李心婧，宋新兵

(北京理工大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100081 )

分光計(jì)是常見(jiàn)的光學(xué)儀器，可以用于測(cè)量介質(zhì)的折射率、光柵常量、光譜線波長(zhǎng)等[1-6].分光計(jì)測(cè)量三棱鏡的折射率是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中光學(xué)部分的重要實(shí)驗(yàn)[7,8].在分光計(jì)的調(diào)整過(guò)程中，需要保證載物臺(tái)主軸和望遠(yuǎn)鏡、平行光管主軸垂直，以得到精確的測(cè)量結(jié)果[9,10].在測(cè)量三棱鏡折射率實(shí)驗(yàn)中，若載物臺(tái)主軸和望遠(yuǎn)鏡、平行光管主軸不是嚴(yán)格垂直，將對(duì)三棱鏡頂角和最小偏向角的測(cè)量產(chǎn)生影響，這個(gè)影響的大小是值得探討的.

本文將從理論和實(shí)驗(yàn)兩方面，探討三棱鏡頂棱“抬頭”或“低頭”時(shí)，三棱鏡頂角和最小偏向角的測(cè)量值隨三棱鏡傾斜程度的變化.理論上，我們利用幾何光學(xué)反射折射定律[11]，對(duì)測(cè)量過(guò)程進(jìn)行分析和計(jì)算，從而得到頂角和最小偏向角隨三棱鏡傾斜程度的變化.實(shí)驗(yàn)上，我們利用兩種方法對(duì)載物臺(tái)的傾斜程度進(jìn)行了標(biāo)定，對(duì)頂角和最小偏向角隨三棱鏡傾斜程度的變化進(jìn)行實(shí)際測(cè)量.

1 準(zhǔn)直光路

分光計(jì)的望遠(yuǎn)鏡一般采用自準(zhǔn)望遠(yuǎn)鏡，由物鏡、分劃板和目鏡等組成.準(zhǔn)直光路如圖1(a)所示，分劃板上的綠色十字光源發(fā)出光束，經(jīng)物鏡聚焦的光束在平面鏡上發(fā)生反射，反射后再經(jīng)物鏡和目鏡，形成綠十字像.當(dāng)平面鏡與望遠(yuǎn)鏡主軸垂直時(shí)，綠十字像的橫線與分劃板的上方水平刻線重合.圖1(b)顯示了此時(shí)(標(biāo)準(zhǔn)狀況)視場(chǎng)中分劃板上十字光源和反射的綠十字像的位置.

(a) 標(biāo)準(zhǔn)情況下的光路 (b) 綠十字像圖1 標(biāo)準(zhǔn)情況下的光路和綠十字像

當(dāng)望遠(yuǎn)鏡與平面鏡平面不垂直時(shí)，反射光路會(huì)偏離標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)直光路，綠十字像的位置也會(huì)發(fā)生移動(dòng)，離開分劃板的上方水平刻線.比如，平面鏡向望遠(yuǎn)鏡“低頭”，如圖2(a)所示.光束經(jīng)平面鏡反射后低于標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)直光路的反射光束，因而反射像的位置低于分劃板上方的水平刻線.圖2(b)展示了分劃板上十字光源的位置和平面鏡“低頭”時(shí)綠十字像的位置.若平面鏡不斷“低頭”，幅度超過(guò)一定限度，以至于反射光線未透過(guò)物鏡，此時(shí)我們將無(wú)法在視野中觀察到綠十字像.

(a) 平面鏡“低頭”時(shí)的光路 (b) 綠十字像圖2 平面鏡向望遠(yuǎn)鏡“低頭”時(shí)的光路和綠十字像

同樣的，當(dāng)平面鏡向望遠(yuǎn)鏡“抬頭”時(shí)，如圖3(a)所示，光束經(jīng)平面鏡反射后高于標(biāo)準(zhǔn)情況的反射光束，反射綠十字像的位置高于分劃板上方的水平刻線.圖3(b)展示了分劃板上十字光源的位置和平面鏡“抬頭”時(shí)綠十字像的位置.若平面鏡不斷“抬頭”，幅度超過(guò)一定限度，以至于反射光線高于望遠(yuǎn)鏡筒，此時(shí)我們?cè)谝曇爸袑o(wú)法觀測(cè)到綠十字像.

(a) 平面鏡“抬頭”時(shí)的光路 (b) 綠十字像圖3 平面鏡向望遠(yuǎn)鏡“抬頭”時(shí)的光路和綠十字像

實(shí)驗(yàn)中用于準(zhǔn)直的平面鏡是雙面的，當(dāng)平面鏡平面嚴(yán)格垂直于光路所在平面時(shí)，若其一面向望遠(yuǎn)鏡“低頭”，另一面必定向望遠(yuǎn)鏡“抬頭”.此時(shí)可能觀測(cè)到的情況有：平面鏡的正反兩面反射的綠十字像都能通過(guò)望遠(yuǎn)鏡被觀察到；只有一面反射的綠十字像能被觀察到；兩面都觀察不到綠十字像.實(shí)驗(yàn)上，我們?cè)谕h(yuǎn)鏡能觀察到至少一面反射來(lái)的綠十字像的情況下，以綠十字像在分劃板上的位置來(lái)描述平面鏡的傾斜程度.

2 對(duì)頂角測(cè)量的影響

2.1 理論分析

首先討論平面鏡和光路嚴(yán)格垂直的情況，采用反射法對(duì)頂角進(jìn)行測(cè)量.圖4(a)是測(cè)量原理的俯視圖.從三棱鏡頂角方向入射一束平行光線，經(jīng)三棱鏡兩側(cè)面反射后的兩束反射光線夾角設(shè)為θ，由幾何關(guān)系得θ=2α，α是三棱鏡頂角的大小.

(a) 頂角測(cè)量的載物臺(tái)俯視圖 (b) 頂角測(cè)量光路圖圖4 頂角測(cè)量原理圖

考慮更一般的情況，三棱鏡頂點(diǎn)向平行光管“抬頭”或“低頭”，如圖4(b)所示.置三棱鏡于xyz坐標(biāo)系中，使yOz平面是三棱鏡頂角平分面.令三棱鏡發(fā)生俯仰，設(shè)三棱鏡頂棱與z軸夾角為γ，頂棱的方向向量OA=(0, sinγ, cosγ)，則三棱鏡兩側(cè)面的法向量n1，n2可以寫成

(1)

從頂角方向入射一光束k=(kx,ky,kz)，經(jīng)棱鏡兩側(cè)面反射后反射光線記為k1與k2，由反射定律得

(2)

(3)

其中，〈p,q〉表示向量p和向量q的夾角.

根據(jù)式(1)～(3)，可以求出兩反射光線的方向向量為

對(duì)三棱鏡頂角的測(cè)量，本質(zhì)上是對(duì)構(gòu)成頂角的兩個(gè)面所反射的光在xOy平面上投影的夾角進(jìn)行測(cè)量.k1與k2在xOy平面上投影記為k′1與k′2

(5)

因此，三棱鏡“抬頭”時(shí)，其兩側(cè)的反射光線在xOy平面上投影的夾角為

(6)

按照標(biāo)準(zhǔn)狀況下的計(jì)算方法，即頂角是所測(cè)反射光線夾角的一半，得到頂角形式為

(7)

當(dāng)三棱鏡頂棱和平行光管主軸不互相垂直時(shí)，按式(7)計(jì)算所得的頂角是按照實(shí)驗(yàn)步驟測(cè)量的頂角數(shù)值，而不是頂角的真實(shí)大小，測(cè)量的偏差由此產(chǎn)生.

2.2 實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果

我們可以用綠十字像的位置來(lái)標(biāo)定載物臺(tái)的傾斜程度.若平面鏡平面和入射光束所在豎直平面(yOz)互相垂直，當(dāng)綠色十字光源在平面鏡一面的反射像唯一確定時(shí)，平面鏡另一面的反射像位置將隨之確定.實(shí)驗(yàn)上，我們用綠十字像中心在分劃板上的位置來(lái)標(biāo)定載物臺(tái)主軸的傾斜程度.

如圖5所示，圖中圓點(diǎn)表示目鏡視野中綠十字像中心的位置.實(shí)驗(yàn)上，自上而下測(cè)量的15個(gè)位置對(duì)應(yīng)的綠十字中心等間距地分布在分劃板上，對(duì)應(yīng)著載物臺(tái)的15種傾斜情況，每相鄰兩個(gè)測(cè)量位置間的載物臺(tái)傾角為5′，其總體傾角為1.17°.在這些情況下測(cè)量的三棱鏡頂角大小顯示在圖6中.

可以看出，測(cè)量的頂角大小在回歸均值上下浮動(dòng)，且回歸均值始終在測(cè)量誤差范圍內(nèi).即當(dāng)測(cè)量三棱鏡的頂角時(shí)，在視野中可以看見(jiàn)綠十字像的情況下，載物臺(tái)主軸偏離標(biāo)準(zhǔn)情況引起的測(cè)量偏差小于測(cè)量本身的誤差.

圖5 綠十字像中心位置示意圖

圖6 頂角測(cè)量值隨載物臺(tái)俯仰的變化關(guān)系

使載物臺(tái)繼續(xù)傾斜，直到平面鏡正反兩面反射的綠十字像都無(wú)法被觀測(cè)到，此時(shí)我們借用外部激光來(lái)標(biāo)記載物臺(tái)的傾斜程度.如圖7所示，由氦氖激光器發(fā)射激光，經(jīng)平面鏡反射后，用刻度尺測(cè)量入射和反射激光的高度差，由此測(cè)量載物臺(tái)的傾斜角度.

(a) 測(cè)量裝置俯視圖 (b) 測(cè)量裝置正視圖圖7 載物臺(tái)傾角測(cè)量裝置示意圖

圖8顯示了三棱鏡頂角測(cè)量值隨載物臺(tái)傾斜的關(guān)系.空心圓圈表示實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果，實(shí)線表示擬合結(jié)果.可以看出，隨著三棱鏡不斷“低頭”，即頂棱偏離z軸的角度不斷變大，三棱鏡的頂角測(cè)量值逐漸變小，偏離標(biāo)準(zhǔn)情況最大為6.6′.在參照文獻(xiàn)[12]中，表2給出JJY-1型分光計(jì)合成不確定度為1.9′.本實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)γ=1.35°時(shí)，頂角測(cè)量值偏離標(biāo)準(zhǔn)情況1.9′.在此范圍內(nèi)，因載物臺(tái)傾斜引起的誤差小于測(cè)量本身的誤差.

圖8 頂角測(cè)量值與載物臺(tái)傾角關(guān)系

3 對(duì)最小偏向角測(cè)量的影響

3.1 理論分析

三棱鏡頂棱嚴(yán)格垂直于平行光管主軸時(shí)，光線k照向三棱鏡側(cè)面時(shí)發(fā)生折射，折射到棱鏡介質(zhì)中的光線k′ 將繼續(xù)傳播到三棱鏡的另一側(cè)面，并再次發(fā)生折射到達(dá)空氣中(出射光線記為k″)，最終折射后的狹縫像可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)望遠(yuǎn)鏡找到.旋轉(zhuǎn)載物臺(tái)，望遠(yuǎn)鏡中的狹縫像也會(huì)隨之移動(dòng)，當(dāng)望遠(yuǎn)鏡中的狹縫像移動(dòng)到盡頭，并有向反方向移動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)，此刻，出射光線與入射光線所成的角是最小偏向角，記為δ，如圖9(a)所示.

考慮更一般的情況，即三棱鏡頂棱“抬頭”或“低頭”.置三棱鏡于圖9(b)所示的直角坐標(biāo)系中，并令yOz平面平分三棱鏡的頂角.三棱鏡頂棱與z軸夾角為γ.三棱鏡兩側(cè)面法線向量由式(1) 給出.當(dāng)三棱鏡有俯仰角時(shí)，按照通常的測(cè)量步驟，對(duì)三棱鏡折射最小偏向角的測(cè)量，本質(zhì)上是在〈k′,k″〉達(dá)到極值時(shí)，測(cè)量出折射光線k″和入射光線k′在xOy平面上投影之間的夾角.

由菲涅爾定律，光在介質(zhì)表面發(fā)生折射，有

(8)

(9)

其中，n21是三棱鏡介質(zhì)相對(duì)于空氣的折射率.出于實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)便，令入射光線k平行于xOy平面，故k=(kx,ky,0)，由式(8)和(9)可以確定折射后光線的方向向量k″.其在xOy平面上的投影我們記為k3，這樣我們測(cè)量的最小偏向角可以表示為：

(10)

(a) 標(biāo)準(zhǔn)況俯視圖 (b) 三棱鏡發(fā)生俯仰圖9 折射光路圖

3.2 實(shí)驗(yàn)測(cè)量與結(jié)果

實(shí)驗(yàn)上我們測(cè)量汞燈被三棱鏡分光后，各單色光的最小偏向角.分光原理是不同波長(zhǎng)的光在同一介質(zhì)中折射率不同，而導(dǎo)致最小偏向角不同.實(shí)驗(yàn)上我們測(cè)量的主要譜線如表1所示.選用的三棱鏡(邊長(zhǎng)為39.5 mm、高為40.0 mm)材料為重火石玻璃(ZF1).

表1 低壓汞燈譜線

與測(cè)量頂角類似，當(dāng)載物臺(tái)偏離標(biāo)準(zhǔn)位置不太大時(shí)，可以看見(jiàn)雙面鏡至少一面反射的綠十字像，我們采用圖5的標(biāo)定方式，測(cè)量五種波長(zhǎng)的光在不同標(biāo)定位置的最小偏向角大小.

圖10顯示了5條譜線最小偏向角隨載物臺(tái)俯仰的關(guān)系.從圖中可以看出，測(cè)量結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)情況(對(duì)應(yīng)第5個(gè)點(diǎn)位置情況)下的結(jié)果偏離不大. 在視野中可以看見(jiàn)綠十字像的情況下，載物臺(tái)主軸偏離標(biāo)準(zhǔn)情況引起的測(cè)量偏差小于測(cè)量本身的誤差.

圖10 最小偏向角測(cè)量值隨載物臺(tái)俯仰的變化關(guān)系

圖11 最小偏向角隨三棱鏡頂棱傾斜變化關(guān)系圖

當(dāng)載物臺(tái)傾斜角較大時(shí)，我們需要采用圖7所示的方案來(lái)標(biāo)定三棱鏡的傾斜程度.圖11顯示了最小偏向角隨三棱鏡頂棱傾角γ的變化關(guān)系.圖中各種離散點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)結(jié)果，實(shí)線是擬合結(jié)果.可以看出，隨著載物臺(tái)逐漸偏離標(biāo)準(zhǔn)情況，測(cè)得的最小偏向角逐漸變小.載物臺(tái)俯仰小于1.40°時(shí)，因載物臺(tái)偏離標(biāo)準(zhǔn)情況而引起的測(cè)量結(jié)果最大偏差值小于文獻(xiàn)[12]給出的合成不確定度值.在我們的測(cè)量范圍內(nèi)，最小偏向角測(cè)量值的最大偏移量不超過(guò)10′.

4 結(jié)語(yǔ)

本文從理論和實(shí)驗(yàn)兩方面研究了三棱鏡的俯仰對(duì)頂角和最小偏向角測(cè)量的影響.我們發(fā)現(xiàn)，在視野中可以觀察到綠十字像的情況下，由于三棱鏡的俯仰角度較小，其引起的頂角和最小偏向角的測(cè)量偏差小于系統(tǒng)的測(cè)量誤差.進(jìn)一步的結(jié)果顯示，測(cè)量三棱鏡頂角時(shí)，三棱鏡俯仰在±1.35°的范圍內(nèi)，其俯仰引起的測(cè)量偏差小于測(cè)量本身的誤差.在測(cè)量最小偏向角時(shí)，三棱鏡俯仰在±1.40°的范圍內(nèi)，由其引起的測(cè)量偏差小于測(cè)量本身的誤差.在整個(gè)測(cè)量范圍內(nèi)，三棱鏡的俯仰對(duì)頂角和最小偏向角測(cè)量結(jié)果的影響小于10′.

本實(shí)驗(yàn)研究鍛煉了學(xué)生設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案和動(dòng)手能力，提升了學(xué)生運(yùn)用Matlab等軟件的水平.同時(shí)也希望本文的研究結(jié)果能夠加深人們對(duì)分光計(jì)裝置的理解，為折射率測(cè)量實(shí)驗(yàn)課程教學(xué)提供參考.