孫向洋，燕 群，郭翔鷹

(1.中國(guó)飛機(jī)強(qiáng)度研究所，航空聲學(xué)與動(dòng)強(qiáng)度航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710065;2.北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，機(jī)械結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)與強(qiáng)度北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124)

0 引 言

聲子晶體是指由兩種或者兩種以上不同力學(xué)性能的材料構(gòu)成的周期結(jié)構(gòu)功能材料，由于這種結(jié)構(gòu)或者材料的周期性，某些特定范圍頻率的彈性波無(wú)法在其中傳播，該頻段范圍稱(chēng)為聲子帶隙[1-2]。聲子帶隙產(chǎn)生的機(jī)理有兩種：布拉格散射機(jī)理和局域共振機(jī)理。布拉格散射型聲子晶體[3]，特點(diǎn)為彈性波在該周期結(jié)構(gòu)內(nèi)部的傳播出現(xiàn)相互干涉，導(dǎo)致其傳播受阻，表現(xiàn)出無(wú)法傳播的現(xiàn)象。局域共振型聲子晶體[4]，特點(diǎn)為在特定頻率的彈性波激勵(lì)下，各個(gè)散射體產(chǎn)生共振，并與彈性波長(zhǎng)波行波相互作用，從而抑制彈性波的傳播。

自從2000年劉正猷教授提出局域共振聲子晶體概念以來(lái)，有關(guān)局域共振聲子晶體的研究日益增多[5-8]，局域共振聲子晶體產(chǎn)生帶隙的物理機(jī)理不同于布拉格散射，它是由局域共振單元的強(qiáng)共振特性決定的，因此具有顯著不同的帶隙特點(diǎn)，帶隙特性的影響因素也有所不同。局域共振型聲子晶體用較小的尺寸獲得較低頻帶隙[9]，這一特點(diǎn)為聲子晶體在低頻減振降噪方面的應(yīng)用提供了新的思路，具有重要的理論價(jià)值和應(yīng)用前景，例如用于隔振減振、隔聲降噪、制作聲波濾波器、隔振器和波導(dǎo)裝置等[10-15]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者也對(duì)局域共振聲子晶體結(jié)構(gòu)進(jìn)行了大量研究，主要集中在研究彈性波在聲子晶體結(jié)構(gòu)中的傳播特性[16]。例如，Goffaux等[17]用數(shù)值方法研究了彈性波在一種局域共振聲子晶體(將重圓柱嵌入軟聚合物當(dāng)中，并將它們用剛性網(wǎng)格相連接)中的傳播。Gu等[18]研究了二維聲子晶體中彈性波的共振模式及對(duì)彈性波傳播的影響。Yao等[19]采用有限元法研究了在環(huán)氧樹(shù)脂基板兩側(cè)布置軟橡膠形成的局域共振聲子晶體條形波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中蘭姆波的能帶結(jié)構(gòu)。Wang等[20]提出了一種雙分量局部共振結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)帶隙是由與散射單元相關(guān)的共振頻率引起的，這個(gè)頻率范圍比通常的布拉格帶隙要低近兩個(gè)數(shù)量級(jí)，而且局部共振頻率不僅取決于幾何形狀，還取決于散射體與基體的密度比。Hsu等[21]應(yīng)用Mindlin理論，利用平面波展開(kāi)公式研究了二維二元局部共振薄聲子平板中的蘭姆波帶隙。

對(duì)于局域共振聲子晶體結(jié)構(gòu)，能帶結(jié)構(gòu)的求解是其重要的研究?jī)?nèi)容之一，目前聲子晶體帶隙特性計(jì)算方法主要有傳遞矩陣法、平面波展開(kāi)法、時(shí)域有限差分方法、多重散射法、有限元法等[22-23]。這些方法各有利弊，傳遞矩陣法可以計(jì)算一維聲子晶體解析的色散關(guān)系和傳輸系數(shù)，但是不能直接處理二維和三維聲子晶體[1]；平面波展開(kāi)法思路清晰，可以適用二維和三維聲子晶體，但是當(dāng)組元材料參數(shù)差異較大時(shí)，收斂緩慢[24]；時(shí)域有限差分方法可計(jì)算較為復(fù)雜的模型，并直接進(jìn)行時(shí)域計(jì)算，但是存在穩(wěn)定性問(wèn)題[25]；多重散射法理論推導(dǎo)較為復(fù)雜，且只能用于簡(jiǎn)單的圓柱及球形散射體單元結(jié)構(gòu)的聲子晶體[26]；有限元法適用范圍廣泛，不但能直接計(jì)算聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)[27]，也可快速計(jì)算其傳遞損失。

綜上所述，本文采用有限元法對(duì)單面柱局域共振聲子晶體進(jìn)行帶隙特性分析，研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)于該類(lèi)型聲子晶體的影響情況。并且在經(jīng)典單面柱聲子晶體的基礎(chǔ)上，組合了兩種新型的三組元單面柱聲子晶體結(jié)構(gòu)Ⅰ和結(jié)構(gòu)Ⅱ，并對(duì)其帶隙特性進(jìn)行分析。

1 模型介紹

由于晶體的周期性，對(duì)于理想的無(wú)限周期的聲子晶體只需要研究一個(gè)單胞即可[28]。取文獻(xiàn)[28]中的單面柱聲子晶體單胞模型作為經(jīng)典單面柱聲子晶體模型，結(jié)構(gòu)Ⅰ和結(jié)構(gòu)Ⅱ均為在此基礎(chǔ)上的改進(jìn)結(jié)構(gòu)。單胞的基體底面邊長(zhǎng)為a，基體厚度e，散射體高度h，散射體半徑r，基體所用材料為橡膠，散射體所用材料為鋼，材料參數(shù)如表1所示。

表1 材料參數(shù)

結(jié)構(gòu)Ⅰ和結(jié)構(gòu)Ⅱ如圖2和圖3所示，結(jié)構(gòu)Ⅰ是將經(jīng)典的單面柱聲子晶體與含包覆層聲子晶體相結(jié)合，將散射體嵌入基板中，同時(shí)在散射體與基板中間加入一層包覆層；結(jié)構(gòu)Ⅱ是直接在散射體與基板中間添加一種新的材料進(jìn)行粘接組成。結(jié)構(gòu)Ⅰ基體底面邊長(zhǎng)為a，基體厚度e，散射體高度h，散射體半徑r，基體所用材料為鋁，散射體所用材料為鋼，包覆層圓環(huán)的厚度為1 mm，材料為橡膠。結(jié)構(gòu)Ⅱ基體底面邊長(zhǎng)為a，基體厚度為e，高度h1=h2=5 mm，材料A為鋼，材料B為橡膠，基板仍然為鋁。各材料參數(shù)如表1所示。

圖1 聲子晶體單胞模型

圖2 結(jié)構(gòu)Ⅰ

圖3 結(jié)構(gòu)Ⅱ

2 有限元簡(jiǎn)介

采用商業(yè)有限元分析軟件 COMSOL Multiphysics 求解彈性波在聲子晶體中的波動(dòng)方程。由于晶體的周期性，依照Bloch定理，對(duì)于理想的無(wú)限周期的聲子晶體只需要研究一個(gè)單胞即可。進(jìn)行網(wǎng)格劃分后，根據(jù)單胞的離散特征方程形式，由結(jié)構(gòu)的周期性可得：

(1)

式中：格矢R的格點(diǎn)為正格矢；矢量G的格點(diǎn)為倒格矢，e為基體厚度。

根據(jù)Bloch定理，在周期場(chǎng)中的本征函數(shù)形式為：

(2)

為了得到聲子晶體的能帶曲線，對(duì)于正方晶格，只需要波矢k在不可約Brillouin區(qū)的邊界遍歷取值即可。

3 結(jié)果與討論

3.1 單面柱局域共振聲子晶體板低頻帶隙特性分析

對(duì)于經(jīng)典的單面柱局域共振聲子晶體進(jìn)行帶隙特性分析，在已有的文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，已經(jīng)明確了材料參數(shù)對(duì)于其帶隙的影響效果[28]，本文進(jìn)一步分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)于該聲子晶體的影響情況。

3.1.1 與現(xiàn)有文獻(xiàn)結(jié)果的對(duì)比驗(yàn)證

首先將本節(jié)的計(jì)算結(jié)果與已有文獻(xiàn)[28]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證本文計(jì)算方法的正確性。聲子晶體單胞的基體底面邊長(zhǎng)a=10 mm，基體厚度e=2 mm，散射體高度h=10 mm，散射體半徑r=4.5 mm，基體所用材料為橡膠，散射體所用材料為鋼。

計(jì)算結(jié)果如圖4所示，從計(jì)算結(jié)果可以得出：本節(jié)計(jì)算的結(jié)果與文獻(xiàn)中的結(jié)果具有高度的一致性。據(jù)此可得，本章模型計(jì)算方法是正確合理的。

圖4 能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算結(jié)果對(duì)比

3.1.2 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)單面柱聲子晶體的影響

材料參數(shù)對(duì)于單面柱聲子晶體帶隙特性的研究已經(jīng)明確，材料的密度和楊氏模量都會(huì)對(duì)帶隙產(chǎn)生明顯的影響[28]。但是結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)于該聲子晶體的帶隙影響情況還未明確。因此，下面針對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)單面柱聲子晶體的影響情況進(jìn)行研究。

首先研究散射體高度對(duì)帶隙的影響情況，取聲子晶體單胞的基體底面邊長(zhǎng)a=10 mm，基體厚度e=2 mm，散射體高度h分別從1～15 mm，步長(zhǎng)為1 mm的變化，散射體半徑r=4.5 mm，基體材料為橡膠，散射體材料為鋼。計(jì)算出該聲子晶體的第一完全帶隙隨著散射體高度的變化情況如圖5所示。

圖5 第一完全帶隙與散射體高度的關(guān)系

從圖5計(jì)算的結(jié)果得出，隨著散射體高度的增加，單面柱聲子晶體的第一完全帶隙的起始頻率逐漸降低。但是降低的幅度逐漸減小，截止頻率變化不大，帶寬逐漸增大。為了達(dá)到低頻寬帶的目的，可取散射體的高度為10 mm。

進(jìn)一步研究基板的厚度對(duì)帶隙的影響情況，同樣取聲子晶體單胞的基體底面邊長(zhǎng)為a=10 mm，基體厚度e分別從1～10 mm，步長(zhǎng)為1 mm取值，散射體高度h=10 mm，散射體半徑r=4.5 mm，基體所用材料為橡膠，散射體所用材料為鋼。計(jì)算出該聲子晶體的第一完全帶隙隨著基板厚度的變化情況如圖6所示。

圖6 第一完全帶隙與散射體基板厚度的關(guān)系

從圖6中的計(jì)算結(jié)果可以得出，隨著基板厚度的增大，單面柱聲子晶體的起始頻率逐漸升高，截止頻率先增大后減小。由于在基板厚度取1 mm附近的規(guī)律與其他區(qū)域不同，所以進(jìn)一步分析基板厚度取0.1～1 mm，步長(zhǎng)為0.1 mm的變化，計(jì)算結(jié)果如圖7所示。計(jì)算結(jié)果得到，在基板厚度處于2 mm以?xún)?nèi)時(shí)，隨著基板厚度的增加，聲子晶體的第一帶隙的起始頻率、截止頻率以及帶寬都逐漸增大。因此為了達(dá)到低頻寬帶的目的，可選取基板厚度為2 mm。

圖7 第一完全帶隙與散射體基板厚度的關(guān)系

3.2 單面柱局域共振聲子晶體的結(jié)構(gòu)改進(jìn)研究

3.2.1 改進(jìn)型結(jié)構(gòu)的能帶計(jì)算

本節(jié)首先分析兩種改進(jìn)型結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系，并與經(jīng)典單面柱結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比。對(duì)于經(jīng)典單面柱聲子晶體，取聲子晶體單胞的基體底面邊長(zhǎng)a=10 mm，基體厚度e=2 mm，散射體高度h=10 mm，散射體半徑r=3.5 mm，基體所用材料為鋁，散射體所用材料為鋼。結(jié)構(gòu)Ⅰ包覆層圓環(huán)的厚度為1 mm，材料為橡膠，其他參數(shù)與經(jīng)典單面柱聲子晶體相同。結(jié)構(gòu)Ⅱh1=h2=5 mm，材料A為鋼，材料B為橡膠，基板仍然為鋁，其他參數(shù)與經(jīng)典單面柱聲子晶體相同。

圖8給出了三種結(jié)構(gòu)的能帶曲線計(jì)算結(jié)果，表2是它們對(duì)應(yīng)的第一完全帶隙范圍的計(jì)算結(jié)果。由結(jié)果可知，改進(jìn)后的結(jié)構(gòu)Ⅰ和結(jié)構(gòu)Ⅱ均能在較低的頻率內(nèi)獲得帶隙，結(jié)構(gòu)Ⅰ在301 Hz就能出現(xiàn)帶隙，結(jié)構(gòu)Ⅱ在169 Hz出現(xiàn)帶隙，然而經(jīng)典單面柱結(jié)構(gòu)則需要在85 564 Hz才會(huì)出現(xiàn)帶隙。通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)后的兩種結(jié)構(gòu)相對(duì)于經(jīng)典的單面柱結(jié)構(gòu)具有產(chǎn)生更低頻帶隙的優(yōu)勢(shì)，而低頻隔振降噪正是目前亟待解決的問(wèn)題，所以改進(jìn)后的結(jié)構(gòu)具有更大的應(yīng)用前景與研究?jī)r(jià)值。

圖8 三種不同結(jié)構(gòu)能帶曲線計(jì)算結(jié)果

表2 三種聲子晶體結(jié)構(gòu)第一完全帶隙能帶結(jié)果比較

3.2.2 包覆層厚度對(duì)結(jié)構(gòu)Ⅰ的影響

在改進(jìn)型結(jié)構(gòu)Ⅰ中，包覆層的引入對(duì)于聲子晶體的帶隙產(chǎn)生了明顯的影響，因此本文研究該包覆層的厚度對(duì)于結(jié)構(gòu)Ⅰ聲子晶體的帶隙影響情況。取聲子晶體單胞的基體底面邊長(zhǎng)a=10 mm，基體厚度e=1 mm，散射體高度h=10 mm，散射體半徑r=3.5 mm，基體所用材料為鋁，散射體所用材料為鋼，包覆層為橡膠，包覆層圓環(huán)的厚度分別從0.5～1.4 mm，步長(zhǎng)為0.1 mm的變化。計(jì)算第一完全帶隙與包覆層厚度的關(guān)系，結(jié)果如圖9所示。從計(jì)算結(jié)果得出，隨著包覆層厚度的增加，第一帶隙的起始頻率和截止頻率均降低，帶寬逐漸變大。所以本著低頻寬帶的原則，結(jié)構(gòu)Ⅰ的包覆層厚度可盡量增大一些，但是要注意包覆層的直徑不能大于基板底面正方形的邊長(zhǎng)。

圖9 第一完全帶隙與結(jié)構(gòu)Ⅰ包覆層厚度的關(guān)系

3.2.3 散射體高度對(duì)結(jié)構(gòu)Ⅱ的影響

在改進(jìn)型結(jié)構(gòu)Ⅱ中，材料B的引入，將散射體分為兩個(gè)部分，由于材料B的引入對(duì)于聲子晶體的帶隙產(chǎn)生了明顯的影響，因此本文研究當(dāng)h1+h2=10 mm固定的時(shí)候，h2變化會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)Ⅱ聲子晶體的帶隙影響情況。取聲子晶體單胞的基體底面邊長(zhǎng)a=10 mm，基體厚度e=1 mm，散射體高度h1+h2=10 mm，h2分別從1～9 mm，步長(zhǎng)為1 mm的變化，散射體半徑r=3.5 mm，基體所用材料為鋁，材料A為鋼，材料B為橡膠。計(jì)算第一完全帶隙與h2高度的關(guān)系，結(jié)果如圖10所示。計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)h2太小時(shí)不存在帶隙，當(dāng)h2>2 mm，隨著h2的增加，結(jié)構(gòu)Ⅱ聲子晶體的第一帶隙起始頻率和截止頻率都是先減小后增大的。當(dāng)h2=4 mm時(shí)，帶隙的起始頻率最低為170 Hz。因此本節(jié)研究的結(jié)構(gòu)Ⅱ型聲子晶體結(jié)構(gòu)的最佳h2高度為4 mm，此時(shí)得到最低頻率的帶隙。同時(shí)對(duì)于結(jié)構(gòu)Ⅱ型聲子晶體最低頻帶隙出現(xiàn)在h2取中間值附近。

圖10 第一完全帶隙與結(jié)構(gòu)Ⅱh2高度的關(guān)系

3.2.4 材料A的半徑對(duì)結(jié)構(gòu)Ⅱ的影響

考慮到對(duì)于傳統(tǒng)的聲子晶體其填充率對(duì)聲子晶體的帶隙影響較為明顯，因此針對(duì)結(jié)構(gòu)Ⅱ，有必要研究其散射體材料A的半徑對(duì)其帶隙的影響情況。取聲子晶體單胞的基體底面邊長(zhǎng)為a=10 mm，基體厚度e=1 mm，散射體高度h1=h2=5 mm，圓柱體材料B半徑R2=3.5 mm，材料A半徑R1分別從2～5 mm，步長(zhǎng)為0.5 mm的變化，基體所用材料為鋁，材料A為鋼，材料B為橡膠。計(jì)算第一完全帶隙與R1大小的關(guān)系，結(jié)果如圖11所示。

圖11 第一完全帶隙的與結(jié)構(gòu)ⅡR1大小的關(guān)系

從計(jì)算結(jié)果可以得出，隨著R1的不斷增大，結(jié)構(gòu)Ⅱ聲子晶體的帶隙起始頻率和截止頻率均向低頻移動(dòng)。因此對(duì)于這種結(jié)構(gòu)的聲子晶體，將R1擴(kuò)大是很有利于低頻隔振降噪的，但是需要注意R1不能大于基板單胞邊長(zhǎng)a的一半。

4 結(jié) 論

本文首先介紹了經(jīng)典單面柱聲子晶體的結(jié)構(gòu)形式，并將計(jì)算的結(jié)果與文獻(xiàn)進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的正確性，然后分析經(jīng)典的單面柱聲子晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響。在此基礎(chǔ)上，組合出了兩種新型的單面柱局域共振聲子晶體結(jié)構(gòu)，并分別進(jìn)行帶隙計(jì)算，得到以下結(jié)論：

(1)發(fā)現(xiàn)這兩種新結(jié)構(gòu)與經(jīng)典的單面柱聲子晶體相比，都具有更低頻的帶隙。

(2)對(duì)結(jié)構(gòu)Ⅰ分析了包覆層厚度對(duì)其帶隙的影響情況，發(fā)現(xiàn)隨著包覆層厚度的增加，第一帶隙的起始頻率和截止頻率均降低，帶寬逐漸變大，所以結(jié)構(gòu)Ⅰ的包覆層厚度增大可降低禁帶頻率，但是包覆層的直徑不能大于基板底面正方形的邊長(zhǎng)。

(3)對(duì)結(jié)構(gòu)Ⅱ分析了h2高度對(duì)其帶隙的影響，發(fā)現(xiàn)對(duì)于結(jié)構(gòu)Ⅱ型聲子晶體最低頻帶隙出現(xiàn)在h2中間取值附近。

(4)這兩種新型的單面柱聲子晶體結(jié)構(gòu)都能在更低的頻率出現(xiàn)帶隙，這為低頻減振降噪方面的應(yīng)用提供了新的思路，具有一定的理論價(jià)值和應(yīng)用前景。