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        電磁感應雙桿問題加速度的一般性討論

        2021-08-25 03:59:34吳曉松
        物理通報 2021年9期
        關鍵詞:金屬棒安培力恒定

        吳曉松

        (重慶涪陵第五中學校 重慶 408000)

        1 問題的提出

        雙桿問題作為電磁感應中一個常見的物理模型[1],涉及到電磁感應、安培力、牛頓運動定律和動量定理、動量守恒定律及能量守恒定律等,一直是教師在教學過程中不能回避的問題.在各種教學參考資料中經(jīng)常能見到有關這種模型問題的討論,尤其是雙桿最終加速度的問題對于學生來說受力分析仍是一大難點.平時我們遇到的練習題中常常是導軌光滑,寬度一定,磁感強度處處分布均勻,且不受到外力的情況.比如下面這個題.

        【例1】如圖1所示,兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內(nèi),兩導軌間的距離為L.導軌上面橫放著兩根導體棒ab和cd,構成矩形回路,如圖所示.

        圖1 例1題圖

        原題解析:ab棒向cd棒運動時,兩棒和導軌構成的回路面積變小,磁通量發(fā)生變化,于是產(chǎn)生感應電流.a(chǎn)b棒受到與運動方向相反的安培力作用做減速運動,cd棒則在安培力作用下做加速運動.在ab棒的速度大于cd棒的速度時,回路總有感應電流,ab棒繼續(xù)減速,cd棒繼續(xù)加速.兩棒速度達到相同后,回路面積保持不變,磁通量不變化,不產(chǎn)生感應電流,最終兩棒以相同的速度v做勻速運動.兩棒加速度都為零,但是在穩(wěn)定狀態(tài)之前,兩棒是有加速度的.

        (1)

        此時回路中的感應電動勢和感應電流分別為

        (2)

        (3)

        此時cd棒所受的安培力

        F=IBL

        (4)

        所以cd棒的加速度為

        (5)

        由以上各式,可得

        (6)

        做完該題后,班上一學生向老師問道,如果兩棒長度不等,導軌不光滑,情況又如何呢? 確實解完該題后都留給教師和學生一種意猶未盡的感覺,因此筆者在教學之余將這一模型一般化后(兩桿不等長,導軌粗糙,磁場分布不同且受到外力)進行了再討論.

        2 模型的建立及求解

        【例2】如圖2所示[2],有一足夠長的水平放置的平行金屬導軌間距為l1,其間有勻強磁場,磁感應強度為B1;與之相連的有間距為l2的足夠長的水平放置的平行金屬導軌,導軌間有勻強磁場,磁感應強度為B2.將長為l1,質(zhì)量為m1,電阻為R1的金屬棒b放置在離連接處足夠遠的位置,金屬棒b與導軌的摩擦因數(shù)為μ1;將長為l2,質(zhì)量為m2,電阻為R2的金屬棒a放置在離連接處足夠遠的另一位置,金屬棒a與導軌的摩擦因數(shù)為μ2.導軌與金屬棒a,b構成閉合回路,其中導軌的電阻可忽略不計.當恒力F垂直作用在金屬棒b上,水平拉動金屬棒.求兩金屬棒最終的加速度之比.

        圖2 例2題圖

        解:研究b棒

        (7)

        研究a棒

        (8)

        研究閉合回路

        (9)

        由式(7)、(8)、(9)可得

        (10)

        所以式(10)簡化為

        (11)

        (12)

        由式(12)可以看出I與R1,R2無關,即經(jīng)過足夠長時間后電流為一定值.下面計算經(jīng)過足夠長時間后兩金屬棒各自的加速度及其比值,有

        (13)

        (14)

        通分后

        (15)

        可見兩金屬棒的加速度各自趨于一個穩(wěn)定值,且

        3 對加速度比值的再分析

        通過上面的求解結果可知,在恒定拉力作用下兩金屬棒最終加速度的比值與摩擦因數(shù)和電阻都沒有關系,只與各自的磁感強度和寬度有關,無疑這是一個非常簡潔而美妙的結果.實際上這個結果的確具有合理性,對兩金屬棒來說水平方向受到不為零的合力時,系統(tǒng)必然具有加速度而且最終達到穩(wěn)定狀態(tài)時(比如勻加速)電流I必須恒定或者說電流的變化率為零.因為

        所以

        或者

        特別地,若B1=B2,則

        若l1=l2,則

        中學物理資料上常常是其中的一根導體棒受恒定的外力且

        l1=l2B1=B2

        這就得到我們所熟悉的結論

        如果兩桿都不受到外力,最終穩(wěn)定后兩桿的加速度均為零,這就是原題的情景.當然如果其中一根桿受到恒定的外力,最終穩(wěn)定后兩桿的加速度之比就是一個簡潔的結果

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