孫玉紅,王家濤,韓麗娟

(①曲阜師范大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院;②山東水利職業(yè)學(xué)院建筑工程系;③曲阜師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)與設(shè)備中心,276826，山東省日照市)

隨著對(duì)覆蓋率和數(shù)據(jù)傳輸速率要求的提高，多層異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)受到了廣泛的關(guān)注，逐漸成為未來無線通信的一種解決方案.多層異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)由具有不同發(fā)射功率和覆蓋范圍的節(jié)點(diǎn)組成.以蜂窩網(wǎng)為例，不同的節(jié)點(diǎn)(例如，傳統(tǒng)的宏小區(qū)網(wǎng)絡(luò)及小小區(qū)網(wǎng)絡(luò))各自構(gòu)成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)層，每一單層的(即同構(gòu)的)蜂窩網(wǎng)絡(luò)可以作為一個(gè)獨(dú)立的情況來看待.因此多層異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)可以看作是對(duì)現(xiàn)有網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的擴(kuò)展.近年來，這種異構(gòu)化隨著業(yè)務(wù)需求而迅猛增長.

對(duì)異構(gòu)蜂窩網(wǎng)絡(luò)的研究，迄今為止，大部分的分析方法是通過仿真.以前的方法使用基站分布為六邊形網(wǎng)格的模型，該模型用來模擬真實(shí)世界的基站部署時(shí)，與實(shí)際情況相差較大.因?yàn)榈乩項(xiàng)l件，如山、湖、河流、街道等原因，很少允許基站按照規(guī)則的六邊形部署，而且大部分的仿真是運(yùn)行在模擬器上的，結(jié)果之間很難驗(yàn)證和比較.因此，該方法難以得到主要的系統(tǒng)性能指標(biāo)如覆蓋率和用戶以及基站密度的關(guān)系.這些關(guān)系在一些優(yōu)化問題中，比如能量消耗，部署成本等問題中有重要意義[6].隨著技術(shù)的發(fā)展，隨機(jī)幾何再次成為一個(gè)有利的工具用于分析異構(gòu)無線網(wǎng)絡(luò)的性能.本文利用隨機(jī)幾何，研究了將多層獨(dú)立的泊松網(wǎng)絡(luò)等價(jià)為單層均勻網(wǎng)絡(luò)的方法，基于此等價(jià)，多層網(wǎng)絡(luò)可以轉(zhuǎn)化為易處理的單層模型.

1 相關(guān)研究

隨機(jī)幾何是一個(gè)非常有用的數(shù)學(xué)工具和統(tǒng)計(jì)工具，用于無線網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)潆S機(jī)性的建模、分析和設(shè)計(jì)[1-6].它在Ad hoc網(wǎng)絡(luò)分析中已有30多年歷史,特別是用于隨機(jī)信道訪問的網(wǎng)絡(luò)分析，如Aloha網(wǎng)絡(luò)或 CSMA網(wǎng)絡(luò)以及單層和多層的蜂窩網(wǎng)絡(luò)的分析[7,10].

在無線網(wǎng)絡(luò)的研究中，有多種空間點(diǎn)過程的模型用于網(wǎng)絡(luò)的建模和性能分析，如泊松點(diǎn)過程(PPP)[5]，泊松簇過程(PCP)[6]，硬核過程(MHC)[8]，軟核過程(Strass)[10],行列式點(diǎn)過程(DPP)[9]等.在這些點(diǎn)過程中，以泊松點(diǎn)過程(PPP)的使用最為廣泛，因?yàn)樵擖c(diǎn)過程既可以模擬實(shí)際的基站分布的隨機(jī)性，又有易分析的性質(zhì)，從而容易分析出網(wǎng)絡(luò)的性能.相比較傳統(tǒng)的六邊形網(wǎng)格表示的基站分布，無論在準(zhǔn)確性還是實(shí)用性上都具有極大的優(yōu)勢(shì).對(duì)節(jié)點(diǎn)分布為PPP的單層網(wǎng)絡(luò)的性能分析和研究已有了大量的成果[5].

對(duì)于節(jié)點(diǎn)分布為PPP的多層異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的研究，文獻(xiàn)[1]研究了各層分布為不同密度的獨(dú)立PPP的網(wǎng)絡(luò)覆蓋率和數(shù)據(jù)傳輸速率.文獻(xiàn)[15]研究了在多層異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中使用串行干擾消除(SIC)的網(wǎng)絡(luò)性能.文獻(xiàn)[6]分析了多層蜂窩網(wǎng)的網(wǎng)絡(luò)性能，其中宏基站用PPP建模，小基站用PCP進(jìn)行建模.由于宏基站分布的排他性，相鄰的兩個(gè)宏基站不可能距離很近，與PPP中點(diǎn)的分布無關(guān)性并不完全一致，因此一些非PPP的建模方法也用于研究蜂窩網(wǎng)，例如文獻(xiàn)[11]研究了用Ginibre點(diǎn)過程(GPP)模型來模擬宏基站的方法，并對(duì)網(wǎng)絡(luò)性能進(jìn)行了分析.

對(duì)一般的點(diǎn)過程(非PPP)，文獻(xiàn)[12]提出了非PPP點(diǎn)過程在計(jì)算覆蓋率的時(shí)候，與PPP具有相同的變化趨勢(shì)，因此可以用平移的PPP來近似其性能，并認(rèn)為這是一種增益，稱為漸近部署增益(ADG).文獻(xiàn)[13]進(jìn)一步確定了在瑞利衰落條件下，平均干擾信號(hào)比(MISR)的重要作用，即增益的計(jì)算方式.此近似方法即基于PPP的近似信干比(SIR)分析(ASAPPP)[14].由于一般的穩(wěn)定點(diǎn)過程可以通過ASAPPP方法進(jìn)行ADG平移，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為PPP網(wǎng)絡(luò)，因此本文主要研究基于PPP分布的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).

多層網(wǎng)絡(luò)由于多樣性，相比較單層網(wǎng)絡(luò)的分析困難得多，因此如何將已有的對(duì)單層網(wǎng)絡(luò)的研究成果運(yùn)用到多層網(wǎng)絡(luò)中是一個(gè)非常有意義的問題.本文根據(jù)該問題，主要從網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)等價(jià)的角度研究將多層網(wǎng)絡(luò)等價(jià)為一層網(wǎng)絡(luò)的方法.網(wǎng)絡(luò)等價(jià)分別從傳輸功率和分布密度兩個(gè)角度將多層網(wǎng)絡(luò)等價(jià)為單層網(wǎng)絡(luò)，從而得到多層網(wǎng)絡(luò)的易于處理的方法.

2 網(wǎng)絡(luò)模型

3 網(wǎng)絡(luò)等價(jià)

本部分根據(jù)各層網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)分布為獨(dú)立的PPP的情況下，從兩個(gè)角度給出網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)等價(jià)的處理.網(wǎng)絡(luò)等價(jià)的意義是在干擾總量不變的情況下，對(duì)網(wǎng)絡(luò)的一些參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一處理，通過等價(jià)處理，一些在單層網(wǎng)絡(luò)中的分析方法能直接推廣到多層網(wǎng)絡(luò)中.

3.1 功率等價(jià)

在各層節(jié)點(diǎn)分布為PPP的情況下，假設(shè)典型用戶由第k層服務(wù)節(jié)點(diǎn)xs提供服務(wù)，其所受到的干擾來自于本層的其他節(jié)點(diǎn)，和其他層的所有節(jié)點(diǎn).由于異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)，各層節(jié)點(diǎn)的發(fā)送功率不同，根據(jù)用戶所接收到的累積干擾，假設(shè)用戶位于一個(gè)單層網(wǎng)絡(luò)中，在累積干擾等價(jià)的條件下計(jì)算其等價(jià)功率.

在多層網(wǎng)絡(luò)中，假設(shè)用戶與第k層節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，對(duì)用戶產(chǎn)生干擾的基站為xj，用戶所接受到的累積干擾可以表示為

前一項(xiàng)Ii≠k表示來自其他層的干擾，后一項(xiàng)Ik表示來自第k層的干擾.

首先計(jì)算LIk(s)：

(a)

(b)

因此，所有干擾層的Laplace變換可以寫為

令LIT(s)=LIT′(s)，可得，

(1)

因此，網(wǎng)絡(luò)可以在保持典型用戶所接受的服務(wù)信號(hào)的功率和累積干擾都不變的條件下，等價(jià)為一個(gè)發(fā)送功率為Peq，節(jié)點(diǎn)密度為λT的單層網(wǎng)絡(luò).

3.2 密度等價(jià)

在干擾總量等價(jià)的條件下，如果以某一層網(wǎng)絡(luò)的功率為標(biāo)準(zhǔn)功率，可以計(jì)算多層網(wǎng)絡(luò)的等價(jià)密度，從而也能將多層網(wǎng)絡(luò)等價(jià)為單層網(wǎng)絡(luò).

類似地，對(duì)與第k層節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的用戶，其所受到的干擾來自于k層的其他節(jié)點(diǎn)，和其他層的所有節(jié)點(diǎn).與功率等價(jià)的推導(dǎo)類似，在多層網(wǎng)絡(luò)模型中，用戶所受干擾的Laplace泛函為

另一方面，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)密度為λeq，節(jié)點(diǎn)發(fā)送功率為Pk的單層網(wǎng)絡(luò)Φeq，典型用戶所受的干擾總量的Laplace泛函為

因此，令LIeqc(s)=LIT(s)，得到等價(jià)密度為

(2)

所以，多層網(wǎng)絡(luò)也可以在保持典型用戶所接受的服務(wù)信號(hào)的功率不變，和累積干擾功率不變的條件下，等價(jià)為一個(gè)發(fā)送功率為Pk，節(jié)點(diǎn)密度為λeq的單層網(wǎng)絡(luò).

3.3 分析

命題1 對(duì)于任意層k∈[1，K]，在開放訪問的模式下，以上2種網(wǎng)絡(luò)等價(jià)不影響用戶的覆蓋率(成功傳輸概率).

證明首先，在多層網(wǎng)絡(luò)中，對(duì)第k層的用戶，其覆蓋率可以表示為

因此第1種網(wǎng)絡(luò)等價(jià)不影響第k層用戶的覆蓋率.

同理，在第2種網(wǎng)絡(luò)等價(jià)模式中，等價(jià)密度λeq為用戶的干擾密度，而當(dāng)限定為第k層節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的用戶時(shí)，其服務(wù)密度為λk，因此，

與式Pc_k一致.命題得證.

命題2 兩種隨機(jī)等價(jià)在開放訪問的模式下不影響網(wǎng)絡(luò)整體的覆蓋率.

證明在開放訪問的模式下，用戶根據(jù)平均最強(qiáng)信號(hào)的關(guān)聯(lián)規(guī)則，可以與任一層服務(wù)節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，因此用戶服務(wù)節(jié)點(diǎn)的密度與干擾節(jié)點(diǎn)的密度是相同的.在第1種等價(jià)模式下，節(jié)點(diǎn)的密度為λT，等價(jià)功率Peq是在第k層用戶所接受的有用信號(hào)不變的情況下得到的，因此，用戶的服務(wù)節(jié)點(diǎn)的功率和干擾節(jié)點(diǎn)的功率可認(rèn)為是相同的.

3.4 應(yīng)用

通過前面的分析可知，在干擾總量等價(jià)的意義下，多層網(wǎng)絡(luò)可以等價(jià)為一層網(wǎng)絡(luò).本部分說明這種等價(jià)在某些技術(shù)條件下的應(yīng)用，包括異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)使用SIC技術(shù)的性能分析，以及異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的SIR元分布分析.

(1)本文的等價(jià)方法，可以在使用SIC技術(shù)的多層網(wǎng)絡(luò)分析中提供方便.文獻(xiàn)[15]已經(jīng)使用密度等價(jià)的方法分析了HIP網(wǎng)絡(luò)中SIC技術(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)性能的影響.SIC技術(shù)需要接收端根據(jù)所接收到干擾的強(qiáng)弱進(jìn)行排序，然后將最強(qiáng)的前N個(gè)干擾信號(hào)消除，再計(jì)算其SIR是否滿足解碼閾值要求.異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)意味著每層傳輸節(jié)點(diǎn)的功率不同，密度不同，因此難以根據(jù)節(jié)點(diǎn)的距離進(jìn)行排序.利用等價(jià)，首先將多層網(wǎng)絡(luò)等價(jià)為一個(gè)具有唯一密度和唯一發(fā)送功率的單層網(wǎng)絡(luò).干擾信號(hào)的排序就變?yōu)閱螌泳W(wǎng)絡(luò)中的處理，因?yàn)楣?jié)點(diǎn)可以認(rèn)為具有相同的功率，可以根據(jù)節(jié)點(diǎn)與用戶之間的距離進(jìn)行排序.此時(shí)，第n個(gè)最大干擾與用戶的距離X滿足

(3)

接收端消除掉最強(qiáng)的n個(gè)干擾后的成功傳輸概率為

此處，λi為接收端的等價(jià)干擾密度，fr(r)對(duì)應(yīng)用戶與發(fā)送端的距離的概率密度函數(shù).

事實(shí)上，在多層混合網(wǎng)絡(luò)模型中，如嵌入機(jī)器類型通信MTC鏈路的異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，使用SIC技術(shù)可用同樣的分析方法.文獻(xiàn)[16]分析了SIC技術(shù)在單層蜂窩網(wǎng)和D2D鏈路條件下的網(wǎng)絡(luò)性能.與一般的異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)不同，在嵌入MTC的異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中，用戶面臨的服務(wù)密度與干擾密度一般是不同的.例如在D2D嵌入多層蜂窩網(wǎng)的情形中，對(duì)蜂窩用戶而言，只有蜂窩基站提供服務(wù)，而D2D節(jié)點(diǎn)只是作為干擾；同理，對(duì)D2D節(jié)點(diǎn)，蜂窩網(wǎng)的傳輸只能是干擾.因此上述公式，對(duì)蜂窩用戶的等價(jià)干擾密度增加了D2D發(fā)送節(jié)點(diǎn)的密度.

根據(jù)命題1和命題2可知，在一般的多層異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中，加入SIC技術(shù)后，通過網(wǎng)絡(luò)的哪一層來進(jìn)行等價(jià)分析，對(duì)混合網(wǎng)絡(luò)的性能是沒有影響的.在混合的異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中，例如在嵌入D2D鏈路的多層蜂窩網(wǎng)絡(luò)中，蜂窩網(wǎng)部分通過哪一層進(jìn)行等價(jià)分析，其網(wǎng)絡(luò)的覆蓋概率是相同的，同樣，D2D鏈路的成功概率也不會(huì)受某一層等價(jià)分析的影響.

(2)本文分析的隨機(jī)等價(jià)還可以用于SIR元分布的分析中[18].所謂SIR元分布就是SIR的分布P(SIR>θ)的分布[19].在元分布的分析中，鏈路成功傳輸?shù)目煽啃耘c鏈路傳輸速度之間存在一定的折中[20].在多層異構(gòu)混合網(wǎng)絡(luò)中，通過等價(jià)的密度，就可以獲得鏈路的速率控制參數(shù)θ，以滿足特定的傳輸可靠性.在含有封閉訪問層的網(wǎng)絡(luò)中，例如嵌入MTC的多層蜂窩網(wǎng)中，蜂窩鏈路的SIR閾值與傳輸可靠性可以通過式(4)近似給出

(4)

此外，在一些有功率控制要求的多層異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中，可以通過網(wǎng)絡(luò)等價(jià)將問題簡化為單層網(wǎng)絡(luò)中的問題，從而得出一些易分析的結(jié)果.例如，文獻(xiàn)[17]對(duì)功率控制的SIR元分布是針對(duì)單層PPP網(wǎng)絡(luò)模型的，通過隨機(jī)等價(jià)就可以將其推廣到多層網(wǎng)絡(luò)中，這可作為本文工作擴(kuò)展的一個(gè)方面.

未來的無線系統(tǒng)越來越呈現(xiàn)出異構(gòu)性和混合性的特點(diǎn)，例如日趨成熟的5G通信的目標(biāo)可支持大規(guī)模的異構(gòu)性，例如eMBB,mMTC以及URLLC[21]，在分析這類網(wǎng)絡(luò)的干擾和性能時(shí)，本文的等價(jià)方法可以提供便利.

4 仿 真

本部分給出以上分析的仿真結(jié)果，以驗(yàn)證本文方法的正確性.不失一般性，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)的每層節(jié)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)獨(dú)立的PPP，并具有特定的密度和發(fā)送功率.假設(shè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)分布在一個(gè)100×100的矩形范圍.

圖1是一個(gè)等價(jià)功率計(jì)算的結(jié)果.我們假設(shè)兩層網(wǎng)絡(luò)的密度分別為λ1=20，λ2=30，P1∶P2=1∶2.假設(shè)P1從10變化到100，可以看出雖然由于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)分布的隨機(jī)性，總的干擾呈現(xiàn)出波動(dòng)，但等價(jià)功率產(chǎn)生的干擾總量和實(shí)際仿真的結(jié)果變化趨勢(shì)是相同的.

圖1 等價(jià)功率的分析與仿真結(jié)果 圖2 等價(jià)密度對(duì)覆蓋概率的影響趨勢(shì)的分析與仿真

圖2～圖5的仿真參數(shù)設(shè)置如下：網(wǎng)絡(luò)包含3層分別為m層，p層和d層，假設(shè)m層和p層是開放訪問，d層是封閉訪問(即該層用戶不能與其他層關(guān)聯(lián)).每層的功率設(shè)置為Pm=200，Pp=100，Pd=50，對(duì)應(yīng)每層節(jié)點(diǎn)的密度分別為λm=0.01,λp=0.02,和λd=0.04.假設(shè)信號(hào)傳輸?shù)乃ヂ浞木禐?的指數(shù)分布，路徑損耗指數(shù)為4.考慮到節(jié)點(diǎn)分布的隨機(jī)性對(duì)結(jié)果的影響，我們重復(fù)進(jìn)行300次隨機(jī)仿真試驗(yàn)，然后對(duì)結(jié)果進(jìn)行算術(shù)平均.

圖2是根據(jù)等價(jià)密度，對(duì)網(wǎng)絡(luò)m層節(jié)點(diǎn)的覆蓋率的計(jì)算.如果用戶與網(wǎng)絡(luò)其中一層節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，則該用戶的干擾來自3層不同功率的節(jié)點(diǎn)，我們仿真了該條件下的用戶覆蓋概率.假設(shè)鏈路成功傳輸?shù)腟IR閾值變化范圍為-5～5 dB.同時(shí)，根據(jù)本文分析的等價(jià)密度的結(jié)果，可以計(jì)算出一個(gè)等價(jià)的單層網(wǎng)絡(luò)的覆蓋率，我們對(duì)此進(jìn)行了比較，可以看出二者結(jié)果比較接近.

圖3和圖4是根據(jù)密度等價(jià)的原理，對(duì)混合結(jié)構(gòu)的異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)實(shí)施SIC技術(shù)的成功傳輸概率分析.為了說明問題，本文列出開放層(圖3)和封閉層(圖4)的用戶在使用SIC之后，在成功消除掉1、2、3、4個(gè)最大干擾的情況下對(duì)成功傳輸概率的影響.可以看出，對(duì)于計(jì)算SIC技術(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響，通過網(wǎng)絡(luò)等價(jià)計(jì)算的結(jié)果，與仿真的結(jié)果比較吻合，這說明了密度等價(jià)的方法在該類問題分析中的正確性.

圖3 等價(jià)密度用于開放訪問層的SIC分析 圖4 等價(jià)密度用于封閉訪問層的SIC分析

對(duì)于混合結(jié)構(gòu)的多層異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，在分析其SIR元分布的過程中，圖5給出了根據(jù)鏈路傳輸可靠性的要求對(duì)m層節(jié)點(diǎn)SIR閾值進(jìn)行設(shè)置，即速率控制的仿真.從圖中可以看出隨著對(duì)目標(biāo)可靠性v的提高，SIR閾值必須適當(dāng)下降才能保持相應(yīng)的可靠性.

圖5 多層混合網(wǎng)絡(luò)中根據(jù)干擾等價(jià)分析速率控制和傳輸可靠性的關(guān)系

5 結(jié) 論

本文利用隨機(jī)幾何，分析了多層PPP分布的異構(gòu)無線網(wǎng)絡(luò)中的隨機(jī)等價(jià)問題.隨著技術(shù)的發(fā)展，未來無線網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出更顯著的異構(gòu)化和多樣化，不利于網(wǎng)絡(luò)性能的分析.在干擾總量等價(jià)的意義下，本文提出的第一種等價(jià)分析了多層網(wǎng)絡(luò)在功率方面的等價(jià)性，將多層網(wǎng)絡(luò)等價(jià)為一個(gè)具有固定密度和特定發(fā)送功率的單層網(wǎng)絡(luò).第二種等價(jià)根據(jù)網(wǎng)絡(luò)不同層的功率標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算相應(yīng)的等價(jià)密度.在此基礎(chǔ)上，本文證明了針對(duì)不同層的網(wǎng)絡(luò)等價(jià)并不影響網(wǎng)絡(luò)性能.利用隨機(jī)等價(jià)的方法，將多層網(wǎng)絡(luò)簡化為單層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，可以將一些只適合于單層網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果擴(kuò)展到多層網(wǎng)絡(luò)，本文根據(jù)等價(jià)密度將SIC技術(shù)對(duì)多層網(wǎng)絡(luò)的影響，和鏈路速率控制進(jìn)行了分析.仿真結(jié)果證實(shí)了方法的可行性和準(zhǔn)確性.