陳明星

(湖南師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410081)

2004年，英國曼切斯特大學(xué)A. Geim教授小組從石墨中剝離出碳的單層結(jié)構(gòu)——石墨烯，從此掀起了二維材料的研究熱潮[1]. 石墨烯也因此在過去的十多年中一直是凝聚態(tài)物理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn). 由于石墨烯的層狀結(jié)構(gòu)，且層間相互作用很弱，因此人們可以通過不同的堆疊方式設(shè)計(jì)具有新奇物理性質(zhì)的新結(jié)構(gòu). 比如，雙層石墨烯中兩者相對(duì)旋轉(zhuǎn)一個(gè)較小的角度時(shí)可形成莫爾條紋，該轉(zhuǎn)角結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的摩爾周期勢將石墨烯原胞的能帶折疊到一個(gè)很小的超胞布里淵區(qū)中，并且導(dǎo)致兩層石墨烯中的狄拉克電子態(tài)雜化，從而對(duì)其電子的費(fèi)米速度等一系列性質(zhì)產(chǎn)生重要影響[2-7]. 當(dāng)轉(zhuǎn)角在大約1.1°時(shí)，轉(zhuǎn)角石墨烯形成的莫爾周期勢作用導(dǎo)致平帶的出現(xiàn)[8]. 該角度的雙層石墨烯被稱之為魔角石墨烯. 2018年，美國麻省工學(xué)院Pablo Jarillo-Herrero研究組在魔角石墨烯中實(shí)現(xiàn)莫特絕緣體和超導(dǎo)電性[9,10]，再次將石墨烯的研究推向高潮.

將凝聚態(tài)物理前沿科研成果引入固體物理和固體電子結(jié)構(gòu)相關(guān)的課程教學(xué)，既能使學(xué)生了解前沿研究動(dòng)態(tài)、培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用書本知識(shí)解決實(shí)際問題的能力. 石墨烯由于其簡單的晶體結(jié)構(gòu)和特殊的能帶結(jié)構(gòu)，已經(jīng)被同行作為固體物理等相關(guān)課程教學(xué)的經(jīng)典例子[11-14].

晶體結(jié)構(gòu)決定其性質(zhì)，了解晶體結(jié)構(gòu)是進(jìn)一步研究晶體電子結(jié)構(gòu)和物理性質(zhì)的前提，因此固體物理教學(xué)大綱要求學(xué)生掌握描述晶體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)方法.本文結(jié)合筆者自身的教學(xué)經(jīng)歷，以轉(zhuǎn)角石墨烯為例，向?qū)W生展示如何構(gòu)造雙層轉(zhuǎn)角石墨烯的結(jié)構(gòu)，增進(jìn)學(xué)生對(duì)描述晶體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)方法和晶體具有周期性這一特性的理解.

1 石墨烯的晶體結(jié)構(gòu)

石墨烯具有六角蜂窩狀結(jié)構(gòu)(見圖1).假設(shè)其晶格常數(shù)為a，則原胞基矢為

(1a)

(1b)

圖1 石墨烯的結(jié)構(gòu). a為晶格常數(shù)，平行四邊形代表原胞，黑色箭頭代表原胞的兩個(gè)基矢a1和a2.

2 石墨烯超胞的構(gòu)建

2.1 變換矩陣

石墨烯超胞基矢Ai與原胞基矢ai的變換關(guān)系為

(2)

(3)

2.2 超胞結(jié)構(gòu)的構(gòu)造

假設(shè)原胞中第α個(gè)原子的坐標(biāo)為Pα=xαa1+yαa2, 即Pα用分?jǐn)?shù)坐標(biāo)(xα,yα)表示，并且滿足0≤xα,yα<1，則晶體中該原子通過平移一個(gè)正格子格矢得到的原子位置坐標(biāo)Pn為

Pn=(n1+xα)a1+(n2+yα)a2

(4)

ni為整數(shù).Pn也可用超胞的基矢表示為

Pn=XαA1+YαA2

(5)

由此，可以得到

(6)

將式(3)代入式(6)可得

(n1+xα,n2+yα)M-1=(Xα,Yα)

(7)

上式給出了如何計(jì)算Pn用超胞基矢表示的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)(Xα,Yα).Xα、Yα的取值可以是任意數(shù)值.若Pn位于坐標(biāo)軸原點(diǎn)的超胞中，則0≤Xα,Yα<1.

圖2 石墨烯超胞結(jié)構(gòu).其晶格常數(shù)為黑色和淺色平行四邊形分別原胞和超胞. 黑色和淺色箭頭代表分別代表原胞和超胞的基矢. 超胞基矢用A1、A2表示.

表1 石墨烯超胞結(jié)構(gòu)中各原子的坐標(biāo).

X′α=Xα-Nx

(8a)

Y′α=Yα-Ny

(8b)

Nx、Ny為可正可負(fù)的整數(shù).上述過程還需排除重復(fù)得到的原子.上述超胞的構(gòu)建也可以借助當(dāng)前的晶體結(jié)構(gòu)可視化軟件VESTA完成. 具體操作流程：打開VESTA操作界面并輸入相應(yīng)的原胞結(jié)構(gòu)，之后點(diǎn)擊Edit—Edit Data—Unit Cell—Transform matrix. 在Rotation matrix填入上述變換矩陣的轉(zhuǎn)置即可.

3 雙層轉(zhuǎn)角石墨烯的構(gòu)建

轉(zhuǎn)角石墨烯由兩個(gè)大小相等的石墨烯超胞堆疊而成，其層間距強(qiáng)烈依賴于局部的原子堆垛方式，平均層間距大約在3.5 ?左右. 兩層石墨烯的相對(duì)轉(zhuǎn)角越小，超胞越大. 為保證上下兩層有轉(zhuǎn)角，其超胞變換矩陣需不同.

圖3 轉(zhuǎn)角石墨烯的構(gòu)造. 黑色和淺色平行四邊形代表兩石墨烯超胞，其基矢分別用Ai和A′i表示,θ為兩超胞的相對(duì)轉(zhuǎn)角，淺色虛線沿Ri=ia1+ia2.

(9a)

(9b)

表2 部分小轉(zhuǎn)角雙層石墨烯中超胞與原胞之間的變換矩陣.

采用分?jǐn)?shù)坐標(biāo)的好處之一是旋轉(zhuǎn)超胞基矢時(shí)，若原子分?jǐn)?shù)坐標(biāo)保持不變，則晶體結(jié)構(gòu)做相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng).從圖3可以看出，同一原子在不同的超胞中分?jǐn)?shù)坐標(biāo)不同.如果使上層石墨烯超胞的基矢與下層石墨烯超胞保持一致，且原子的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)(Xα,Yα)保持不變，則上層石墨烯相對(duì)下層石墨烯有θ角度的旋轉(zhuǎn).進(jìn)一步將所有原子坐標(biāo)放入一個(gè)文件，并做成晶體結(jié)構(gòu)可視化軟件(比如VESTA)可識(shí)別的文件格式，可得到雙層轉(zhuǎn)角石墨烯的結(jié)構(gòu)圖.
圖4給出了2.13°轉(zhuǎn)角雙層石墨烯的結(jié)構(gòu)俯視圖.

圖4 2.13°轉(zhuǎn)角雙層石墨烯的結(jié)構(gòu).兩層原子分別用不同的顏色表示并給出了AA和AB堆疊的局部原子結(jié)構(gòu)，黑色平行四邊形代表一個(gè)超胞.

4 小結(jié)

本文介紹了石墨烯的晶體結(jié)構(gòu)，闡述了結(jié)合晶體周期性和超胞-原胞之間的變換矩陣構(gòu)造超胞結(jié)構(gòu)的方法，并將其運(yùn)用到雙層轉(zhuǎn)角石墨烯結(jié)構(gòu)的構(gòu)造，可作為固體物理課程教學(xué)的一個(gè)例子，有利于學(xué)生掌握描述晶體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)方法.