廖永福

(福建省廈門第二中學 361009)

在近幾年的高考中，常用邏輯用語試題的題型、難度、分值保持相對穩(wěn)定，試題的主要形式是選擇題和填空題，難度以基礎題和中檔題為主，?？碱}型有：命題的否定、命題真假的判斷、充分條件和必要條件的判斷等.

一、命題的否定

簡單命題“若p，則q”的否定是“若p，則q”.

復合命題“p∧q”的否定是“p∨q”；“p∨q”的否定是“p∧q”.

全稱命題“?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，p(x)”；特稱命題“?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，p(x)”.

在寫一個命題的否定時，應先分清命題的類型，再按照相應的規(guī)則寫出它的否定，否則容易出錯.

例1 (2016·浙江卷)命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( ).

A．?x∈R，?n∈N*，使得n

B．?x∈R，?n∈N*，使得n

C．?x∈R，?n∈N*，使得n

D．?x∈R，?n∈N*，使得n

分析這是一個全稱命題，其中p(x)是“?n∈N*，使得n≥x2”，p(x)是“?n∈N*，使得n

解答命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“?x∈R，?n∈N*，使得n

點評本題考查全稱命題的否定，解答本題的關鍵是：①將全稱量詞改為存在量詞；②將結論加以否定，屬于基礎題.一般地，對于含有兩個量詞的命題的否定，應將兩個量詞同時改變，并否定結論.

變式1 (2015·全國卷Ⅰ)設命題p:?n∈N，n2>2n，則p為( ).

A．?n∈N，n2>2nB．?n∈N，n2≤2n

C．?n∈N，n2≤2nD．?n∈N，n2=2n

變式2 (2015·浙江卷)命題“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( ).

A.?n∈N*，f(n)?N*且f(n)>n

B.?n∈N*，f(n)?N*或f(n)>n

C.?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)>n0

D.?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0

答案：1.C；2.D.

二、判斷命題的真假

簡單命題真假的判斷：要判斷它是真命題，需要進行推理證明；要判斷它是假命題，舉出一個反例即可.

復合命題“p∧q”的真假可以根據“有假即假，都真才真”來判斷；“p∨q”的真假可以根據“有真即真，都假才假”來判斷.

全稱命題“?x∈M，p(x)”真假的判斷：要判斷它是真命題，必須對集合M中的每一個元素x，證明p(x)都成立；要判斷它是假命題，只要舉出集合M中的一個元素x0，使得p(x0)不成立即可.

特稱命題“?x∈M，p(x)”真假的判斷：要判斷它是真命題，只要在集合M中找到一個元素x0，使得p(x0)成立即可；要判斷它是假命題，需要對集合M中的每一個元素x，證明p(x)都不成立.

當一個命題的真假不易判斷時，可以轉化為判斷它的逆否命題的真假，因為它們同真同假；也可以轉化為判斷它的否定的真假，因為它們的真假正好相反.

例2 (2016·上海卷)設f(x)、g(x)、h(x)是定義域為R的三個函數，對于命題：①若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是增函數，則f(x)、g(x)、h(x)均是增函數；②若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是以T為周期的函數，則f(x)、g(x)、h(x)均是以T為周期的函數，下列判斷正確的是( ).

A.①和②均為真命題

B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題

D.①為假命題，②為真命題

分析①舉反例說明命題不成立；②根據定義得f(x)+g(x)=f(x+T)+g(x+T)，f(x)+h(x)=f(x+T)+h(x+T)，g(x)+h(x)=g(x+T)+h(x+T)，由此得出：g(x)=g(x+T)，h(x)=h(x+T)，f(x)=f(x+T)，即可判斷真假．

解答對于①，舉反例如下：設f(x)=2x，g(x)=-x，h(x)=3x，則f(x)+g(x)=x，f(x)+h(x)=5x，g(x)+h(x)=2x都是定義域R上的增函數，但g(x)=-x不是增函數，所以①是假命題；

對于②，根據周期函數的定義，f(x)+g(x)=f(x+T)+g(x+T)，f(x)+h(x)=f(x+T)+h(x+T)，g(x)+h(x)=g(x+T)+h(x+T)，前兩式作差可得：g(x)-h(x)=g(x+T)-h(x+T)，結合第三式可得：g(x)=g(x+T)，h(x)=h(x+T)，同理可得f(x)=f(x+T)，所以②是真命題．故選D.

點評本題考查了簡單命題真假的判斷、函數的單調性與周期性，考查了推理能力與運算能力，屬于中檔題．

①p∨q②p∨q③p∧q④p∧q

這四個命題中，所有真命題的編號是( ).

A.①③ B.①② C.②③ D.③④

圖1

在圖中畫出直線2x+y=9，2x+y≥9表示直線及其上方區(qū)域，可知命題p正確，畫出直線2x+y=12，2x+y≤12表示直線及其下方區(qū)域，可知命題q錯誤.

點評本題主要考查復合命題真假的判斷和線性規(guī)劃問題，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．

變式1 (2017·山東卷)已知命題p：?x>0，ln(x+1)>0；命題q：若a>b，則a2>b2，下列命題為真命題的是( ).

A.p∧qB.p∧qC.p∧qD.p∧q

變式2 (2020·全國卷Ⅱ)設有下列四個命題：

p1：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內．

p2：過空間中任意三點有且僅有一個平面．

p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行．

p4：若直線l?平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l．

則下述命題中所有真命題的序號是．

①p1∧p4;②p1∧p2;③p2∨p3;④p3∨p4.

答案:1.B；2.①③④.

三、判斷充分條件與必要條件

判斷充分條件與必要條件，本質上就是判斷命題的真假.常用的方法有：

1.定義法：若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若p?q，則p是q的充要條件，q也是p的充要條件.口訣：箭尾充分，箭頭必要.

2.集合法：設A={x|x滿足條件p}，B={x|x滿足條件q}，若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若A=B，則p是q的充要條件.口訣：小充分，大必要，等充要.

3.等價法：因為“p?q”等價于“q?p”，所以“p是q的充分條件”等價于“p是q的必要條件”；同理，“p是q的必要條件”等價于“p是q的充分條件”等等.

例4 (2020·浙江卷)已知空間中不過同一點的三條直線l，m，n．則“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的( ).

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

分析用定義法.將兩個條件相互推導，根據推導結果以及充分條件和必要條件的定義作出判斷．

解答空間中不過同一點的三條直線l，m，n，若l，m，n共面，則l，m，n兩兩相交或l，m，n有兩條平行，另一直線與之相交，或三條直線兩兩平行．

而若l，m，n兩兩相交，則l，m，n共面．

因此，“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的必要不充分條件，故選B.

點評本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查公理1和公理2的應用，屬于中檔題．

A.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充要條件 D.既非充分又非必要條件

點評本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查不等式的解法，屬于基礎題．

使用常用邏輯用語表達數學對象、進行數學推理，可以提高交流的嚴謹性和準確性，提升邏輯推理素養(yǎng).研讀高考試題，明確復習方向；品味解題方法，提高復習效率.