付君健 孫鵬飛 杜義賢 田啟華 高 亮

1.三峽大學(xué)機(jī)械與動力學(xué)院，宜昌，443002 2.華中科技大學(xué)數(shù)字制造裝備與技術(shù)國家重點實驗室，武漢，430074

0 引言

多層級拓?fù)鋬?yōu)化又稱多尺度拓?fù)鋬?yōu)化、結(jié)構(gòu)/材料一體化，是指多孔結(jié)構(gòu)在宏觀層級和細(xì)觀(或微觀)層級的并行優(yōu)化，在宏觀層級優(yōu)化多孔結(jié)構(gòu)的空間分布，在細(xì)觀層級優(yōu)化多孔結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型。多孔結(jié)構(gòu)細(xì)觀拓?fù)錁?gòu)型決定了其宏觀的等效屬性，會影響宏觀層級的結(jié)構(gòu)優(yōu)化；反之，宏觀結(jié)構(gòu)及邊界條件會影響細(xì)觀多孔結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型。由此，兩個層級的并行優(yōu)化可以提高材料利用率，提高周期性多孔結(jié)構(gòu)在特定載荷工況下的力學(xué)性能。多層級拓?fù)鋬?yōu)化是一種從不同層級空間對結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計的拓?fù)鋬?yōu)化方法，有利于擴(kuò)大設(shè)計空間，為結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新設(shè)計提供廣闊的思路和全新的挑戰(zhàn)[1]。

根據(jù)優(yōu)化策略的不同，多層級拓?fù)鋬?yōu)化方法可分為均布、逐層、逐域和逐點的多層級設(shè)計方法。均布多孔結(jié)構(gòu)的多層級拓?fù)鋬?yōu)化實現(xiàn)簡單、計算量小，是目前廣為采用的多層級拓?fù)鋬?yōu)化策略[2-5]。該優(yōu)化策略假設(shè)宏觀結(jié)構(gòu)僅由均勻分布的同一種多孔結(jié)構(gòu)組成，以均勻化方法計算多孔結(jié)構(gòu)的宏觀等效彈性矩陣，多孔結(jié)構(gòu)作為宏觀結(jié)構(gòu)的基本單元，進(jìn)一步參與宏觀結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化。均布多孔結(jié)構(gòu)的多層級拓?fù)鋬?yōu)化簡化了設(shè)計過程，降低了制造成本，但無法充分發(fā)揮多孔結(jié)構(gòu)的性能。逐層的多層級設(shè)計策略使不同層面的多孔結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型能隨著承載形式產(chǎn)生變化。逐層設(shè)計適用于夾層結(jié)構(gòu)和功能梯度結(jié)構(gòu)的設(shè)計[6-9]，每一層采用相同的多孔結(jié)構(gòu)來填充，可顯著降低優(yōu)化設(shè)計的計算成本，同時也便于對每一層多孔結(jié)構(gòu)屬性進(jìn)行控制。逐域的多層級拓?fù)鋬?yōu)化假設(shè)宏觀結(jié)構(gòu)由多種不同的多孔結(jié)構(gòu)構(gòu)成，每個區(qū)域中的多孔結(jié)構(gòu)獨立優(yōu)化。多孔結(jié)構(gòu)在宏觀結(jié)構(gòu)中的相對位置可以固定不變[10]，也可以在迭代過程中動態(tài)變化[11-12]。理論上講，承載結(jié)構(gòu)在每一點的受力狀態(tài)均不相同，因此每一點的多孔結(jié)構(gòu)屬性均不同才能讓宏觀結(jié)構(gòu)性能達(dá)到最優(yōu)。逐點的多層級拓?fù)鋬?yōu)化提高了多孔結(jié)構(gòu)的多樣性和結(jié)構(gòu)的整體性能[13-16]，但增加了計算成本和加工難度。

多層級拓?fù)鋬?yōu)化由于采用了均勻化方法，導(dǎo)致宏細(xì)觀結(jié)構(gòu)尺度分離。若多層級結(jié)構(gòu)中含有多種類型的多孔結(jié)構(gòu)單胞，如逐域和逐點的設(shè)計策略，則宏觀結(jié)構(gòu)的邊界條件無法“嚴(yán)格”反映到細(xì)觀或微觀結(jié)構(gòu)，多孔結(jié)構(gòu)之間的連接性無法保證，需添加額外的幾何約束，如增加動力學(xué)連接點[9]、定義梯度變化的微結(jié)構(gòu)[16]、定義連接性約束[17]等。在實際工程中，良好的連接性是多孔結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的基本保障，在多層級拓?fù)鋬?yōu)化中必須考慮多孔結(jié)構(gòu)之間的連接性。此外，多孔結(jié)構(gòu)增材制造尺度可能大于設(shè)計尺度，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的設(shè)計性能與制造性能不匹配。因此，在多層級拓?fù)鋬?yōu)化中有必要引入尺度關(guān)聯(lián)的等效屬性計算方法。

為避免多層級拓?fù)鋬?yōu)化中的尺度分離問題，本文提出了一種基于子結(jié)構(gòu)法的多層級結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法，采用子結(jié)構(gòu)法建立宏細(xì)觀結(jié)構(gòu)的聯(lián)系。子結(jié)構(gòu)法具備尺度關(guān)聯(lián)特性[17-19]，可保證宏細(xì)觀結(jié)構(gòu)力學(xué)分析在同一個尺度進(jìn)行，細(xì)觀結(jié)構(gòu)的尺寸是其在宏觀層級的真實尺寸。當(dāng)考慮多種單胞類型時，基于子結(jié)構(gòu)法的多層級結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法可保證多孔結(jié)構(gòu)的連接性。

1 多層級結(jié)構(gòu)水平集描述

本文采用隱式水平集函數(shù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)邊界描述[20]，并引入虛擬時間變量t使水平集函數(shù)具備動態(tài)演化特性。針對多層級結(jié)構(gòu)，如圖1所示，定義宏觀水平集函數(shù)ΦMA和細(xì)觀水平集函數(shù)ΦME如下：

圖1 多層級結(jié)構(gòu)示意圖

(1)

(2)

式中，上標(biāo)MA、ME分別表示宏觀、細(xì)觀；x為坐標(biāo)向量；Ω為結(jié)構(gòu)域；?Ω為結(jié)構(gòu)邊界；D為設(shè)計域。

為克服傳統(tǒng)水平集方法的數(shù)值問題，便于與梯度優(yōu)化算法結(jié)合[21-23]，本文采用緊支徑向基函數(shù)插值替代離散的水平集函數(shù)，將水平集函數(shù)參數(shù)化。宏細(xì)觀結(jié)構(gòu)水平集函數(shù)的參數(shù)化形式分別為

(3)

(4)

對虛擬時間變量t求導(dǎo)，參數(shù)化水平集函數(shù)動態(tài)演化的常微分形式為

(5)

(6)

2 細(xì)觀子結(jié)構(gòu)靜態(tài)凝聚

本文采用子結(jié)構(gòu)法計算細(xì)觀多孔結(jié)構(gòu)的宏觀等效屬性。子結(jié)構(gòu)法又稱Guyan縮減[24]或區(qū)域分解法[25]，如圖2所示，在求解有限元平衡方程時，子結(jié)構(gòu)法的基本思想是“各個擊破”，將結(jié)構(gòu)域Ω分解為若干細(xì)觀子結(jié)構(gòu)Ωi，對每個細(xì)觀子結(jié)構(gòu)分別離散，再求解細(xì)觀子結(jié)構(gòu)邊界上的節(jié)點響應(yīng)，最后求解細(xì)觀子結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點響應(yīng)。結(jié)構(gòu)域可表示為

(a)L形結(jié)構(gòu)域 (b)子結(jié)構(gòu)劃分

(7)

式中，M為結(jié)構(gòu)域Ω中細(xì)觀子結(jié)構(gòu)的數(shù)量。

采用子結(jié)構(gòu)法的優(yōu)勢在于：①降低有限元求解維度與內(nèi)存消耗，有限元求解被拆分為一個縮減線性方程組和多個小型線性方程組的求解[26]；②計算結(jié)果具備尺度關(guān)聯(lián)特性，宏觀與細(xì)觀結(jié)構(gòu)響應(yīng)在同一個有限元框架下實現(xiàn)求解；③計算結(jié)果再利用率較高，重復(fù)結(jié)構(gòu)特征只需進(jìn)行一次凝聚。采用子結(jié)構(gòu)法進(jìn)行多孔結(jié)構(gòu)分析與拓?fù)鋬?yōu)化，可提高有限元分析效率，避免多層級結(jié)構(gòu)中的尺度分離問題。

靜力學(xué)問題中的子結(jié)構(gòu)法又稱為靜態(tài)縮減(static condensation)，假設(shè)結(jié)構(gòu)被離散為有限個單元和節(jié)點，離散化平衡方程的矩陣形式為

KU=F

(8)

式中，K、U、F分別為結(jié)構(gòu)的全局剛度矩陣、位移向量和載荷向量。

組成離散結(jié)構(gòu)的節(jié)點可分為主節(jié)點和從節(jié)點兩個部分。主節(jié)點為結(jié)構(gòu)邊界上的節(jié)點，如圖2d中的節(jié)點，從節(jié)點為結(jié)構(gòu)內(nèi)部的節(jié)點，用下標(biāo)m表示主節(jié)點組成的自由度，s表示從節(jié)點組成的自由度，則式(8)可寫為

(9)

由式(9)的第二行可得

(10)

將式(10)代入式(9)的第一行可得

(11)

假設(shè)從節(jié)點的載荷向量為零向量，凝聚后的平衡方程為

KsubUsub=Fsub

(12)

(13)

Usub=Um

(14)

Fsub=Fm

(15)

式中，Ksub、Usub、Fsub分別為凝聚后的剛度矩陣、位移向量和載荷向量。

單個細(xì)觀子結(jié)構(gòu)的凝聚過程通過式(11)完成，求解凝聚后的平衡方程式(11)，可得主節(jié)點上的位移向量Um。將Um代入式(10)，可得從節(jié)點上的位移向量Us，隨后可計算應(yīng)力、應(yīng)變、應(yīng)變能等各種物理量信息。

細(xì)觀層級結(jié)構(gòu)涉及多個細(xì)觀子結(jié)構(gòu)的凝聚，由于周期性的假設(shè)條件，所有細(xì)觀子結(jié)構(gòu)的幾何構(gòu)型相同，故只需進(jìn)行一次凝聚。凝聚的細(xì)觀子結(jié)構(gòu)相當(dāng)于一個擁有多個節(jié)點的超級單元，所以又稱之為“超單元”。相同幾何構(gòu)型的細(xì)觀子結(jié)構(gòu)凝聚過程可通過對凝聚子結(jié)構(gòu)的組裝完成，組裝的縮減平衡方程為

K*U*=F*

(16)

式中，K*、U*、F*分別為縮減的全局剛度矩陣、全局位移向量和全局載荷向量。

對于周期性細(xì)觀多孔結(jié)構(gòu)，縮減剛度矩陣的組裝可表示為

(17)

式中，V為細(xì)觀多孔結(jié)構(gòu)體積域。

靜態(tài)凝聚是一種矩陣的線性變換，對于單個細(xì)觀子結(jié)構(gòu)的靜態(tài)凝聚，由于不涉及多個細(xì)觀子結(jié)構(gòu)之間的信息交互，無論在邊界上保留多少主節(jié)點，只要凝聚前后保持結(jié)構(gòu)的邊界條件不變，則求解位移不存在計算誤差。對于多個細(xì)觀子結(jié)構(gòu)的凝聚及組裝，細(xì)觀子結(jié)構(gòu)邊界上的節(jié)點必須全部保留為主節(jié)點，方可保證求解位移不存在計算誤差。如果細(xì)觀子結(jié)構(gòu)邊界上只保留部分主節(jié)點，則會導(dǎo)致一部分邊界節(jié)點未參與細(xì)觀子結(jié)構(gòu)之間的信息交互，使計算結(jié)果存在一定誤差。

3 多層級結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型

基于參數(shù)化水平集法，構(gòu)建體積約束下的多層級結(jié)構(gòu)柔度最小化拓?fù)鋬?yōu)化模型：

(18)

細(xì)觀水平集函數(shù)ΦME決定了細(xì)觀子結(jié)構(gòu)凝聚的剛度矩陣kMA：

(19)

(20)

式(18)中宏觀平衡方程弱形式的能量雙線性形式aMA(uMA,vMA)和載荷線性形式lMA(vMA)分別表示為

(21)

(22)

由于采用子結(jié)構(gòu)法對組成宏觀結(jié)構(gòu)的細(xì)觀子結(jié)構(gòu)進(jìn)行了縮減，故宏觀平衡方程實際是一種縮減的平衡方程。

式(18)中細(xì)觀子結(jié)構(gòu)的彈性平衡方程是一種虛擬的平衡方程，它等效于細(xì)觀子結(jié)構(gòu)內(nèi)部位移求解方程：

(23)

式中，F(xiàn)ME為細(xì)觀子結(jié)構(gòu)載荷向量。

4 靈敏度分析與數(shù)值實施

由于目標(biāo)函數(shù)與宏細(xì)觀水平集函數(shù)相關(guān)，故本文采用形狀導(dǎo)數(shù)[27-28]推導(dǎo)目標(biāo)函數(shù)和約束條件的靈敏度。

4.1 宏觀層級靈敏度分析

推導(dǎo)目標(biāo)函數(shù)、能量雙線性形式、載荷線性形式關(guān)于宏觀時間變量tMA的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)一步化簡可得

(24)

ΥMA=(uMA)TkMA(ΦME)uMA

(25)

將參數(shù)化的宏觀速度場式(5)代入式(24)得

(26)

采用鏈?zhǔn)椒▌t對目標(biāo)函數(shù)J(ΦMA)直接求其關(guān)于宏觀時間變量tMA的導(dǎo)數(shù)可得

(27)

(28)

和宏觀體積約束GMA(ΦMA)關(guān)于時間變量tMA的導(dǎo)數(shù)：

(29)

采用鏈?zhǔn)椒▌t對宏觀體積約束GMA(ΦMA)直接求其關(guān)于時間變量tMA的導(dǎo)數(shù)可得

(30)

(31)

4.2 細(xì)觀層級靈敏度分析

為便于求導(dǎo)，將宏觀結(jié)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)寫成對單個細(xì)觀子結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)積分的形式：

(32)

δ(ΦME)dΩMEdΩMA

(33)

(34)

5 數(shù)值實施

多層級結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化流程如圖3所示，宏觀結(jié)構(gòu)剛度矩陣組裝依賴于細(xì)觀子結(jié)構(gòu)的靜態(tài)凝聚，細(xì)觀子結(jié)構(gòu)內(nèi)部位移求解依賴于宏觀結(jié)構(gòu)平衡方程的求解，因此多層級結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化具備相互耦合的特性。在優(yōu)化過程中，宏觀和細(xì)觀結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化均采用優(yōu)化準(zhǔn)則法[29]進(jìn)行設(shè)計變量更新。由于優(yōu)化模型式(18)中只有一個目標(biāo)函數(shù)，故宏觀和細(xì)觀結(jié)構(gòu)收斂準(zhǔn)則一致，即

圖3 多層級拓?fù)鋬?yōu)化流程圖

(35)

需要指出，在宏觀結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，凝聚的細(xì)觀結(jié)構(gòu)作為宏觀結(jié)構(gòu)的基本單元用于剛度矩陣組裝，得到宏觀結(jié)構(gòu)縮減的全局剛度矩陣。為提高剛度矩陣組裝效率，可采用MATLAB中的sparse函數(shù)進(jìn)行組裝。在細(xì)觀結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，細(xì)觀結(jié)構(gòu)的位移場與宏觀結(jié)構(gòu)及邊界條件相關(guān)，待縮減的宏觀平衡方程求解完成之后，通過式(23)計算細(xì)觀結(jié)構(gòu)內(nèi)部位移場。每個細(xì)觀結(jié)構(gòu)的位移場相互獨立，可通過CPU并行求解。

6 數(shù)值案例與結(jié)果分析

6.1 二維單類型多層級結(jié)構(gòu)

如圖4所示的宏觀矩形懸臂梁設(shè)計域，長寬為24 m×12 m，宏觀設(shè)計域左端固定，右端中點處受豎直向下的集中載荷(F=-1 N)。宏觀設(shè)計域離散為60×30個細(xì)觀子結(jié)構(gòu)，細(xì)觀子結(jié)構(gòu)邊長為0.4 m，細(xì)觀子結(jié)構(gòu)離散為40×40個雙線性四邊形單元，單元大小為0.01 m×0.01 m。宏觀設(shè)計域體積分?jǐn)?shù)fMA=0.8，細(xì)觀子結(jié)構(gòu)設(shè)計域體積分?jǐn)?shù)fME=0.5，假設(shè)單一類型的多孔結(jié)構(gòu)在宏觀設(shè)計域內(nèi)周期性分布。

圖4 懸臂梁設(shè)計域

為驗證本文方法的尺度關(guān)聯(lián)特性，本算例設(shè)置兩種不同的初始化方案。圖5所示為初始的宏觀結(jié)構(gòu)和細(xì)觀結(jié)構(gòu)，其中初始宏觀結(jié)構(gòu)一致，初始細(xì)觀結(jié)構(gòu)不同。首先采用子結(jié)構(gòu)法對二維細(xì)觀結(jié)構(gòu)內(nèi)部節(jié)點進(jìn)行凝聚，細(xì)觀結(jié)構(gòu)邊界上所有的節(jié)點均為主節(jié)點。經(jīng)過細(xì)觀子結(jié)構(gòu)靜態(tài)縮減后，二維細(xì)觀結(jié)構(gòu)自由度數(shù)量從3362降為320，二維宏觀結(jié)構(gòu)自由度數(shù)量從約576萬降為約29萬，自由度數(shù)量降低了一個數(shù)量級。

(a)宏觀結(jié)構(gòu)

圖6和7所示為多層級拓?fù)鋬?yōu)化的最優(yōu)宏細(xì)觀結(jié)構(gòu)。對比方案Ⅰ和Ⅱ，宏觀結(jié)構(gòu)基本一致，細(xì)觀結(jié)構(gòu)在拓?fù)錁?gòu)型上有所區(qū)別，其原因在于周期性細(xì)觀結(jié)構(gòu)最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型依賴初始化。方案Ⅰ的最優(yōu)細(xì)觀拓?fù)錁?gòu)型在四個節(jié)點處形成材料，經(jīng)組裝后可有效傳遞載荷。雖然方案Ⅱ的初始細(xì)觀結(jié)構(gòu)在四個節(jié)點處均無材料，但最終的優(yōu)化結(jié)構(gòu)在右上角和右下角處聚集了材料，在載荷施加位置形成了材料，實現(xiàn)了宏觀載荷的有效傳遞，體現(xiàn)了本文方法的尺度關(guān)聯(lián)特性。圖8、圖9分別為方案Ⅰ和方案Ⅱ的優(yōu)化迭代圖?？芍悍桨涪衲繕?biāo)函數(shù)初始值相對較小，取值為265.365，經(jīng)過81步迭代后收斂至141.425；方案Ⅱ初始結(jié)構(gòu)由于在載荷點處無材料，目標(biāo)函數(shù)初始值較大(2435.055)，隨著優(yōu)化的進(jìn)行，細(xì)觀結(jié)構(gòu)在載荷點處逐漸形成材料，目標(biāo)函數(shù)值急劇下降，經(jīng)過101步后收斂至141.389。雖然兩種方案的最優(yōu)細(xì)觀結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型不同，但都實現(xiàn)了宏觀載荷的有效傳遞，最終得到的多層級結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)值較為接近。

圖6 多層級拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果(方案Ⅰ)

圖7 多層級拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果(方案Ⅱ)

圖8 方案Ⅰ迭代過程圖

圖9 方案Ⅱ迭代過程圖

6.2 二維多類型多層級結(jié)構(gòu)

為驗證連接性問題，本算例將6.1節(jié)的設(shè)計域劃分為A、B、C和D四個子區(qū)域，如圖10所示，對每個子區(qū)域獨立優(yōu)化，宏細(xì)觀結(jié)構(gòu)離散方式、邊界條件、體積分?jǐn)?shù)均與6.1節(jié)保持一致，進(jìn)行多類型多層級結(jié)構(gòu)設(shè)計。

圖10 分區(qū)域懸臂梁設(shè)計域

對圖10中四個子區(qū)域的細(xì)觀子結(jié)構(gòu)分別凝聚。圖11a和圖11b分別為初始宏觀結(jié)構(gòu)和細(xì)觀結(jié)構(gòu)，經(jīng)過211步迭代后，宏細(xì)觀體積分?jǐn)?shù)分別收斂到0.8和0.5，最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值為127.2945。圖12a所示為經(jīng)過優(yōu)化的宏觀結(jié)構(gòu)即細(xì)觀結(jié)構(gòu)在宏觀的分布情況。圖12b所示為四種最優(yōu)的細(xì)觀結(jié)構(gòu)單胞，每個細(xì)觀結(jié)構(gòu)在對應(yīng)的子區(qū)域內(nèi)周期性分布。其中，A與C、B與D區(qū)域的最優(yōu)細(xì)觀子結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型相互對稱。

(a)宏觀結(jié)構(gòu)

(a)宏觀結(jié)構(gòu)

圖13所示是經(jīng)過組裝后的多層級結(jié)構(gòu)，可知，雖然四個子區(qū)域的細(xì)觀結(jié)構(gòu)在優(yōu)化過程中相互獨立，但優(yōu)化后的四種細(xì)觀結(jié)構(gòu)之間具備較好的連接性，保證了載荷的有效傳遞。由于子結(jié)構(gòu)法不存在尺度分離問題，故不需要施加任何額外約束即可保證連接性。

圖13 優(yōu)化的多層級結(jié)構(gòu)

由于分區(qū)域后多層級拓?fù)鋬?yōu)化具備更大的設(shè)計自由度，四個子區(qū)域的細(xì)觀子結(jié)構(gòu)都獨立優(yōu)化以實現(xiàn)多層級結(jié)構(gòu)的剛度最大化，因此，分區(qū)域多層級設(shè)計的結(jié)構(gòu)比均布多層級設(shè)計的結(jié)構(gòu)有更好的力學(xué)性能。從優(yōu)化迭代圖(圖14)可知，在同樣的材料用量下，分區(qū)域多層級結(jié)構(gòu)的柔度值為127.2945，小于單一類型多層級結(jié)構(gòu)的柔度值。

圖14 迭代過程圖

6.3 三維多類型多層級結(jié)構(gòu)

圖15所示為左端固定的三維懸臂梁結(jié)構(gòu)，懸臂梁結(jié)構(gòu)設(shè)計域長寬高為2.4 m×1.2 m×0.48 m，結(jié)構(gòu)設(shè)計域右端下邊界中心處施加有F=-1 N的集中載荷。將宏觀結(jié)構(gòu)設(shè)計域劃分為A、B、C和D四個子區(qū)域，由20×10×4個三維細(xì)觀子結(jié)構(gòu)組成，細(xì)觀子結(jié)構(gòu)邊長0.12 m，每個細(xì)觀子結(jié)構(gòu)設(shè)計域離散為12×12×12個八節(jié)點六面體單元，單元大小為0.01 m×0.01 m×0.01 m，宏觀結(jié)構(gòu)設(shè)計域體積分?jǐn)?shù)fMA=0.8，四個細(xì)觀子結(jié)構(gòu)設(shè)計域體積分?jǐn)?shù)fME=0.3，在該宏觀設(shè)計域內(nèi)進(jìn)行三維多類型多層級結(jié)構(gòu)設(shè)計。

圖15 三維分區(qū)域懸臂梁設(shè)計域

對圖15四個子區(qū)域的細(xì)觀子結(jié)構(gòu)分別凝聚。該宏觀結(jié)構(gòu)由約138萬個三維單元組成，自由度數(shù)量約達(dá)428萬。采用子結(jié)構(gòu)法對三維細(xì)觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜態(tài)凝聚，三維細(xì)觀結(jié)構(gòu)邊界主節(jié)點的選取規(guī)則為每間隔一個節(jié)點選取一個主節(jié)點，三維細(xì)觀結(jié)構(gòu)邊界剩余節(jié)點和內(nèi)部節(jié)點定義為從節(jié)點，數(shù)值實驗表明，這種主從節(jié)點定義規(guī)則對結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型影響較小。經(jīng)過細(xì)觀子結(jié)構(gòu)靜態(tài)縮減后，三維細(xì)觀結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)量從6591降為654，三維宏觀結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)量從約428萬降為約25萬，自由度的數(shù)量分別降低了一個數(shù)量級。

圖16所示為經(jīng)過拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計的三維宏觀結(jié)構(gòu)和三維細(xì)觀子結(jié)構(gòu)，由于四個子區(qū)域獨立優(yōu)化，最終所得子結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型各不相同，但四種子結(jié)構(gòu)之間都保持了一定的連接性，保證了載荷在多層級結(jié)構(gòu)中的有效傳遞。圖17展示了優(yōu)化迭代過程，宏細(xì)觀結(jié)構(gòu)的體積分?jǐn)?shù)分別收斂到0.8和0.3，最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值為10.649。

(a)宏觀結(jié)構(gòu)

圖17 三維多層級結(jié)構(gòu)迭代過程圖

7 結(jié)論

本文提出了基于子結(jié)構(gòu)法的多層級結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法，通過構(gòu)造一種尺度關(guān)聯(lián)的拓?fù)鋬?yōu)化模型，實現(xiàn)了多層級結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。數(shù)值算例表明，所提方法可實現(xiàn)二維、三維多層級結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，并有效避免了多層級結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中的連接性問題。