周 穎，田蓬勃，李 濤，劉瑞豐，劉 萍，方愛平，王小力

(1.西安交通大學 電氣工程學院，陜西 西安 710049；2. 西安交通大學 物理學院，陜西 西安 710049 )

單擺是一個古老的數(shù)學物理模型，又一直是很多新概念提出的源泉.由理想單擺衍生出來的倒擺、復擺、球面擺、共振擺等模型一直吸引著人們的關(guān)注.同時由于其在大角度釋放時運動學方程的非線性特征，使其成為大學物理教學中混沌現(xiàn)象和非線性問題研究很好的切入點.目前針對擺長可變[1]，施加側(cè)向擾動[2]，彈簧耦合擺[3]等情形下擺球分別做水平面內(nèi)振蕩和豎直面內(nèi)振蕩[4]已有充分研究，但大多著重于對運動周期、相圖的研究，不具備直觀性.對于能直觀表示擺球運動的軌跡圖，以及擺平面的分位移圖較少關(guān)注，且大多數(shù)模型都對擺角做小角度線性處理，使其結(jié)論不適用于大角度釋放的情況.同時，上述系統(tǒng)的支撐桿皆為剛性桿，對于彈性桿作為支撐桿的情況下，單擺出現(xiàn)振蕩方向逐漸轉(zhuǎn)變的情況尚無系統(tǒng)的研究.本文旨在從理論到實驗系統(tǒng)研究水平支撐桿為彈性桿時，擺球的運動軌跡和振蕩方向改變90度的時間，重點分析擺球運動的軌跡形狀和影響振蕩方向相對初始運動方向轉(zhuǎn)過90度所需時間的因素.

1 理論基礎

1.1 水平彈性桿運動模型簡化與參數(shù)確定

如圖1所示，設有一個單擺系統(tǒng)，其中水平彈性桿長度為L，一端固定在豎直的剛性支撐架上，另一端(前端)綁定繩子以避免彈性桿在運動過程中豎直方向的偏轉(zhuǎn).同時在彈性桿前端懸掛一根擺線，記彈性桿與擺線的連接點為A(懸點A)，擺線質(zhì)量不計且長度為l，下端懸掛質(zhì)量為m可視為質(zhì)點的小球.以A點為坐標原點，建立如圖1所示直角坐標系Oxyz.

圖1 彈性桿做水平支撐桿的單擺模型圖

從某一角度θ釋放擺球，擺球在運動過程中通過擺線擠壓或拉伸彈性桿，彈性桿在水平面內(nèi)發(fā)生形變.這里我們將彈性桿在水平面內(nèi)的運動簡化成沿x軸和沿y軸兩個垂直方向上彈簧運動的耦合.簡化理由是設擺球的振蕩頻率為ω，彈簧振子的固有頻率為ω0，彈簧振子受到擺球通過擺線耦合的周期性作用力為fsin(ωt+φ)，則彈簧振子的動力學方程為

(1)

對于一般的彈性桿而言，存在ω<<ω0，則在一段比較小的時間內(nèi)可以近似認為彈簧振子受到的作用力為恒力，則彈簧的位移和速度可以分別表示為

(2)

(3)

相當于該彈簧振子以自身的固有頻率ω0做高頻振蕩，而該高頻振蕩的平衡位置又隨著擺球施加的周期性作用力做頻率為ω的低頻振蕩.又由于ω<<ω0，則速度表達式中低頻項近似可以忽略，故可認為彈簧振子以其自身固有頻率做簡諧運動.設沿著支撐桿方向擺放的彈簧勁度系數(shù)為kx，垂直于桿方向的彈簧勁度系數(shù)為ky，懸點A的運動是兩個彈簧振子運動的疊加，如圖2所示.

圖2 彈性桿的二維簡化模型

1.2 保守系拉格朗日方程

空氣阻力F的計算公式[7]為

(4)

式中C、ρ、S、v分別為空氣阻力系數(shù)、空氣密度、物體迎風面積、物體速度.

實驗使用的擺球用砝碼代替，迎風面積S=5.4 cm2，砝碼質(zhì)量m=50 g，空氣密度ρ=1.2 kg/m3，空氣阻力系數(shù)C=1.0.當擺球的運動速度v=1 m/s時，空氣阻力F=0.0003 N.該力的大小僅相當于擺球重力的0.61 ‰。因此理論分析中可以忽略空氣阻力的影響，近似認為該單擺體系為理想保守系.

首先對沿著桿的軸向釋放擺球的情況進行分析.設x，y，z軸方向上的單位向量分別為i,j,k, 彈性桿沿著x軸水平放置，擺球在Oxz平面內(nèi)釋放.設懸點A點的運動方程為r=x(t)i+y(t)j，兩個等效彈簧的運動方程可寫成：x(t)=Axcosωxt，y(t)=AysinωyA，式中A，ω分別是彈簧振幅和振動頻率.由幾何關(guān)系得到擺球運動方程為

R=r+lsinθcosφi+lsinθsinφj-lcosθk

(5)

擺球的動能為

(6)

考慮到在后續(xù)拉格朗日方程的計算中，上式中的動能交叉項遠小于動能的非交叉項，為簡化計算，忽略上式交叉項，化簡為

(7)

系統(tǒng)總勢能U等于擺球重力勢能與兩個彈簧的彈性勢能之和，即

(8)

對選取的4個廣義坐標x、y、θ、φ列寫拉格朗日方程，代入化簡最終得到描述擺球運動的微分方程組：

(9)

對于擺球在Oyz平面內(nèi)釋放情況類似，其運動的微分方程為

(10)

下面我們在特定的實驗參數(shù)下對上述方程進行數(shù)值求解.擺球用標準砝碼代替，假設擺球沿軸向釋放，擺線長l=19.00 cm，擺球質(zhì)量m=50 g，初始擺角θ=70.8°，支撐桿為縱紋木桿，E=10 Gpa，I=52.08 mm4，且質(zhì)量ms=11.04 g，長度為22.85 mm，橫截面積S=25 mm2，懸點A的Ax=0.1 mm，ωx=3.15×104rad/s，Ay=0，ωy=4.87×103rad/s.將以上參數(shù)帶入到MATLAB數(shù)值計算程序中進行求解，得到擺球的理論俯視軌跡圖如圖3所示，其中橫坐標x方向為支撐桿的軸向，縱坐標y方向為支撐桿的切向.該圖說明了當支撐桿為彈性桿時，從桿的軸向釋放擺球，擺球的俯視軌跡會按照類似一系列進動的橢圓軌道的形式逐漸轉(zhuǎn)變擺動方向，實現(xiàn)整個平面內(nèi)擺動.分位移圖如圖4所示，可以更直觀地看出擺球擺動時，其軸向分位移和切向分位移呈現(xiàn)周期性的交替消長的變化趨勢.

圖3 軸向釋放擺球時，擺球的理論俯視軌跡

2 實驗部分

實驗裝置如圖5所示，器材為鐵架臺，砝碼，棉線，木桿，硬質(zhì)PVC桿.其中右側(cè)鐵架臺為主實驗裝置，左側(cè)鐵架臺通過棉線與砝碼綁緊，作為擺球初始釋放輔助裝置.實驗中采用剪斷棉線的方法來釋放砝碼，避免手動釋放砝碼帶來的附加速度和角度偏差.我們通過改變擺球的初始釋放角、擺線長度和支撐桿的楊氏模量，分析這三個參數(shù)對擺球的振動方向在兩個垂直方向(即支撐桿的軸向和切向)之間轉(zhuǎn)化的時間以及擺球軌跡的影響.在數(shù)據(jù)記錄分析方面，我們選擇以單個鐵架臺兩腳之間的直線距離作為長度參照，并利用手機相機以每秒29幀的速率記錄俯視方向上擺球運動的軌跡(將攝像頭固定在懸點的正上方，微調(diào)攝像頭的位置使其正對著支撐桿的中軸線，并調(diào)好焦距).然后使用視頻分析軟件TRACKER追蹤每一幀擺球的位置坐標(如圖6所示)，再將數(shù)據(jù)導入MATLAB，對比分析理論曲線和實驗數(shù)據(jù).

圖5 實驗裝置圖

圖6 TRACKER軟件分析視頻窗口

2.1 改變初始釋放角

支撐桿選用縱紋木桿，其楊氏模量為E=10 Gpa，質(zhì)量為ms=11.04 g，長度為l1=31.10 cm，橫截面積S=25 mm2.單擺擺線長l=22.85 cm，擺球質(zhì)量m=50 g.實驗開始時沿著支撐桿的切向釋放擺球，并改變擺球的初始釋放角.

圖7(a)與7(b)分別展示了初始釋放角為39.2°和30.8°時擺球的切向分位移圖.從圖中可以看出在擺球的振蕩過程中，其切向分位移的幅度在振蕩衰減.當釋放角為39.2°時，擺球在釋放后40秒左右切向分位移減小到0 cm，即擺球振動的方向從沿著支撐桿的切向完全轉(zhuǎn)化為沿桿的軸向.當釋放角為30.8°時擺球在44秒左右其切向分位移同樣減小到0 cm.同時由于理論分析中忽略了空氣阻力以及實際器械各部分連接處摩擦力的影響，圖7(a)與7(b)中理論曲線的幅度都比實際軌跡的幅度略大.

定義擺球從桿的軸向(切向)釋放開始，到其運動方向剛好轉(zhuǎn)變?yōu)檠貤U的切向(軸向)的時間為擺球運動方向的轉(zhuǎn)化時間.同理，擺球運動方向的理論轉(zhuǎn)化時間為從Oxz(Oyz)平面內(nèi)釋放擺球開始，到擺球在該振蕩平面內(nèi)的分位移幅度衰減為0的這段時間，實驗中可通過觀察擺球運動方向剛好轉(zhuǎn)過90度來得到實驗轉(zhuǎn)化時間.進一步地，將從不同角度釋放擺球時，擺球的理論轉(zhuǎn)化時間和實驗轉(zhuǎn)化時間列在表1中.從表中可以看出在相對誤差較小的情況下，初始釋放角越大，轉(zhuǎn)化時間越短.理論轉(zhuǎn)化時間隨釋放角的變化曲線和實驗測得數(shù)據(jù)點如圖8所示，同樣可以看出釋放角越大，擺球振動方向從支撐桿的切向完全轉(zhuǎn)化為軸向的時間越短.

圖7 從支撐桿的切向沿著不同擺角釋放 擺球時，擺球的切向分位移圖

表1 不同初始釋放角時擺球運動方向的實驗轉(zhuǎn)化時間以及理論轉(zhuǎn)化時間

圖8 擺球運動方向的轉(zhuǎn)化時間隨初始釋放角的變化

2.2 改變不同擺長

保持擺球質(zhì)量m=50 g，支撐桿為縱紋木桿，楊氏模量E=10 Gpa，質(zhì)量ms=11.04 g，長度l1=31.10 cm，橫截面積S=25 mm2，初始釋放角θ=39.2°.實驗過程中沿著支撐桿切向方向釋放擺球，并改變單擺的擺線長度.

圖9 在不同擺線長度下從支撐桿的切向釋放擺球時，擺球的切向分位移圖

圖9(a)與9(b)分別展示了擺線長分別為31.1 cm和22.7 cm時擺球的切向分位移圖.從圖中可以看出當擺線長在31.1 cm時，擺球在38秒左右切向分位移減小到0 cm；當擺線長在22.7 cm時擺球運動的轉(zhuǎn)化時間在30秒左右.

針對31.1 cm, 22.7 cm, 11.3 cm和3.1 cm長度的擺線，擺球的理論轉(zhuǎn)化時間和實際轉(zhuǎn)化時間列在表2中，從表中可以看出擺線長度越短，轉(zhuǎn)化時間越短.同時做出理論轉(zhuǎn)化時間隨擺線長的變化曲線和實驗測得數(shù)據(jù)點如圖10所示，圖10表明擺線長度越短，擺球振動方向從切向完全轉(zhuǎn)化為軸向的時間越短.

表2 不同擺線長度時擺球運動方向的實驗轉(zhuǎn)化時間以及理論轉(zhuǎn)化時間

圖10 擺球運動方向的轉(zhuǎn)化時間隨擺線長度的變化

2.3 改變支撐桿材料

保持擺線長l=21.10 cm，擺球質(zhì)量m=50 g，支撐桿長度l1=31.10 cm，橫截面積S=25 mm2,初始釋放角θ=39.2°不變.實驗過程中沿著桿切向方向釋放擺球，并改變支撐桿的材料.

圖11(a)與11(b)分別展示了采用縱紋木桿(楊氏模量E1=10 Gpa)和硬質(zhì)PVC桿(楊氏模量E2=0.24 Gpa)作為支撐桿時擺球的切向分位移圖.從圖中可以看出當支撐桿是縱紋木桿時，擺球在38秒左右切向分位移減小到0 cm；當支撐桿是硬質(zhì)PVC桿時，擺球的轉(zhuǎn)化時間在20秒左右.

由此得到使用上述兩種不同材料的支撐桿的情況下，擺球的理論轉(zhuǎn)化時間和實際轉(zhuǎn)化時間如表3所示.從表中可以看出支撐桿的彈性越大，擺球運動方向的轉(zhuǎn)化時間越短.在圖12中做出理論轉(zhuǎn)化時間隨彈性桿楊氏模量的變化曲線，同樣可以看出擺球從切向到軸向運動的轉(zhuǎn)化時間與支撐桿的彈性成負相關(guān).

圖11 從不同材料支撐桿的切向釋放擺球時，擺球的切向分位移圖

表3 不同材料支撐桿下擺球運動方向的實驗轉(zhuǎn)化時間以及理論轉(zhuǎn)化時間

圖12 擺球運動方向的轉(zhuǎn)化時間隨彈性桿楊氏模量的變化

3 小結(jié)

本文首先將水平彈性支撐桿的平面運動轉(zhuǎn)化成兩個垂直方向上彈簧運動，在驗證了外界阻尼可忽略的前提下利用保守系拉格朗日方程得到擺球運動的微分方程組，通過數(shù)值計算給出單擺運動的軌跡圖及轉(zhuǎn)化時間等關(guān)鍵參數(shù)，進而系統(tǒng)地總結(jié)出彈性支撐桿下單擺運動的規(guī)律.

同時采用實驗室常見器材進行實驗.針對支撐桿為彈性桿時，擺球沿桿軸向和切向運動的自發(fā)轉(zhuǎn)化問題，研究了初始釋放角，擺線長度和支撐桿彈性系數(shù)對擺球運動轉(zhuǎn)化時間的影響，取得如下主要結(jié)論：

1) 初始釋放角越大，轉(zhuǎn)化時間越短；

2) 擺長越短，轉(zhuǎn)化時間越短；

3) 彈性桿彈性越大，轉(zhuǎn)化時間越短.

4 致謝

感謝劉瑞豐、趙述敏、劉萍、李榮、孔春才等指導老師，是他們的嚴格要求和悉心的指導使本文逐步完善.感謝袁識博、蔣施達同學對于理論分析的幫助.感謝張俊武、王雪冬老師對于實驗的幫助.