邵 云

(南京曉莊學(xué)院 電子工程學(xué)院，江蘇 南京 211171)

通常的光學(xué)教材中較少介紹物點(diǎn)經(jīng)平面界面折射成像的問題[1,2]，也鮮有文章詳細(xì)研究該問題，但這恰恰又是一個(gè)十分基礎(chǔ)而又難以回避的問題，人們?cè)谌粘Ｉ钆c日常教學(xué)中經(jīng)常遇到．本文將在筆者既往研究[3,4]的基礎(chǔ)上，采用較簡(jiǎn)潔的思路，推導(dǎo)出所謂的“物點(diǎn)經(jīng)多層平行介質(zhì)界面折射成像的疊加法則”，并將其應(yīng)用于生活中兩個(gè)典型實(shí)例的分析及一個(gè)個(gè)案的研究，獲得了一些有意義的結(jié)論，希望借此能為讀者提供一些認(rèn)識(shí)與參考．

1 物點(diǎn)P經(jīng)平行介質(zhì)界面的二次折射成像

如圖1所示，有3層平行介質(zhì)，折射率分別為n1、n2、n3；設(shè)一物點(diǎn)P從介質(zhì)1中h深度處發(fā)出一細(xì)束光線，它對(duì)厚度為b的介質(zhì)2的入射角為i，折射角為j，它在介質(zhì)3中的出射角為k，則根據(jù)折射定律有

n1sini=n2sinj=n3sink

(1)

不難看出，介質(zhì)3中的出射光線l在圖1直角坐標(biāo)系中的直線方程為

y=cotk(x-htani-btanj)

(2)

圖1 物點(diǎn)P經(jīng)平行介質(zhì)界面的二次折射成像示意圖

與此同時(shí)，按照?qǐng)D1中的成像規(guī)則，設(shè)光線角度作相應(yīng)的微小變化：i→i+Δi、j→j+Δj、k→k+Δk，則得圖1中的出射光線m，其直線方程為

y=cot(k+Δk)[x-htan (i+Δi)-btan (j+Δj)]

(3)

聯(lián)立式(2)、(3)可求得圖1中像點(diǎn)P′的x坐標(biāo)為

xP′=

鑒于成像要求Δi、Δj、Δk皆→0，且i、j、k相互關(guān)聯(lián)，因此有

(4)

同理, 解得像點(diǎn)P′的y坐標(biāo)為

(5)

由式(1)結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)可得

(6)

(7)

將式(6)、(7)代入式(4)、(5)，計(jì)算整理便得

(8)

(9)

當(dāng)出射角k=0或k→0時(shí)，式(8)、(9)可分別簡(jiǎn)化為

xP′=0

2 物點(diǎn)經(jīng)多層平行介質(zhì)界面折射成像的疊加法則

其實(shí)，若令式(8)、(9)中的b=0，則得物點(diǎn)P經(jīng)單個(gè)界面的折射成像位置坐標(biāo)

這與文獻(xiàn)[3,6]中的結(jié)論是一致的．可見，式(8)、(9)描述的實(shí)際上是兩個(gè)單界面成像結(jié)果的疊加，即介質(zhì)1中h深度處的物點(diǎn)直接在介質(zhì)3中成像，疊加上介質(zhì)2中b深度處的物點(diǎn)同樣直接在介質(zhì)3中成像，并且這兩個(gè)成像的出射角即視角相同，同為k．顯然，這是一個(gè)有意義的結(jié)論．回顧上一節(jié)的求解過程即可看出，若圖1中再增加幾層介質(zhì)，所得像點(diǎn)P′的坐標(biāo)將與式(8)、(9)類似——呈現(xiàn)累加的形式．我們可以把這里的這種成像結(jié)果的疊加性質(zhì)權(quán)且稱為“物點(diǎn)經(jīng)多層平行介質(zhì)界面折射成像的疊加法則”，其形式為

(10)

(11)

其中N為介質(zhì)層數(shù)，bα為諸平行介質(zhì)層的厚度，b1=h，x軸仍處在最頂層介質(zhì)(nN)的底部．

參見圖1，若平行介質(zhì)中包含折射率連續(xù)變化的部分，且最頂層介質(zhì)為空氣，則式(10)、(11)可改寫成如下更一般的積分形式

(12)

(13)

其中B為介質(zhì)的總厚度，折射率n為坐標(biāo)y的函數(shù)，有n=n(y)．

3 式(8)、(9)的幾種特殊情形討論

若圖1中介質(zhì)1、2、3分別為水、玻璃、空氣，則式(8)、(9)改寫為

(14)

(15)

此時(shí)若令b→0，則式(14)、(15)退化為

(16)

(17)

此即文獻(xiàn)[3]中水下物點(diǎn)的虛像位置坐標(biāo)．同理，若令式(14)和式(15)中的h→0，則式(14)、(15)退化為

(18)

(19)

這顯然是玻璃中b深度處的物點(diǎn)(即圖1中的Q點(diǎn))經(jīng)玻璃-空氣界面折射成像的虛像位置坐標(biāo)．式(16)、(17)與式(18)、(19)形式相同，描述的都是物點(diǎn)經(jīng)平面界面一次折射成像的結(jié)果．

若圖1中介質(zhì)1、2、3分別為空氣、玻璃、空氣，則式(8)、(9)可簡(jiǎn)化為

(20)

(21)

此即空氣中的物點(diǎn)P經(jīng)玻璃磚前后表面二次折射成像的像點(diǎn)位置坐標(biāo)．對(duì)比式(18)、(19)與式(20)、(21)可見，此時(shí)P的像點(diǎn)位置，在相同的視角k下，就相當(dāng)于Q的像點(diǎn)位置“下移”了h距離．

4 游泳池中泳者“身首分離”折射現(xiàn)象解釋

在一個(gè)偶然的機(jī)會(huì)，筆者看到一泳者在游泳池中游泳的短視頻，如圖2所示，視頻中該泳者在水面上的人臉實(shí)物與水面下的身體虛像之間竟然出現(xiàn)如此大的“分離”，著實(shí)令人驚訝．

嚴(yán)格講，這里是光線經(jīng)水-玻璃-空氣的二次折射成像現(xiàn)象，但是由于游泳池的玻璃壁相對(duì)很薄，即圖1中b<

從圖3可見，在同一視角k下，觀察者越遠(yuǎn)，物、像在x方向上的視覺分離就越大；與此同時(shí)，數(shù)值計(jì)算又表明，當(dāng)觀察者的距離一定時(shí)，視角k越大，物、像在x方向上的視覺分離也越大．至此，圖2中泳者的“身首分離”現(xiàn)象得到了充分解釋．

圖2 游泳池中泳者“身首分離”的折射現(xiàn)象

圖3 人眼看到的水上物點(diǎn)(臉)和水下像點(diǎn)(身)位置

5 空氣中物點(diǎn)經(jīng)方玻璃磚二次折射成像的特點(diǎn)分析

空氣中的物點(diǎn)P經(jīng)方玻璃磚二次折射成像P′的位置坐標(biāo)如式(20)、(21)所示．若設(shè)h=3 cm、b=4 cm，則根據(jù)式(20)、(21)可作出像點(diǎn)P′隨視角k的位置變化軌跡，如圖4所示．如上文所言，P′的位置就相當(dāng)于Q點(diǎn)在相同視角下的像點(diǎn)位置下移了h距離．鑒于玻璃磚上下方皆空氣，從上文中的“物點(diǎn)經(jīng)多層平行介質(zhì)界面折射成像的疊加法則”很容易得出該結(jié)論．這便是空氣中玻璃磚等平行介質(zhì)成像的基本特征．

圖4 空氣中物點(diǎn)P經(jīng)方玻璃磚二次折射成像點(diǎn)P′隨視角k的變化

由此可見，當(dāng)人眼在同一視角下透過玻璃磚觀察時(shí)，無論物點(diǎn)遠(yuǎn)近，物點(diǎn)和像點(diǎn)的相對(duì)位置總是統(tǒng)一而固定的，它們相對(duì)靜止，也將同步移動(dòng)．當(dāng)人眼從遠(yuǎn)處同一位置透過玻璃磚觀察，或者人眼在近處觀察玻璃磚對(duì)面遠(yuǎn)處的物體時(shí)，只要物體的尺度不大，人眼的視角均可視作統(tǒng)一，結(jié)合圖4中x方向上的平移對(duì)稱性便知：此時(shí)物體的三維虛像將與物體的形狀近似“全等”，幾無畸變，并且與物體同步移動(dòng)．當(dāng)然，隨著物體的持續(xù)移動(dòng)，視角的逐漸變化，像與物之間的相對(duì)位置也將發(fā)生變化．

當(dāng)人眼在近處透過一較厚的玻璃磚觀察對(duì)面近處一較大的物體時(shí)，由于物體上各物點(diǎn)視角的不同，參見圖4，因此其虛像的大小、形狀、方位相對(duì)于實(shí)物均可能產(chǎn)生一定的畸變．不過這種畸變實(shí)際上并不大，比透鏡產(chǎn)生的畸變要小得多．現(xiàn)在桌面紙上畫一個(gè)圓，上面放置一塊10 cm厚的玻璃磚，并將該玻璃磚分別向操作者傾斜30°、45°、60°，而操作者則手持手機(jī)從側(cè)面也分別以30°、45°、60°的視角進(jìn)行拍攝，則獲得圖5中的三張照片，其中密切的虛線橢圓系筆者后期補(bǔ)上．由圖5可見，照片中橢圓(即視覺中的圓)的畸變并不大，但與玻璃磚的傾角及拍攝視角正相關(guān)，傾斜越大，畸變?cè)斤@著．

此外，倘若玻璃磚很薄即b→0，則由式(20)、(21)分別得xP′→0、yP′→-h．這就意味著玻璃磚可被忽略，此時(shí)無論視角大小、距離遠(yuǎn)近，像點(diǎn)與物點(diǎn)總基本重合，虛像與物體也基本重合，且兩者完全同步移動(dòng)．這便是人們通常使用薄玻璃窗戶的光學(xué)依據(jù)．

另外，從圖4中可以看到，雖然視角k可以趨于90°，即假設(shè)玻璃磚無限長(zhǎng)，兩個(gè)折射點(diǎn)均在x軸方向上無窮遠(yuǎn)處，并且人眼也是在∞遠(yuǎn)處觀察，但是像點(diǎn)卻在圖中k=90°的像點(diǎn)位置處，頗為有趣！筆者還發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：當(dāng)隔著玻璃磚去斜俯視一支橫著的鉛筆時(shí)，人眼會(huì)覺得鉛筆的虛像部分在實(shí)物的正上方或遠(yuǎn)上方，如圖6，而未必如圖4中那樣在近處上方．顯然，這是視角和人眼對(duì)遠(yuǎn)近的不敏感所帶來的錯(cuò)覺，正如圖2中那樣．

圖5 玻璃磚向內(nèi)傾角與近側(cè)拍視角一致時(shí)拍得的玻璃磚對(duì)面的圓

圖6 俯拍10 cm厚玻璃磚對(duì)面的鉛筆

6 空氣中的物點(diǎn)經(jīng)折射率線性變化介質(zhì)的折射成像

如圖7所示，設(shè)物點(diǎn)P到介質(zhì)下表面的垂直距離為h，介質(zhì)的厚度為b，介質(zhì)的折射率為n=n0-αy(此處α為比例常量)，故而介質(zhì)上、下表面的折射率分別為n0、n0+αb．顯然，此介質(zhì)中的折射光線是曲線，當(dāng)α>0時(shí)，越接近介質(zhì)的上表面，折射光線越平緩．

圖7 空氣中點(diǎn)P經(jīng)折射率線性變化介質(zhì)的折射成像示意圖

根據(jù)式(12)、(13)并結(jié)合圖7可得像點(diǎn)P′的坐標(biāo)為

(22)

(23)

經(jīng)積分得

(24)

(25)

其中n上、n下分別為圖7中介質(zhì)上、下表面的折射率n0和n0+αb．

若令h=0，b=1 m，n0=1.3，α=0.2 m-1，則有n上=1.3，n下=1.5．將這些數(shù)據(jù)代入式(24)、(25)，則得當(dāng)物點(diǎn)P處在介質(zhì)底部(圖7中Q點(diǎn))時(shí)，從介質(zhì)上方的空氣中所觀察到的虛像點(diǎn)位置坐標(biāo)xP′、yP′，進(jìn)而可作出此虛像點(diǎn)隨視角k的變化軌跡，如圖8所示．圖8中一同繪出在n=1.3,1.5的均勻介質(zhì)中的像點(diǎn)軌跡作為參照．由圖8可見，這里折射率按n=1.3-0.2y線性變化的介質(zhì)中的像點(diǎn)軌跡，正如預(yù)期，被夾在n=1.3,1.5兩均勻介質(zhì)中的像點(diǎn)軌跡之間，參見式(10)～(13)．圖9給出n=1.3-0.2y與n=1.4兩種介質(zhì)中的像點(diǎn)軌跡對(duì)比圖，表1為其具體數(shù)據(jù)．從表1可見，除了在k=80°～90°大視角時(shí)兩者像點(diǎn)的x坐標(biāo)存在近1 cm的差距外，其他像點(diǎn)坐標(biāo)之間的差距均很小，在視覺上幾乎可以被忽略(見圖9)．這就是說，除了在k=80°～90°的大視角情形下略有差別外，n=1.3-0.2y與n=1.4這兩種介質(zhì)在空氣中對(duì)物點(diǎn)P的折射成像幾乎等價(jià)！這一點(diǎn)確實(shí)有點(diǎn)出乎意料，卻又似在預(yù)料之中！事實(shí)上，即使是n上=1.2、n下=2如此大折射率跨距的線性變化介質(zhì)(n=1.2-0.8y)，它在空氣中對(duì)物點(diǎn)P的折射成像，與具有平均折射率n=1.6的均勻介質(zhì)相比，除了k=80°～90°的大視角情形外，像點(diǎn)位置也相當(dāng)接近，見圖10．

圖8 物點(diǎn)P分別經(jīng)n =1.3、1.3-0.2y、1.5三種介質(zhì)折射成像的像點(diǎn)位置隨視角k的變化軌跡

圖9 物點(diǎn)P分別經(jīng)n =1.3-0.2y、1.4兩種介質(zhì)折射成像的像點(diǎn)位置隨視角k的變化軌跡

表1 物點(diǎn)P分別經(jīng)n =1.3-0.2y, 1.4兩種介質(zhì)折射成像的像點(diǎn)坐標(biāo)及彼此差距

圖10 物點(diǎn)P分別經(jīng)4種介質(zhì)折射成像的像點(diǎn)位置隨視角k的變化軌跡

需要指出的是，若僅僅將圖7中的介質(zhì)上下顛倒，變成折射率自下而上線性遞增的介質(zhì)，那么從上文式(12)、(13)及式(22)、(23)易見，它對(duì)于空氣中物點(diǎn)P的折射成像位置(坐標(biāo))，在相同的視角k下將保持不變！于是可知，相應(yīng)的像點(diǎn)位置隨視角k的變化軌跡也將與圖8—圖10等完全一致．推而廣之，不難發(fā)現(xiàn)，若前后顛倒任何折射率按層(均勻或不均勻)變化的介質(zhì)，其外物點(diǎn)P的折射成像位置，在相同的視角下，也總是不變的！不難看出，這些性質(zhì)實(shí)際上是本文“疊加法則”的必然結(jié)果！

7 總結(jié)與鳴謝

在本文第1、2節(jié)中，筆者基于既往的研究心得，選擇了一種較為簡(jiǎn)便、自然的推理方法，推導(dǎo)出所謂的“物點(diǎn)經(jīng)多層平行介質(zhì)界面折射成像的疊加法則”．從理論上講，該方法同樣也適用于其它非平行介質(zhì)平面界面的折射成像推導(dǎo)．筆者以為，該“法則”是一個(gè)十分有意義的結(jié)論，使用方便．本文運(yùn)用該“法則”不僅解釋了游泳池中泳女的“身首分離”現(xiàn)象和方玻璃磚的成像特點(diǎn)，而且還計(jì)算出空氣中物點(diǎn)經(jīng)折射率線性變化介質(zhì)的折射成像位置，即式(24)、(25)．通過作圖，筆者發(fā)現(xiàn)，除了在k=80°～90°的大視角情形外，n=1.3-0.2y與n=1.4的這兩種1 m厚介質(zhì)，對(duì)于空氣中物點(diǎn)P的折射成像幾乎完全一致；此外，即使是1 m厚n=1.2-0.8y的這種大折射率跨距的線性介質(zhì)，它對(duì)空氣中物點(diǎn)P的折射成像位置，也與具有平均折射率n=1.6的均勻介質(zhì)相當(dāng)接近．當(dāng)然，如果保持線性介質(zhì)上、下表面的折射率n上、n下不變而減小介質(zhì)的厚度b(即增大α)，那么由式(20)、(21)、(24)、(25)可知，圖8—圖10中諸像點(diǎn)的坐標(biāo)將同步減小，即上述像點(diǎn)的位置將更加接近！

本文中“疊加法則”的一個(gè)必然的結(jié)果便是，若前后顛倒任何折射率按層(均勻或不均勻)變化的介質(zhì)，這對(duì)于介質(zhì)外物點(diǎn)P的折射成像結(jié)果，實(shí)際上別無二致！

致謝：本文近1/3的篇幅是在審稿老師及主編老師的敦促、啟發(fā)下得以完成和完善的，獲得很多新的發(fā)現(xiàn)．在此向兩位老師表示由衷的感謝！同時(shí)向《大學(xué)物理》雜志嚴(yán)謹(jǐn)、認(rèn)真的工作作風(fēng)致以敬意！