陳嘉琦，倉詩建，薛 薇

(1.天津科技大學電子信息與自動化學院，天津300222；2.天津科技大學藝術(shù)設(shè)計學院，天津300222)

金融系統(tǒng)是關(guān)于資金集中與分配的一個體系，是國家經(jīng)濟運行的核心部分，維護好金融系統(tǒng)的穩(wěn)定運行和對金融系統(tǒng)紊亂進行有效地預測和控制對國家經(jīng)濟宏觀調(diào)控非常重要，同樣也是眾多學者研究的熱點.金融系統(tǒng)中投資需求與利率等因素[1]之間的相互影響，導致系統(tǒng)狀態(tài)變化呈現(xiàn)復雜的動態(tài)特性.原本穩(wěn)定的金融市場可能因某一個或幾個因素的微小變化而出現(xiàn)停滯、混亂情況，甚至出現(xiàn)金融危機[2]，這種現(xiàn)象是金融系統(tǒng)非線性動態(tài)特性的典型反應(yīng).

揭示金融系統(tǒng)的發(fā)展規(guī)律，應(yīng)當深入研究系統(tǒng)內(nèi)部復雜結(jié)構(gòu).已有很多學者提出并研究了一些非線性金融模型.Kopel[3]研究了古諾雙寡頭模型的復雜動力學行為，Wu等[4]設(shè)計了關(guān)于古諾雙寡頭模型的控制方法，Lorenz等[5]分析了 Goodwins非線性加速模型的吸引子和吸引盆等.其中，研究較多的金融模型是一種非線性金融模型[6-7]，數(shù)學表達式為

式中：參數(shù)a,b,c ∈ R+，分別代表儲蓄量、單位投資成本、商品需求彈性；狀態(tài)變量 x,y,z ∈ R ，分別代表利率、投資需求、價格指數(shù).由系統(tǒng)(1)可知，投資需求與儲蓄量的大小關(guān)系，以及物價的結(jié)構(gòu)調(diào)整都影響著x的變化，y的變化與利率和單位投資成本成反比，與投資率成正比；而z的變化既受通貨膨脹率的影響，又受商品市場供求矛盾的調(diào)控.

針對系統(tǒng)(1)及其衍生的金融混沌系統(tǒng)，研究人員研究了系統(tǒng)控制的方法和分岔[7-13]，以及將系統(tǒng)(1)擴至 4D超混沌系統(tǒng)并研究系統(tǒng)中存在的復雜特性[14-16].Son等[8]考慮了時滯反饋項分別對不同變量的影響和對全部變量的影響.Gao等[12]討論了時滯反饋系統(tǒng) Hopf分岔的條件.Zheng等[14]利用一個異結(jié)構(gòu)的4D超混沌系統(tǒng)對4D超混沌金融系統(tǒng)進行了投影同步研究.Zhang等[15]分析了4D超混沌金融系統(tǒng)的有界性.但是，大部分研究都只針對系統(tǒng)本身作理論分析和仿真驗證，卻很少結(jié)合實際情況.

本文將非線性金融系統(tǒng)分解成Kolmogorov系統(tǒng)形式，根據(jù)不同的力矩組合，從力學角度對該系統(tǒng)進行能量分析，并結(jié)合金融市場分析解釋系統(tǒng)中狀態(tài)變量和參數(shù)間的相互影響.為抑制金融系統(tǒng)的混沌行為，將有限時間理論和 LaSalle不變集定理進行結(jié)合，提出一種新的混沌控制方法.在理論分析的基礎(chǔ)上借助數(shù)值仿真，將混沌狀態(tài)的金融系統(tǒng)有效控制到穩(wěn)定狀態(tài)，從而達到對金融系統(tǒng)混沌行為的有效控制.

1 系統(tǒng)平衡點分析及混沌行為

當參數(shù)(a,b,c)滿足 c -b - abc≤ 0 時，系統(tǒng)(1)存在單一平衡點 S1= ( 0,1/b, 0)；而當 c -b - abc＞0 時，系統(tǒng)(1)則存在 3個不同的平衡點 S1= ( 0,1/b, 0)，當參數(shù)(a,b,c)取不同值時，系統(tǒng)(1)會呈現(xiàn)不同的運動狀態(tài)，例如周期運動、混沌等.特別當系統(tǒng)(1)選擇初始條件 I0= ( 3,1,5)，參數(shù)集(a,b,c) = ( 1,0.2,1.1)時，可得到系統(tǒng)的3個Lyapunov指數(shù)值為 ( L E1, L E2, L E3)=(0.067,0,-0.628).由于 LE1＞0，這表明系統(tǒng)(1)處于混沌狀態(tài)，相軌跡如圖1所示.

圖1 參數(shù)集(a,b,c ) = (1 ,0.2,1.1)時系統(tǒng)(1)的相圖Fig.1 Phase diagram of system(1)parameter set (a,b,c)=(1,0.2,1.1)

2 系統(tǒng)力學分析

系統(tǒng)(1)的混沌行為已得到深入研究，作為具有實際意義的非線性系統(tǒng)，每個狀態(tài)變量和參數(shù)都有其對應(yīng)的實際物理意義.分析它們的變化對系統(tǒng)本身混沌現(xiàn)象的影響是研究整個系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的重要基礎(chǔ).將系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)換成Kolmogorov型系統(tǒng)后，其狀態(tài)變量和參數(shù)仍具有各自對應(yīng)的原始物理意義.

通常Kolmogorov型系統(tǒng)形式為

式中：X ={x,y,z}T表示狀態(tài)變量，{·,·}表示李代數(shù)結(jié)構(gòu)，力矩{X,H}表示保守力矩.正對角矩陣ΛX表示耗散力矩，f表示外力矩.

將系統(tǒng)改寫成Kolmogorov系統(tǒng)的形式為

其中：X ={x,y,z}T，Λ = d iag{a,b,c}， f ={0,1,0}T.保守項{X,H}包括慣性力矩 K和內(nèi)力矩 U，即H = K + U.根據(jù)式(3)不難得到系統(tǒng)的 Hamilton能量函數(shù)為

通過研究不同力矩組合對系統(tǒng)動力學特性的影響，進而探索系統(tǒng)(1)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的機制.

2.1 系統(tǒng)僅包含保守力矩

當系統(tǒng)(1)僅包含慣性力矩(動能)和內(nèi)力矩(勢能)時，有= { X ,K}+ { X ,U} = { X ,H}，對應(yīng)的方程為

圖2 初始值為 I0時，系統(tǒng)(5)狀態(tài)變量 x、y、z及Hamilton能量H的時序圖Fig.2 Time sequence diagram of the state variables x，y，z nd Hamilton energy H of the system(5) when the initial value is I0

2.2 系統(tǒng)包含保守力矩和耗散力矩

選取系統(tǒng)的 Hamilton能量函數(shù)H作為 Lyapunov函數(shù)，那么關(guān)于時間的導數(shù)為

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，系統(tǒng)(6)是穩(wěn)定的，而且所有狀態(tài)變量漸近收斂到 0.另一方面系統(tǒng)(6)的散度為

由于參數(shù)(a,b,c)均為正實數(shù)，當t→+∞時，由式(8)可知，系統(tǒng)(6)相空間的體積趨近于0.系統(tǒng)(6)的利率x，投資需求y和價格指數(shù)z都趨近 0.系統(tǒng)(6)的相軌跡、狀態(tài)變量和 Hamilton能量變化規(guī)律如圖3所示.此時，金融系統(tǒng)陷入完全停滯僵化的狀態(tài)，經(jīng)濟市場缺少活力.

圖3 系統(tǒng)(6)的動態(tài)特性Fig.3 Dynamic characteristics of the system(6)

2.3 系統(tǒng)包含保守力矩和外力矩

此時，外力矩 f中的投資率 1相當于一個外部強激勵，f的存在極大地提升了經(jīng)濟市場的活力，但狀態(tài)變量的運動變得沒有規(guī)律，系統(tǒng)進入混沌狀態(tài).其Hamilton能量變化H˙=y，投資需求y由資本邊際效率(預期增加一個單位投資可得到的利潤率)和利率的對比關(guān)系決定.能量2/2 H=y 的吸收和釋放隨投資需求y的不規(guī)則運動而交錯增減，是有限區(qū)域內(nèi)的混沌.系統(tǒng)的相軌跡和能量變化規(guī)律如圖4所示.

圖4 系統(tǒng)(9)的動態(tài)特性Fig.4 Dynamic characteristics of the system(9)

金融系統(tǒng)受到擾動，系統(tǒng)中某些因素不按規(guī)則運行，但始終保持在有限的范圍內(nèi)，不會發(fā)散出去導致金融系統(tǒng)的崩潰.當市場經(jīng)濟發(fā)展迅速，貨幣流通量大時，國家為了防止通貨膨脹的出現(xiàn)，可以通過提升利率x，匯集市場中流動資金的同時控制貸款總額，從而降低投資需求y，加快價格指數(shù)z的變化，同時二者的變化反作用于利率x，使其降低，從而三者間無規(guī)則往復變化，互相影響.

2.4 系統(tǒng)包含所有力矩

圖5 系統(tǒng)(1)處于混沌狀態(tài)時的能量Fig.5 Energy of the system(1)in chaotic state

比較 2.3節(jié)和 2.4節(jié)，這兩種情況都會產(chǎn)生混沌行為，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌振蕩的唯一因素是外力矩f中的投資率 1.在 2.4節(jié)中，混沌的產(chǎn)生是外力矩 f與耗散力矩ΛX的相互作用的結(jié)果，在耗散力矩ΛX的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)變量的振蕩幅度減弱，系統(tǒng)的混沌行為得到一定程度的控制.2.4節(jié)比 2.3節(jié)加入了儲蓄量a、單位投資成本b和商品需求彈性c.儲蓄量a的大小直接影響利率x的變化，儲蓄量a偏高時，央行會降低利率x，引導儲蓄分流；當儲蓄量a偏低時，央行會提高利率x，從市場匯集資金增加儲備，二者呈反比關(guān)系.單位投資成本b的增加會降低投資需求y，單位投資成本b的降低會促使投資需求y的增多，呈反比關(guān)系.商品需求彈性c表示一定時期內(nèi)商品需求量的變化對該商品價格的相對變動的反應(yīng)程度，價格變動引起需求變動變化大，商品富有彈性(非必需品)；價格變動引起需求變動變化小或無變化，商品缺乏彈性(必需品)，呈反比關(guān)系.所以通過調(diào)節(jié)儲蓄量a、單位投資成本b和商品需求彈性c的值可以對利率x、投資需求y和價格指數(shù)z的變化規(guī)律進行控制，從而有效控制金融系統(tǒng)的發(fā)展趨勢.

3 基于有限時間LaSalle不變集的混沌控制

3.1 有限時間穩(wěn)定理論

考慮非線性系統(tǒng)[17]

式中：x ∈ Rn為狀態(tài)變量； f:D →Rn為定義域D到n維空間 Rn中的一個連續(xù)非線性函數(shù).

定義 1[18]當且僅當系統(tǒng)(10)穩(wěn)定，且在有限時間內(nèi)收斂時，其平衡點x=0在連續(xù)有限時間內(nèi)穩(wěn)定，有限時間收斂可表示存在一個連續(xù)函數(shù)T(x):D0{0} → ( 0,+ ∞)使 ? x0∈ D0? D.系 統(tǒng)(10)的解記作x(t,x0).

(1)當 t∈ [ 0,T(x0)]時 ，有 x(t,x0) ∈ D0{0}和x(t,x0) = 0 ；(2) 當 t＞ T(x0)時，有 x (t,x0) = 0.

當D=D0=Rn，系統(tǒng)的狀態(tài)變量總能在有限時間內(nèi)穩(wěn)定到平衡點.

定理 1[19]設(shè)存在一個連續(xù)正定函數(shù)V(t)滿足微分不等式

這里m和ξ為常數(shù)，且m＞0，0＜ξ＜1.對于任意初始時間t0，V(t)都滿足不等式

式中

文獻[20]已對定理1進行了證明，此處不再贅述.

3.2 LaSalle不變集理論

考慮非線性系統(tǒng)

式中狀態(tài)變量 X ∈Rn，f :D →Rn為定義域D到n維空間 Rn中的一個連續(xù)可微函數(shù)，滿足 Lipschitz條件.設(shè)系統(tǒng)至少有一個平衡點 X*，且不知道該平衡點的位置.引入如下概念：

定義2f(x)在區(qū)域上滿足Lipschitz條件時，應(yīng)存在一個常數(shù)l使得定義域D中任意兩個不同的實數(shù)x1和x2滿足不等式.若f(x)在區(qū)域上D滿足 Lipschitz條件，必定存在f(x)在區(qū)域D上滿足一致連續(xù).

定義 3設(shè)x(t)為系統(tǒng)(14)的解，存在時間t→+∞，使x(t) = Q ，則Q為x(t)的一個正向極限點.

定義 4設(shè)存在一個域 M ?Rn，若對任意初始條件x(0)=x0∈M ，系統(tǒng)(14)的解 x (t) = Φ(t,x0)滿足x(t)∈M ，?t≥0，則M 為系統(tǒng)(14)的正向不變集，可以包含系統(tǒng)的1個或多個平衡點，也可以是狀態(tài)空間的一個子集合[21].

定理 2(LaSalle不變集定理[22])設(shè)Ω是一個有界閉集合，從Ω集合內(nèi)出發(fā)的系統(tǒng)(14)的解x(t)?Ω，若?V(x):Ω→R，具有一階連續(xù)偏導，使dV/dt≤0，又設(shè) A = {x|dV/dt= 0,x ∈ Ω}，M?A是最大不變集，則當t→+∞ 有x(t)→M ，若M={0}，則系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定.

3.3 金融系統(tǒng)有限時間LaSalle不變集控制

將系統(tǒng)(1)從平衡點 S1= ( 0,1/b, 0)轉(zhuǎn)移到平衡點S0= ( 0,0,0)，并添加控制器u1,2得到受控金融系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

控制器u1,2的設(shè)計見式(16)，因金融系統(tǒng)中的利率x的變化受投資需求y以及價格指數(shù)z的影響，使得系統(tǒng)可能出現(xiàn)混沌行為，控制器的設(shè)計從削除影響利率因素的角度出發(fā)，利用控制器u1消除系統(tǒng)中的物價波動以及投資需求與利率的相互影響，并通過控制器u2增強利率的自身負相關(guān)性，以達到自身穩(wěn)定的目的.

其中參數(shù)r＞0，指數(shù)E為真分數(shù)，p為狀態(tài)變量.將式(16)代入狀態(tài)方程(15)的第一項得到

因為0＜E＜1，所以 0 ＜ ( E +1)/2＜1.根據(jù)定理 1可知，系統(tǒng)(17)能在有限時間 T1=/ (m1( 1 -ξ))內(nèi)到達x=0處，其中ξ= ( E + 1 )/2.當 x=0時，=0且= 0 ，系統(tǒng)的狀態(tài)變量x漸近穩(wěn)定到x=0處.再將x= 0 代入系統(tǒng)(15)的后兩項，并構(gòu)造 Lyapunov函數(shù)V2= ( y2+ z2)/2，對其求導得到

再令 g (x) = - a x - xE，則必定存在正實數(shù)l使，所以g(x)滿足 Lipschitz條件，式(17)變換為

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V3

式中L為正實數(shù)，且L＞l，對V3沿著式的軌跡求時間微分，得到

3.4 數(shù)值仿真

將控制器u1,2以及p加到系統(tǒng)(15)的第一項上，那么受控金融系統(tǒng)可表示為

當(a,b,c) = ( 1,0.2,1.1)、初始條件為I0時，系統(tǒng)(1)處于混沌狀態(tài).現(xiàn)保持系統(tǒng)(1)的參數(shù)和初始條件不變，采用四階 Runge-Kutta法求解方程，設(shè)步長h= 0.001，狀態(tài)變量 p0= 1 ，并選取控制參數(shù)E= 1 /2、r=1，對系統(tǒng)(1)的混沌行為進行控制.在第 60秒時加入控制器，狀態(tài)變量x在控制器作用下迅速穩(wěn)定，狀態(tài)變量y、z隨后很快全部穩(wěn)定到平衡點，系統(tǒng)(1)的混沌振蕩得到控制.圖6給出受控系統(tǒng)(23)的3個狀態(tài)變量的時間響應(yīng)曲線，由此可以看出該控制方法可以將金融混沌系統(tǒng)的 3個狀態(tài)變量從混沌狀態(tài)控制到穩(wěn)定狀態(tài).且狀態(tài)變量的超調(diào)量幾乎不存在，說明該控制方法的魯棒性較強.

圖6 受控系統(tǒng)(23)的時間響應(yīng)曲線Fig.6 Time response curve of the controlled system(23)

注意，這里的控制器u1,2只作用于系統(tǒng)的x˙，也就是對利率變化的調(diào)節(jié).在對原系統(tǒng)施加控制后，振蕩的x在有限時間T1內(nèi)被控制到穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)定后的x可保證狀態(tài)變量y和z的振蕩隨后同樣得到有效控制.若要用控制器對y˙進行控制，只需先將y在有限時間內(nèi)控制到穩(wěn)定狀態(tài)，從而帶動x和z的收斂振蕩，最終系統(tǒng)達到穩(wěn)定平衡.同樣的設(shè)計思路也適用于對z˙進行控制.

4 結(jié) 語

本文從兩個方面研究了一種非線性金融系統(tǒng).其一，從力學角度，將系統(tǒng)分解成 Kolmogorov系統(tǒng)形式，分析了不同力矩單獨和共同作用于該金融系統(tǒng)時的結(jié)果，剖析了該金融系統(tǒng)產(chǎn)生混沌行為的原因，并結(jié)合金融市場解釋了儲蓄量和單位投資成本等因素間的作用關(guān)系.其二，將有限時間理論和 LaSalle不變集定理結(jié)合，設(shè)計了一種自適應(yīng)控制器.該控制器結(jié)構(gòu)簡單、響應(yīng)速度快且魯棒性較強，只對利率的變化的調(diào)節(jié)就能將混沌的金融系統(tǒng)控制到穩(wěn)定狀態(tài)，為該金融系統(tǒng)的動力學研究提供了新的思路和參考.