趙愛(ài)華 李昌成

(1.新疆烏魯木齊市教育研究中心 830002；2.新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

一、題目呈現(xiàn)

題目(2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)八省演練聯(lián)考，T22)已知函數(shù)f(x)=ex-sinx-cosx，g(x)=ex+sinx+cosx.

(2)若g(x)≥2+ax，求a.

二、總體認(rèn)識(shí)

1.略.2.本題較為新穎，通過(guò)基本初等函數(shù)之指數(shù)函數(shù)與正余弦函數(shù)和帶參一次函數(shù)命制成壓軸題，考查導(dǎo)數(shù)的重要知識(shí)，單調(diào)性、極值、最值、切線方程等.合理應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想解題非常關(guān)鍵.學(xué)生只有在基礎(chǔ)扎實(shí)，技能嫻熟的能力條件下，方可正確解答.本題還有一個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)，定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，失去邊界效應(yīng).本類試題在以往的高考中，定義域多為(-∞,m]或[m,+∞)或(-∞,m)或(m,+∞)型.

三、解法探究

1.從極值入手

分析1 將g(x)≥2+ax變形成g(x)-2-ax≥0，此題可以看作是一個(gè)利用函數(shù)極值與最值關(guān)系求值的問(wèn)題.通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化，問(wèn)題可以解決.

解法1 由g(x)=ex+sinx+cosx，g(x)≥2+ax,得

ex+sinx+cosx-2-ax≥0.

令φ(x)=ex+sinx+cosx-2-ax，

原問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為φ(x)≥0=φ(0)恒成立.

則φ′(x)=ex+cosx-sinx-a.

因?yàn)槎x域?yàn)镽，又φ(x)≥0=φ(0)，因此最小值φ(0)一定是極小值，所以0必須是φ(x)的極值點(diǎn).

于是φ′(0)=0，解得a=2.

事實(shí)上，當(dāng)a=2時(shí)，φ(x)≥0恒成立，下面證明之.

當(dāng)a=2時(shí)，φ(x)=ex+sinx+cosx-2-2x，

φ′(x)=ex+cosx-sinx-2,

φ′′(x)=ex-sinx-cosx.

結(jié)合函數(shù)y=ex的性質(zhì)，知

所以當(dāng)a=2時(shí)，φ(x)≥0恒成立.

評(píng)析顯然此解法較為繁瑣，尤其是充分性的證明，我們非常有必要再探索新途徑，尋找新解法.

2.利用排除法

分析2φ(x)=ex+sinx+cosx-2-ax在0處導(dǎo)函數(shù)值φ′(0)只有三種可能性，φ′(0)>0，φ′(0)<0，φ′(0)=0，通過(guò)計(jì)算論證排除兩種，第三種必然成立.

解法2 結(jié)合解法1,知φ′(x)=ex+cosx-sinx-a.

若φ′(0)>0，即2-a>0，解得a<2，則?x0<0，使得φ′(x0)=0，于是x∈(x0,0)時(shí)，φ′(x)>0.

那么φ(x)在(x0,0)上單調(diào)遞增，所以φ(x0)<φ(0)=0，此與已知矛盾；

同理，若φ′(0)<0，即2-a<0，解得a>2，則?x1>0，使得φ′(x1)=0，于是x∈(0,x1)時(shí)，φ′(x)<0.

那么φ(x)在(0，x1)上單調(diào)遞減，所以φ(x0)>φ(0)=0，此也與已知矛盾.

所以φ′(0)=0，即2-a=0,解得a=2.

3.借助導(dǎo)數(shù)定義求解

分析3 按x=0，x>0，x<0分類討論問(wèn)題，先求a的幾種范圍，再求交集得解.

解法3 由g(x)=ex+sinx+cosx及g(x)≥2+ax,得

ex+sinx+cosx-2≥ax.

(*)

(1)當(dāng)x=0時(shí)，(*)中等號(hào)成立，a∈R.

(2)當(dāng)x>0時(shí)，(*)變形為

(3)當(dāng)x<0時(shí)，(*)變形為

綜上，a=2.

4.數(shù)形結(jié)合，挖掘本質(zhì)

分析4g(x)≥2+ax恒成立，其本質(zhì)是左邊的曲線始終不在右邊的直線之下，而a恰好是右邊直線的斜率，因此我們需要尋找臨界位置——切線.

解法4 因?yàn)間(0)=e0+sin0+cos0=2，所以曲線y=g(x)和直線y=2+ax都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,2).結(jié)合函數(shù)圖象，只有當(dāng)直線y=2+ax在(0,2)處與y=φ(x)相切才滿足題意.否則，若直線與曲線相交，則不滿足題意.

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得g′(0)=a.

由g(x)=ex+sinx+cosx，得g′(x)=ex+cosx-sinx.

所以a=e0+cos0-sin0=2.

評(píng)析本解法實(shí)質(zhì)是借用了y=φ(x)在0附近的凹凸性，記g(x)=ex+sinx+cosx的最大負(fù)零點(diǎn)為t，當(dāng)x∈(t,+∞)時(shí)，y=φ(x)是凹函數(shù)，y=2+ax與g(x)=ex+sinx+cosx才滿足題意.這對(duì)中學(xué)生而言有一定的難度.

四、題型溯源

題1(2017年全國(guó)高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷理科第21題第(1)問(wèn))已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0，求a.

注由于x>0，f(x)≥0，即ax2-ax-xlnx≥0，進(jìn)而a(x-1)≥xlnx.這就是本題的同類題型了，y=xlnx的單調(diào)性較為清晰.同時(shí)，本題的端點(diǎn)值0具有提示作用，降低了難度.

題2(2017年全國(guó)高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷文科第21題第(2)問(wèn)) 設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

注因?yàn)閒(x)=(1-x2)ex在x∈[0,+∞)上是凸函數(shù)，故條件“x≥0時(shí)，f(x)≤ax+1”等價(jià)于“射線y=ax+1(x∈[0,+∞))位于曲線f(x)=(1-x2)ex在點(diǎn)x=0處的切線位置或其上方”.關(guān)鍵在于臨界位置——切線，這是本質(zhì)所在.

數(shù)形結(jié)合是突破這類題的關(guān)鍵，尤其是曲線與直線相切的恰當(dāng)使用.試題兼顧了基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性和綜合性.題目從“知識(shí)立意、能力立意”向“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向”轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)了高考的引導(dǎo)作用、選拔功能.刷題決不能突破這個(gè)層次的題目，我們的教學(xué)務(wù)必在能力和素養(yǎng)上下功夫.