高鑫雨,趙勝利

(曲阜師范大學統(tǒng)計學院，273165，山東省曲阜市)

0 研究背景與意義

自20世紀20年代英國統(tǒng)計學家Fisher R A在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中創(chuàng)立試驗設計以來，試驗設計已在各個領域得到廣泛的發(fā)展，其主要任務是研究最優(yōu)設計的構造以及對試驗數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析.著名統(tǒng)計學家Box G E P說過，假如有10%的工程師使用各種試驗設計方法，產(chǎn)品的質(zhì)量與數(shù)量都會得到很大提高[1].因子設計在各類試驗中應用相當廣泛，常用于研究各因子對試驗指標是否具有顯著影響.在實際問題中，影響試驗指標的因子往往有多個，而當涉及的因子數(shù)較多時，因子的水平組合數(shù)會迅速增加，受試驗條件的限制往往難以全部實施.正交設計則是安排多因子試驗的一種高效的試驗設計方法.方差分析是對因子進行顯著性檢驗的常用方法，且方差分析需要滿足3項基本假定：正態(tài)性、方差齊性和隨機性.正態(tài)性和隨機性在實際中容易得到滿足，由于試驗在實際操作時環(huán)境復雜，方差齊性通常得不到滿足，因此在不同的處理組合下會有不同的試驗誤差方差，在這種情況下，采用方差分析對因子進行顯著性檢驗會產(chǎn)生一定的誤差，且檢驗犯第一類錯誤的概率可能與顯著性水平產(chǎn)生偏離.

在實際試驗中經(jīng)常遇到試驗因子的水平數(shù)不相等的情況，這種情況下實施試驗需要用到混水平正交設計.混水平正交設計因為其靈活的水平組合在各種混水平試驗中得到非常廣泛的應用[1].

本文在不同處理組合下試驗誤差方差不等的情況下，考察混水平正交試驗因子的顯著性檢驗問題，從方差分析中F統(tǒng)計量的構造給出新的檢驗統(tǒng)計量，利用隨機模擬的方法獲得相應的臨界值，分別通過傳統(tǒng)的F檢驗與新檢驗方法檢驗各因子效應的顯著性，模擬結果表明在試驗誤差方差不等時F檢驗犯第一類錯誤的概率嚴重偏離顯著性水平，新的檢驗方法犯第一類錯誤的概率更精確.

1 基本概念與方法

1.1 混水平正交表的構造

對2水平正交表L8(27)通過并列法改造可以得到混水平正交表L8(4×24)，由于4水平因子的自由度為3，因此在2水平正交表中應該占3列，這3列的選法是：任取2列再加上其交互作用列，由此3列組成一個4水平列，4水平的對應法則如下：將任取的2列的4個數(shù)對對應4個水平，即：(1,1)→1,(1,2)→2,(2,1)→3,(2,2)→4.

此時4個數(shù)對各出現(xiàn)兩次，不失一般性，取第1、2兩列加上其交互作用列第3列組成一個4水平列，經(jīng)過上述改造，即可得到混水平正交表L8(4×24)[1].

表1 L8(4×24)正交表

對2水平正交表L16(215)通過上述相同的方法改造可以得到混水平正交表L16(4×212)，此時4個數(shù)對各出現(xiàn)四次，不失一般性，仍取第1、2兩列加上其交互作用列第3列組成一個4水平列，經(jīng)過上述改造，即可得到混水平正交表L16(4×212).

表2 L16(4×212)正交表

還可將2水平正交表L16(215)改造成混水平正交表L16(8×28)，由于8水平因子的自由度為7，因此在2水平正交表中應占7列，這7列的選法是：任取3列獨立列再加上其交互作用列，由此7列組成一個八水平列，八水平的對應法則如下：將任取的3列的8個數(shù)對對應8個水平，即：

(1,1,1)→1,(1,1,2)→2,(1,2,1)→3,(1,2,2)→4,

(2,1,1)→5,(2,1,2)→6,(2,2,1)→7,(2,2,2)→8.

此時8個數(shù)對各出現(xiàn)2次，不失一般性，取第1、2、4列加上其交互作用列第3、5、6、7列組成一個8水平列，經(jīng)過上述改造，即可得到混水平正交表L16(8×28).

表3 L16(8×28)正交表

1.2 重復正交試驗的方差分析

1．2．1 統(tǒng)計模型

考慮因子的水平數(shù)不等的等重復試驗，利用正交表進行試驗設計，設正交表為Ln(qp)，假設有n個處理組合，在同一處理組合下重復進行m次試驗.考慮如下線性統(tǒng)計模型

yij=ui+εij，i=1,…,n,j=1,…,m，

1．2．2 顯著性檢驗

為檢驗各因子的效應是否顯著，對如下假設作出檢驗

由于存在重復試驗，因此如果把每一處理組合下的數(shù)據(jù)結果看作一個組，則組內(nèi)的平方和反應的是純誤差，可用組內(nèi)平方和度量

fk=q-1,

由Cochran定理知，當原假設成立即因子的效應為0，并且各試驗誤差的方差相等時，S內(nèi)/σ2～χ2(n(m-1))，Sk/σ2～χ2(p-1)，且S內(nèi)與Sk相互獨立，故

當統(tǒng)計量Fk≥F1-α(p-1,n(m-1))時，認為在顯著性水平α下因子是顯著的，即認為該因子的效應不為0，其中F1-α是相應自由度的F分布的1-α分位數(shù)[1].

由于改造后的表仍是正交表，設計仍是正交設計，因此，平方和分解式與方差分析與改造前相同，并且可以用改造前的正交表計算混水平試驗的各列平方和，只需按表頭設計計算因子在改造前的正交表中所占列的平方和.

1.3 改進的顯著性檢驗

方差分析是對因子進行顯著性檢驗的常用方法，然而方差分析需要假定不同處理組合下具有相同的試驗誤差方差，由于試驗在實際操作時環(huán)境復雜，因此在不同的處理組合下會有不同的試驗誤差方差，在這種情況下，采用方差分析的方法對因子進行顯著性檢驗會產(chǎn)生一定的誤差，且檢驗犯第一類錯誤的概率可能與顯著性水平產(chǎn)生偏離，從而因子的顯著性檢驗容易發(fā)生誤判，為此，從F統(tǒng)計量的構造出發(fā)給出新的檢驗統(tǒng)計量，并采用隨機模擬的方法獲得相應的臨界值.

將F統(tǒng)計量變形得到

此時Fk的分子服從χ2(1)，接下來考慮Fk分母的分布.注意到

因此可以將Fk的分母變形為

由上述推導過程可知，在原假設成立的條件下，當不同處理組合下試驗誤差的方差不相等時，變形后的F統(tǒng)計量的分子服從χ2(1)，分母是以試驗誤差方差為權重的n個χ2(m-1)的加權和.

對于由2水平正交表改造的混水平正交試驗，可以采用改造前的正交表計算各列平方和，只需按表頭設計將因子在改造前的正交表中所占列的平方和相加，由卡方分布的可加性知，變形后的F統(tǒng)計量分子服從χ2(a)，其中卡方分布的自由度a取決于因子在改造前的正交表中所占列的列數(shù)，分母的分布保持不變.

顯然，此時的檢驗統(tǒng)計量不再服從F分布，如果仍用F1-α(p-1,n(m-1))作為顯著性檢驗的臨界值是不合理的，因子的顯著性也容易發(fā)生誤判，由于檢驗統(tǒng)計量的精確分布很難確定，因此采用隨機模擬的方法來確定檢驗的臨界值，隨機模擬過程如下：

步驟2 對于l=1,…,M;

步驟2.1 生成一個χ2(a)的隨機變量Ul;

步驟2.2 生成n個相互獨立的χ2(m-1)的隨機變量Vl1,…,Vln;

步驟2.3 計算檢驗統(tǒng)計量

步驟3 取顯著性水平α，計算檢驗統(tǒng)計量的分位數(shù)qα.

2 結果與分析

以3個由2水平正交表改造的混水平正交表為例，在不同處理組合的試驗誤差方差相等和不等兩種情況下，分別利用F檢驗和改進后的新檢驗方法對因子的顯著性檢驗進行模擬對比，隨機模擬過程重復10 000次.

2.1 試驗誤差方差相等時的模擬對比

假設試驗1需要考察5個因子A、B、C、D、E的顯著性，其中因子A是4水平因子，因子B、C、D、E是4個2水平因子，為此，選用混合水平正交表L8(4×24)進行試驗，置因子A在正交表的4水平列上，即由正交表L8(27)的第1，2，3列組成的列，再將因子B、C、D、E安排在剩余的2水平列上，表頭設計如表4.

表4 試驗1的表頭設計

假設不同處理組合下的試驗誤差具有相同的方差2，總平均為10，因子A與因子D是顯著因子，并且βA=0.4,βD=0.65,因子B、C、E均為不顯著因子，即因子B、C、E的效應為0，因此試驗1的統(tǒng)計模型為yij～N(10+0.4A+0.65D,2),其中A和D根據(jù)因子的水平組合取±1.假設在同一處理組合下重復進行若干次試驗，取顯著性水平為0.05，分別利用F檢驗與改進后的新檢驗方法來檢驗各因子效應的顯著性，得到拒絕原假設的百分比，如表5所示.

表5 試驗1在5%水平下拒絕原假設的百分比

假設試驗2需要考察因子A、B、C、D、E、F、G的顯著性，其中因子A是4水平因子，因子B、C、D、E、F、G是二水平因子，假定根據(jù)專業(yè)知識還需考察交互作用A×B與A×C,為此，選用混合水平正交表L16(4×212)進行試驗.

置因子A在正交表的4水平列上，即由正交表L16(215)的第1，2，3列組成的列，再將因子B安排在第4列，交互作用A×B安排在第5，6，7列，即由因子A在L16(215)所占的3列與B所在列的交互列組成的列，再將因子C安排在第8列，交互作用A×C安排在第9，10，11列，最后將因子D、E、F、G依次安排在剩余的列，綜上可得表頭設計如表6.

表6 試驗2的表頭設計

假設不同處理組合下的試驗誤差具有相同的方差2，總平均為10，因子A、B以及交互作用A×B與A×C顯著，并且各個顯著因子的效應分別為βA=0.3,βB=0.55,βA×B=0.35,βA×C=0.2,因子D、E、F、G均為不顯著因子,因此，試驗2的統(tǒng)計模型為yij～N(10+0.3A+0.55B+0.35AB+0.2AC,2),其中A、B、AB及AC根據(jù)因子的水平組合取±1，取顯著性水平0.05，分別利用F檢驗與改進后的新檢驗方法來檢驗各因子效應的顯著性，得到拒絕原假設的百分比，如表7所示.

表7 試驗2在5%水平下拒絕原假設的百分比

假設試驗3需要考察因子A、B、C、D、E、F、G的顯著性，其中因子A是8水平因子，因子B、C、D、E、F、G是2水平因子，假定試驗不需要考察交互作用，為此，選用混合水平正交表L16(8×28)進行試驗.置因子A在正交表的八水平列上，再將因子B、C、D、E、F、G依次安排在2～7列，可得表頭設計如表8.

表8 試驗3的表頭設計

假設不同處理組合下的試驗誤差具有相同的方差2，總平均為10，僅因子A是顯著因子，且因子A的效應為βA=0.2,因子B、C、D、E、F、G均為不顯著因子，即因子的效應為0，因此，試驗3的統(tǒng)計模型為yij～N(10+0.2A,2),其中A根據(jù)因子的水平組合取±1，取顯著性水平為0.05，分別利用F檢驗與改進后的檢驗方法來檢驗各因子效應的顯著性，得到拒絕原假設的百分比，如表9所示.

表9 試驗3在5%水平下拒絕原假設的百分比

由表5、表7、表9的模擬結果對比可知，當不同處理組合下的試驗誤差方差相等時，傳統(tǒng)的F檢驗與改進后的新檢驗方法犯第一類錯誤的概率均接近顯著性水平0.05，且隨著重復次數(shù)的增加犯第一類錯誤的概率相對穩(wěn)定.綜上，在試驗誤差方差相等的情況下，對混水平正交試驗因子的顯著性作檢驗，改進后的新檢驗方法與F檢驗均有較精準的誤差控制.

2.2 試驗誤差方差不相等時的模擬對比

假定試驗4與試驗1所考察的因子以及因子效應的大小相同，但試驗4在不同處理組合下的試驗誤差方差不相等，即試驗誤差方差與處理組合有關.假定試驗4的試驗誤差方差受因子B、C、D的影響，且其系數(shù)分別為0.5、0.55、0.4，則試驗4的統(tǒng)計模型為

yij～N(10+0.4A+0.65D,

exp(0.5B+0.55C+0.4D)),

取顯著性水平0.05，分別利用F檢驗與改進后的新檢驗方法來檢驗各因子效應的顯著性，得到拒絕原假設的百分比，模擬對比的結果如表10所示.

表10 試驗4在5%水平下拒絕原假設的百分比

假定試驗5與試驗2所考察的因子以及因子效應的大小相同，但試驗5在不同處理組合下的試驗誤差方差不相等，即試驗誤差方差與處理組合有關.假定試驗5的試驗誤差方差受因子A、C以及交互作用A×B的影響，且其系數(shù)分別為0.45、0.25、0.5，則試驗5的統(tǒng)計模型

yij～N(10+0.3A+0.55B+0.35AB+0.2AC,

exp(0.45A+0.25C+0.5AB)),

取顯著性水平0.05，分別利用F檢驗與改進后的新檢驗方法來檢驗各因子效應的顯著性，得到拒絕原假設的百分比，模擬對比的結果如表11所示.

表11 試驗5在5%水平下拒絕原假設的百分比

假定試驗6與試驗3所考察的因子以及因子效應的大小相同，但試驗6在不同處理組合下的試驗誤差方差不相等，即試驗誤差方差與處理組合有關.假定試驗6的試驗誤差方差僅受因子A的影響，且其系數(shù)為0.45，則試驗6的統(tǒng)計模型

yij～N(10+0.2A,exp(0.45A)),

則在顯著性水平0.05下，分別利用F檢驗與改進后的新檢驗方法來檢驗各因子效應的顯著性，得到拒絕原假設的百分比，模擬對比的結果如表12所示.

表12 試驗6在5%水平下拒絕原假設的百分比

由表10～表12的模擬結果對比可知，當不同處理組合下的試驗誤差方差不相等時，傳統(tǒng)的F檢驗犯第一類錯誤的概率嚴重偏離0.05，從而因子效應的顯著性容易發(fā)生誤判，改進后的新檢驗方法犯第一類錯誤的概率幾乎接近顯著性水平0.05，且隨著重復次數(shù)的增加犯第一類錯誤的概率更穩(wěn)定.綜上，在試驗誤差方差不等的情況下，對混水平正交試驗因子的顯著性作檢驗，改進后的新檢驗方法比F檢驗有更精準的誤差控制.

3 討 論

因子設計在各類試驗中應用相當廣泛，用于研究各因子對試驗指標是否具有顯著影響.在實際問題中，影響試驗指標的因子往往有多個，要考察它們就要用到多因子試驗設計，正交設計就是安排多因子試驗的一種高效的試驗設計方法.方差分析中的F檢驗是對因子進行顯著性檢驗的常用方法，然而方差分析需要假定不同處理組合下具有相同的試驗誤差方差，由于試驗在實際操作時環(huán)境復雜，因此在不同的處理組合下會有不同的試驗誤差方差，在這種情況下，采用方差分析對因子進行顯著性檢驗會產(chǎn)生一定的誤差.

為此，從方差分析中F統(tǒng)計量的構造給出新的檢驗統(tǒng)計量，通過隨機模擬的方法獲得相應的臨界值，以3個混水平正交表為例，在不同處理組合的試驗誤差方差相等和不等兩種情況下，分別利用F檢驗和改進后的新檢驗方法對因子的顯著性檢驗進行模擬對比，得到結論如下：

當不同處理組合下的試驗誤差方差相等時，考察等重復的混水平正交試驗的因子顯著性檢驗問題，傳統(tǒng)的F檢驗與改進后的新檢驗方法犯第一類錯誤的概率均接近顯著性水平0.05，且隨著重復次數(shù)的增加犯第一類錯誤的概率相對穩(wěn)定，改進后的新檢驗方法與F檢驗均有較精準的誤差控制.當不同處理組合下的試驗誤差方差不相等時，傳統(tǒng)的F檢驗犯第一類錯誤的概率嚴重偏離0.05，從而因子效應的顯著性容易發(fā)生誤判，改進后的新檢驗方法犯第一類錯誤的概率幾乎接近顯著性水平0.05，且隨著重復次數(shù)的增加犯第一類錯誤的概率更穩(wěn)定，因此，改進后的新檢驗方法比F檢驗能更精準的控制檢驗誤差.

綜上可知，F(xiàn)檢驗對方差齊性的偏離較為敏感，在考察等重復的混水平正交試驗因子的顯著性檢驗問題時，方差齊性檢驗十分必要，若不同處理組合下的試驗誤差方差不全相等，則應采用提出的新檢驗方法判斷因子效應的顯著性，否則會產(chǎn)生一定誤差.