劉智剛， 楊曉軍， 彭 捷，2

（1.中國民航大學航空工程學院，天津300300；2.西北工業(yè)大學力學與土木建筑學院，西安710072）

0 引 言

拉瓦爾噴管（又稱收縮—擴張型噴管、縮放噴管）是一種典型的能量轉(zhuǎn)換裝置，氣體在其內(nèi)部流動過程中將熱焓能轉(zhuǎn)變?yōu)閯幽埽罱K獲得超聲速氣流［1］。這種型面先收縮后擴張的管道在航空航天［2-3］、超聲速風洞［4］、超細粉體制備［5-6］、輕工紡織［7］等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。拉瓦爾噴管的工作原理是工程熱力學、流體力學、氣體動力學等能源動力類專業(yè)基礎(chǔ)課程的重難點［8-9］，特別是背壓對流動狀態(tài)的影響由于參數(shù)煩多［10］，且涉及膨脹波與激波等抽象的氣體動力學概念，學生普遍反映難于理解。開展拉瓦爾噴管氣動性能實物實驗對氣源有很高要求，壓強探針對流場有嚴重干擾，且用于觀察激波現(xiàn)象的紋影儀［11］投入成本高，這些客觀因素都限制了本科階段相關(guān)內(nèi)容實驗教學的開展?；谟嬎懔黧w動力學（Computational Fluid

Dynamics，CFD）開發(fā)了拉瓦爾噴管虛擬仿真實驗項目，旨在借助CFD的可視化優(yōu)勢直觀形象地展示拉瓦爾噴管內(nèi)部流動過程和波系結(jié)構(gòu)，幫助學生順利掌握拉瓦爾噴管相關(guān)理論，使學生了解CFD分析流體流動問題的原理、步驟，激發(fā)學生的科研興趣。

1 拉瓦爾噴管氣動設(shè)計和數(shù)值仿真

1.1 拉瓦爾噴管氣動設(shè)計

型面設(shè)計是拉瓦爾噴管氣動設(shè)計的核心內(nèi)容，設(shè)計參數(shù)見表1。將空氣視為定比熱容完全氣體，認為流動過程是絕熱的，并忽略壁面摩擦損失，即假設(shè)總溫保持不變，而激波損失是造成總壓下降的唯一因素。依據(jù)一維氣動變截面管流理論開展喉部截面、出口截面等關(guān)鍵尺寸的設(shè)計計算，對噴管壁面型線進行分段設(shè)計得到初始型面，考慮真實氣體的黏性效應(yīng)作邊界層修正得到最終型面［12］。

表1 拉瓦爾噴管設(shè)計參數(shù)

臨界及超臨界工作狀態(tài)下，喉部達到聲速，即喉部馬赫數(shù)Mat=1、流量系數(shù)q（λt）=1，在喉部截面應(yīng)用流量：

由此可確定喉部截面面積At及直徑Dt。為使噴管出口氣流達到設(shè)計馬赫數(shù)Mae，出口截面面積Ae與At應(yīng)符合等熵面積比：

式中，κ為定熵指數(shù)，對于空氣κ取1.4。根據(jù)式（3）進一步得出出口截面面積Ae和直徑De。至此，拉瓦爾噴管兩個關(guān)鍵截面的尺寸Dt和De就得到了確定，前者取決于設(shè)計流量qm，后者則決定了出口截面馬赫數(shù)是否符合設(shè)計指標Mae。由收縮比和部截面面積At確定進口截面面積A0，本例中設(shè)計Mae=2.2，根據(jù)經(jīng)驗［12］收縮比取值為4，即A0=4At。按照分段設(shè)計原則分別對收縮段和擴張段展開設(shè)計。收縮段連接A0與At截面，其作用是使氣流均勻加速至聲速，提高擴張段的氣流品質(zhì)，改善流場的穩(wěn)定性、降低湍流度，采用維托辛斯基公式［13］進行設(shè)計。擴張段連接At與Ae截面，進一步細分為擴張前段和擴張后段，擴張前段的作用是把喉部的聲速來流變成源流，采用圓弧加直線［13］的方法完成設(shè)計，后段的作用是將源流等熵地變成直均流，依據(jù)普朗特-邁耶函數(shù)控制曲線折轉(zhuǎn)。

收縮段、擴張前段和擴張后段曲線相連就得到拉瓦爾噴管理想幾何型面。由于空氣的黏性作用，壁面附近存在邊界層流動，局部氣流速度遠低于主流速度，減小有效位流面積，造成噴管出口氣流馬赫數(shù)低于設(shè)計值；壁面黏性邊界層厚度不斷增加，會進一步改變波系形狀，導致出口氣流不均勻［14］。因此，必須修正噴管的位流曲線。具體措施是計算噴管各點邊界層位移厚度，將理想幾何型面向外推移，其距離等于當?shù)剡吔鐚游灰坪穸龋慈缦陆?jīng)驗公式完成邊界層修正［13］：

式中：δ*（x）為邊界層位移厚度；x為軸向坐標；α為線性修正角，在本例設(shè)計馬赫數(shù)條件下取值為0.5°。最終得到圖1所示的噴管壁面型線。

圖1 拉瓦爾噴管壁面型線

1.2 數(shù)值仿真及驗證

采用商用計算流體動力學分析工具NUMECA開展流場仿真?？紤]到模型和流場的對稱性，取通過中心軸線的二維截面作為計算域并進行結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分。為準確描述近壁邊界層流動狀態(tài)以及捕捉超聲速區(qū)域的正激波結(jié)構(gòu)，對全局網(wǎng)格進行了加密處理，最小網(wǎng)格尺寸為13μm，保證近壁雷諾數(shù)y+小于10，網(wǎng)格節(jié)點總數(shù)為600 194。壁面作絕熱處理，設(shè)定噴管進口總溫、總壓和背壓作為邊界條件，以空氣作為介質(zhì)對拉瓦爾噴管流場進行數(shù)值仿真計算，并通過調(diào)節(jié)背壓pb研究背壓變化對流動的影響。

為驗證數(shù)值仿真方法的合理性，將數(shù)值計算結(jié)果與理論分析進行比對。對于幾何尺寸給定的拉瓦爾噴管，當進口參數(shù)一定時，有一個特定的背壓條件，使噴管出口截面穩(wěn)定地存在一道正激波，該背壓條件標記為界限壓強ps。通過理論計算得出ps，將計算結(jié)果作為出口背壓施加在噴口截面進行流場仿真計算，觀察出口截面是否存在正激波。這道正激波可以認為是氣流膨脹加速到設(shè)計Mae=2.2，受到高背壓ps擾動而形成的，Mae與ps滿足正激波關(guān)系式：

式中，pe為出口達到設(shè)計馬赫數(shù)對應(yīng)的氣流靜壓，Pa。pe與Mae符合由氣體動力學函數(shù)關(guān)系，即

將表1中設(shè)計參數(shù)代入式（5）、（6）。得到ps=92.25 kPa，圖2所示為該背壓條件下的流場仿真結(jié)果，可觀察到正激波恰好位于出口截面，數(shù)值仿真與理論預測是吻合的。

圖2 p s=92.25 kPa時正激波處于噴管出口截面

2 超聲速噴管波渦干涉分析

圖3所示為正激波在擴張段內(nèi)（此時背壓高于ps）的典型流動過程，利用馬赫數(shù)分布云圖來展示超聲速區(qū)域的波系結(jié)構(gòu)。氣流在喉部達到聲速（Mat=1）后繼續(xù)均勻加速，在擴張段連接位置產(chǎn)生弱斜激波，馬赫數(shù)略有下降，但是超聲速氣流在擴張型通道內(nèi)膨脹加速的總趨勢未發(fā)生改變，馬赫數(shù)轉(zhuǎn)而繼續(xù)提高。由于噴管型面的對稱性，壁面產(chǎn)生的弱壓縮波相交在管道中心線上發(fā)生偏折，然后延伸至對側(cè)壁面。壓縮波相交之后仍然是壓縮波，馬赫數(shù)先略有降低再均勻提高。壓縮波在壁面處發(fā)生反射，衍生出反射壓縮波，緊鄰反射壓縮波的下游位置可以觀察到另外一道弱壓縮波。壓縮波相交之后的流場劃分為3區(qū)域：首先是交點下游、反射壓縮波包圍的穩(wěn)定超聲速區(qū)，氣流馬赫數(shù)均勻提高至2.17；其次是反射壓縮波與壁面包圍的低馬赫數(shù)區(qū)（上下對稱2個區(qū)域），馬赫數(shù)最高只達到2.09。超聲速氣流終止于一道正激波，然后急劇轉(zhuǎn)變?yōu)閬喡曀贇饬?。正激波下游的亞聲速氣流在擴張型通道內(nèi)減速流動，馬赫數(shù)沿流向逐漸降低?？梢姡げㄖ蟮牧鲌鲆矊?yīng)地分為3個區(qū)域：中心區(qū)域馬赫數(shù)較低、兩側(cè)對稱區(qū)域馬赫數(shù)略高，即波前馬赫數(shù)越高，正激波造成的速度下降越嚴重。

圖3 位于擴張段時正激波的典型波系結(jié)構(gòu)

圖4～6所示分別給出了馬赫數(shù)Ma、靜壓系數(shù)cp及總壓恢復系數(shù)σ沿噴管中心線的發(fā)展變化規(guī)律，其中cp和σ分別定義如下：

圖4 不同背壓條件下馬赫數(shù)發(fā)展變化規(guī)律

式中，p、p*分別為當?shù)仂o壓和總壓，Pa。圖中的6種背壓條件分別為亞臨界狀態(tài)（pb/p*=0.944 4）、臨界狀態(tài)（pb/p*=0.932 3）、擴張段正激波狀態(tài)（pb/p*分別為0.833 3、0.533 3和0.523 2）及出口正激波狀態(tài)（pb/p*=0.512 5）。亞臨界狀態(tài)和臨界狀態(tài)下，收縮段加速膨脹、擴張段擴散增壓，區(qū)別在于臨界狀態(tài)時喉部（流向距離x約為0.12 m）達到聲速。其余4種狀態(tài)靜壓呈現(xiàn)沿途下降的趨勢，直到正激波發(fā)生突增階躍。曲線斜率表明，喉部截面之后的區(qū)域壓強下降速率更快，即超聲速氣流的膨脹加速比亞聲速更劇烈。每經(jīng)過一次弱壓縮波，曲線斜率減小，氣流膨脹過程逐漸均勻緩和?？倝鹤兓f明正激波的波阻損失是造成流動損失的主要因素，背壓越低，則激波越靠近噴管出口，且激波前馬赫數(shù)越高，對應(yīng)的總壓損失越大，例如pb/p*=0.533 3時總壓損失接近40%。緊鄰激波波面的壁面附近可明顯觀察到氣流分離現(xiàn)象（見圖7）。正激波造成了靜壓階躍，形成逆壓力梯度，而壁面邊界層內(nèi)氣體流速及動量較低，逆壓流動能力弱，產(chǎn)生了回流區(qū)。圖7還表明，波前馬赫數(shù)越高，激波強度越大，則回流區(qū)范圍越大，對主流的影響越顯著。

圖7 激波誘導邊界層分離

圖5 不同背壓條件下靜壓發(fā)展變化規(guī)律

圖6 不同背壓條件下總壓的恢復系數(shù)

仿真結(jié)果顯示：（1）噴管出口背壓作為一種擾動，以正激波的形式影響噴管內(nèi)的流動過程，并直接影響激波截面與出口截面之間亞聲速區(qū)域的流動過程，而激波上游的亞聲速區(qū)（收縮段）和超聲速區(qū)不直接感受背壓擾動的影響，即擾動無法在超聲速氣流中向上游傳播；（2）來流條件一定時，擴張段激波的位置隨背壓變化而發(fā)生改變，低背壓條件下激波靠近出口截面、高背壓條件下激波靠近喉部截面；（3）隨著背壓的降低，超聲速氣流發(fā)展越充分，馬赫數(shù)越高，激波對氣流的影響越顯著，高背壓條件則與之相反。作為一個教學驗證型實驗項目，數(shù)值仿真結(jié)果與氣體動力學講授的波系理論、變截面管流理論完全吻合，對學生理解拉瓦爾噴管流動過程、波的相交與反射、微弱擾動傳播規(guī)律等課程難點都有很大幫助。計算結(jié)果能夠直觀展示激波作用造成的可用能損失（即總壓損失）、波面下游的壓強階躍現(xiàn)象，而激波主導的逆壓力梯度誘發(fā)邊界層分離［15］更是突破了教材原有知識的限制，有助于學生更深刻的理解激波特性。

3 聲速線和正激波形成機理仿真

拉瓦爾噴管的臨界狀態(tài)是指氣流在收縮段加速至聲速、擴張段轉(zhuǎn)而減速的狀態(tài)，如圖8所示為臨界狀態(tài)及附近鄰域的9個仿真結(jié)果，清晰地展示了聲速線和正激波形成過程，為便于分析，圖中僅給出了噴管喉部附近跨聲速區(qū)域，即局部Ma≥0.8的區(qū)域。圖8（a）為亞臨界狀態(tài)，8（b）顯示聲速泡（Ma=1的等值線）首先出現(xiàn)在喉部壁面的凸點處，并隨著背壓的降低而逐漸向中心線擴展，如圖8（c）、（d）所示。當背壓降低至特定數(shù)值時，2個聲速泡連接在一起，貫穿喉部截面的聲速線正式形成，得到如圖8（e）所示的臨界狀態(tài)，這一數(shù)值由喉部面積、噴管出口面積及進口總壓共同確定。隨著背壓的下降，Ma=1的等值線包圍的超聲速區(qū)域逐漸擴大，如圖8（f）、（g）所示，其顯著特征是前半分支穩(wěn)定的存在于喉部截面，上游氣流參數(shù)不再受背壓變化的影響；后半分支則向下游逐漸移動，并受下游亞聲速區(qū)域高壓氣流的壓縮而形成壓縮波。圖8（g）～（i）表明，與聲速泡的首先出現(xiàn)位置類似，最高氣流速度、最高馬赫數(shù)均出現(xiàn)在壁面凸點處，壓縮波也首先在此處出現(xiàn)。隨著超聲速區(qū)域馬赫數(shù)的提高，壓縮波匯聚形成超聲速區(qū)與亞聲速區(qū)的強間斷面，以尾激波的形式進一步向中心線靠攏并連接形成正激波，這道正激波隨背壓的降低而向噴管出口推進。需要指出的是，需精細調(diào)節(jié)背壓pb才能精確捕捉到圖8（e）中聲速泡相連形成聲速線的臨界狀態(tài)圖像，而實物實驗是很難做到這一點的。

圖8 聲速線和正激波的形成

4 實驗項目應(yīng)用

開發(fā)了2種模式面向?qū)W生開放實驗項目。第1種模式以觀察拉瓦爾噴管內(nèi)部流動過程中物理現(xiàn)象為重點，教學目標是使學生掌握拉瓦爾噴管流動規(guī)律，該模式適用于低年級專業(yè)基礎(chǔ)課實驗教學。實驗準備階段，指導教師課前以出口背壓為變量，計算并存儲給定進口參數(shù)、不同背壓條件下的流動仿真結(jié)果（.cgns格式），并編寫腳本文件（.py格式）。指導學生以批處理的方式快速調(diào)用仿真結(jié)果，可視化呈現(xiàn)馬赫數(shù)、靜壓、速度等物理量的變化規(guī)律，對流動現(xiàn)象和內(nèi)在機理予以解釋，指導學生重點關(guān)注氣體流動的過程和物理現(xiàn)象。第2種模式以計算流體動力學基本原理、分析問題的步驟為訓練重點，指導學生完成“前處理（劃分網(wǎng)格）—設(shè)置參數(shù)開展仿真計算—后處理（流場分析）”的完整操作，以拉瓦爾噴管氣動性能研究為例了解計算流體動力學分析問題的方法，可以深入開展激波誘導邊界層分離的臨界條件等問題的研究，該模式可為高年級學生參與課題研究、創(chuàng)新性競賽項目打下基礎(chǔ)。

5 結(jié) 語

本文基于一維氣動變截面管流理論設(shè)計了一款拉瓦爾噴管，并利用計算流體動力學流場仿真技術(shù)分析了噴管流動特性，可視化地展示了超聲速流動的波系結(jié)構(gòu)和波渦干涉現(xiàn)象。通過分析馬赫數(shù)、靜壓和總壓等關(guān)鍵氣動參數(shù)，研究了不同背壓條件下的氣體流動過程，獲得了與經(jīng)典一維氣動理論一致的結(jié)果，可作為演示驗證型實驗項目面向?qū)W生開放。虛擬分析中發(fā)現(xiàn)的激波誘導邊界層分離現(xiàn)象和聲速線形成過程不拘泥于課本知識，可加深學生對變截面管流理論的理解，該仿真實驗項目已經(jīng)在氣體動力學課程教學中得到了應(yīng)用。