胡貴平
(甘肅省白銀市第一中學(xué) 730900)
數(shù)學(xué)家波利亞曾說,“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅是一半,而更重要的是解題之后的回顧與反思.”數(shù)學(xué)問題的情境是多變的,如何透過情境抓住數(shù)學(xué)模型,找出問題中不變的本質(zhì),感悟出同類問題的解題規(guī)律和思路,解題之后的反思能極大限度地發(fā)揮解題功能,提升思維品質(zhì).
同一個(gè)問題,改變表述方式,從不同的角度提問,雖然知識(shí)側(cè)重點(diǎn)有所不同,但是認(rèn)清本質(zhì)特征,都在運(yùn)用同一個(gè)解題思維策略,同一個(gè)解題模型.通過對(duì)習(xí)題表征的反思,加深了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的領(lǐng)悟,促進(jìn)了知識(shí)的遷移,通過一個(gè)結(jié)構(gòu),反思到更高水平的結(jié)構(gòu),培養(yǎng)了思維的深刻性.
對(duì)問題本質(zhì)反思,構(gòu)造出不同于原來的新結(jié)構(gòu),可以提高認(rèn)知水平和思辨能力,引導(dǎo)題組訓(xùn)練,對(duì)于貌合神離的知識(shí)點(diǎn),改變細(xì)微的呈現(xiàn)形式,改變了提問視角,有效激活了原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的生長(zhǎng)點(diǎn).
解題之后類比,借助已有技能進(jìn)行反思,降低了理解接收新知的難度,把知識(shí)和方法融會(huì)貫通,應(yīng)用自如.通過類比再將問題進(jìn)行拓展和延伸,既強(qiáng)化了知識(shí)體系,又能夠使思維向縱向深處發(fā)展.
例2 (蘇教版必修2第105頁(yè)第7題)已知圓C的方程是x2+y2=r2,求證:經(jīng)過圓C上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程是x0x+y0y=r2.
分兩種情況考慮,當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),顯然切線方程為x=x0;當(dāng)切線的斜率存在時(shí),根據(jù)切線垂直于過切點(diǎn)的半徑,求出直線OM的斜率,則可求出切線的斜率,得到切線方程.從特殊到一般,改變圓的位置或點(diǎn)的位置,可以類比出以下常見題目.
類比1 已知圓C的方程是(x-x0)2+(y-y0)2=r2,經(jīng)過圓C上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
類比2 已知圓C的方程是x2+y2=r2,經(jīng)過圓C外一點(diǎn)M(x0,y0)的切線MA,MB,A,B是切點(diǎn),則切點(diǎn)弦AB所在直線方程是x0x+y0y=r2.
證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則圓C:x2+y2=r2在點(diǎn)A,B的切線方程是x1x+y1y=r2,x2x+y2y=r2,因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在兩切線上,所以是x1x0+y1y0=r2,x2x0+y2y0=r2,這表明點(diǎn)A,B的坐標(biāo)適合直線方程x0x+y0y=r2, 而過點(diǎn)A,B的直線是唯一的, 所以切點(diǎn)弦AB所在直線方程是x0x+y0y=r2.
類比3 過圓(x-x0)2+(y-y0)2=r2外一點(diǎn)M(x0,y0)作切線MA,MB,切點(diǎn)弦方程是(x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r2.
問題背景反思,關(guān)注探究和呈現(xiàn)方式,能體會(huì)題目所蘊(yùn)含的知識(shí)結(jié)構(gòu)與思想方法,數(shù)學(xué)問題是如何提出的,認(rèn)識(shí)是怎么逐步完善的,解決此類問題有何意義.從背景出發(fā),能否改變條件,能否反向推導(dǎo),找到發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的突破口,激發(fā)思維創(chuàng)新性.
這道題的幾何背景,為“阿波羅尼斯”圓.將上面題推廣到一般形式,這就是人教A版高中數(shù)學(xué)必修2(P144B組,2題)一道復(fù)習(xí)參考題.
推廣已知點(diǎn)M(x,y)與兩個(gè)定點(diǎn)M1,M2距離的比是一個(gè)正數(shù)m,求點(diǎn)M的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形(考慮m=1和m≠1兩種情形).
問題的推廣進(jìn)行反思,深挖知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵和外延,是對(duì)概念定理的二次加工,可以激發(fā)思維生長(zhǎng).
例4 (數(shù)學(xué)A版選擇性必修1)如圖,直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A、B兩點(diǎn).求證:OA⊥OB.
猜想逆命題,如果直線y=k(x-2p)與拋物線y2=2px相交于A、B兩點(diǎn).且OA⊥OB.那么直線過定點(diǎn)(2p,0).
對(duì)錯(cuò)誤的反思,剖析錯(cuò)誤的成因,挖掘錯(cuò)誤背后的“知識(shí)漏洞”和“思維缺陷”,然后有針對(duì)性地糾正錯(cuò)誤,培養(yǎng)探索意識(shí),激發(fā)思維批判性.
解題反思不僅能形成思維能力,還能建立網(wǎng)絡(luò)認(rèn)知結(jié)構(gòu),理解知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系,在反思中實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的發(fā)展.