關(guān)于隨機變量獨立性的一個反例研究
2021-08-20 07:57:08劉蕾
哈爾濱師范大學自然科學學報 2021年4期
劉 蕾
(上海對外經(jīng)貿(mào)大學)
0 引言
在很多概率論的定理、結(jié)論(如分布的可加性)中，獨立性都是前提之一.若隨機變量的獨立性不成立，則眾多結(jié)果將難以保證.“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”中都有這樣的一個結(jié)論：隨機變量X,Y不獨立，但其函數(shù)可能獨立，也有可能不獨立.大多《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教材都是采用如例1給予說明的.
例1 設二維隨機變量X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)為：
則有：(1)X,Y不獨立；(2)X與Y2獨立，X2與Y獨立；(3)X2與Y2獨立.
該例最早由劉錦萼和張尚志于1984年在文獻[1]中提出的，之后的概率統(tǒng)計的教科書、反例書大都是采用這個例子.后來，沈子曦和徐曉嶺在文獻[2]中針對此例進行了多方面的推廣.那么有沒有其它用來說明這一問題的反例呢？如果有，那會有什么特殊的結(jié)論呢？
該文將以此為出發(fā)點，對樣本容量為2的自由度為n的t分布總體的樣本的次序統(tǒng)計量的性質(zhì)進行系統(tǒng)性總結(jié)研究.
1 隨機變量獨立性中一個反例的深入分析
下面通過樣本容量為2的自由度為n的t分布樣本說明這一結(jié)論，并作進一步拓展分析.
設總體X服從自由度為n的t分布，記為X～t(n)，其密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為：
設X1、X2是來自總體X的容量為2的一個簡單隨機樣本，X(1)≤X(2)為其次序統(tǒng)計量，記
定理1Y1與Y2既不獨立也不同分布.
證明對-∞
fY1(y1)=2fX(y1)-2FX(y1)fX(y1)=2fX(y1)[1-FX(y1)]
對-∞ fY2(y2)=2FX(y2)fX(y2) 另一方面，對-∞ +∞, FY1,Y2(y1,y2)=P(Y1≤y1,Y2≤y2)=P(Y2≤y2)-P(Y1>y1,Y2≤y2)=[FX(y2)]2-P(X1>y1,X2>y2,X1≤y2,X2≤y2) 注意到： 若y2 則 FY1Y2(y1,y2)=[FX(y2)]2 若y2≥y1時，P(X1>y1,X2>y2,X1≤y2,X2≤y2)=P(y1 則 FY1,Y2(y1,y2)=[FX(y2)]2-[FX(y2)-FX(y1)]2=2FX(y1)FX(y2)-[FX(y1)]2 fY1,Y2(y1,y2)=2fX(y1)fX(y2),y1≤y2 易見：Y1與Y2是不獨立的. 評注：(1)次序統(tǒng)計量X(1)與X(2)有不同的分布，且X(i)與Xi，i=1,2服從于不同的分布；(2)雖然X1與X2獨立同分布，但X(1)與X(2)既不獨立也不同分布. 定理2Z1與Z2獨立同分布. 即 Z1～F(1,n) 對z2>0，F(xiàn)Z2(z2)=P(Z2≤z2)= 即 Z2～F(1,n) 另一方面，對z1≥0,z2≥0， FZ1,Z2(z1,z2)=P(Z1≤z1,Z2≤z2)= 注意到： 則 由此 綜上： 于是得：Z1與Z2獨立同分布. 另外， F-Y1(y1)=P(-Y1≤y1)=P(Y1≥-y1)=P(X1≥-y1,X2≥-y1)=[1-FX(-y1)]2=[FX(y1)]2 F-Y2(y2)=P(-Y2≤y2)=P(Y2≥-y2)=1-P(Y2≤-y2)=1-[FX(-y2)]2=2FX(y2)-[FX(y1)]2 所以，X(1)和-X(1)具有不同的分布，X(2)和 -X(2)也具有不同的分布.但是，X(1)和-X(2)以及X(2)和-X(1)是同分布的. 定理3Y1與Y2-Y1不獨立. 證明由于(Y1,Y2)的聯(lián)合密度函數(shù)為：fY1,Y2(y1,y2)=2fX(y1)fX(y2),y1≤y2. fX(u+v),-∞ 又fU(u)=2fX(u)[1-FX(u)] 顯然，fU,V(0,1)≠fU(0)fV(1) 于是可以看到：Y1與Y2-Y1是不獨立的. 評注：Y1與Y2-Y1對應的是樣本容量為2的t(n)分布次序統(tǒng)計量的間隔，該間隔彼此之間是不獨立的.而若是指數(shù)分布總體，次序統(tǒng)計量的間隔是獨立的. 定理4Y1與Z2不獨立，Y2與Z1也不獨立. 證明(1)Y1與Z2的聯(lián)合分布：對-∞ FY1,Z2(y1,z2)=P(Y1≤y1,Z2≤z2)= 注意到： 則 則 于是得：Y1與Z2是不獨立的. (2)Y2與Z1的聯(lián)合分布：對-∞ +∞，z1≥0, FY2,Z1(y2,z1)=P(Y2≤y2,Z1≤z1)= 注意到： 則 則 于是得：Y2與Z1是不獨立的.
2 結(jié)論
