系統(tǒng)，擴(kuò)展了傳統(tǒng)的共軛無跡變換方法的適用范圍。

(3)對(duì)于低維問題，建議直接采用ECUTI；對(duì)于高維問題，建議采用ECUTⅡ，其誤差主要包括CUT 本身的誤差和高維分解模型的截?cái)嗾`差，兩種誤差有時(shí)疊加、有時(shí)抵消。

需指出地是，盡管建議方法具有較高的計(jì)算效率，但是對(duì)于特別高維的問題，仍可能涉及成千上萬次的結(jié)構(gòu)分析次數(shù)。若能夠在建議方法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步改善計(jì)算效率將是非常有益的，亦是值得進(jìn)一步深入研究的方向。