楊繼鑫，王久和，，王 勉，唐 芬，王振業(yè)

（1.北京信息科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，北京 100192；2.北京交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，北京 100044）

直流微網(wǎng)DCMG（DC microgrid）由于具有損耗低，控制簡(jiǎn)單，無(wú)無(wú)功環(huán)流和頻率穩(wěn)定，只需保證直流母線電壓穩(wěn)定，可以更好地集成分布式電源、儲(chǔ)能裝置等一系列優(yōu)勢(shì)，現(xiàn)已應(yīng)用到艦船、數(shù)據(jù)中心、航天飛機(jī)等領(lǐng)域中[1-4]。

變換器級(jí)聯(lián)是DCMG 中最基本的聯(lián)接形式[5]，如圖1所示。分布式電源系統(tǒng)DGS（distributed gen?eration system）、能量存儲(chǔ)系統(tǒng)ESS（energy storage system）等通過(guò)源變換器接入直流母線，給負(fù)載進(jìn)行供電，而負(fù)載一般通過(guò)閉環(huán)控制的負(fù)載變換器接入直流母線，因此，負(fù)載變換器的輸入端呈現(xiàn)恒功率特性，可視為恒功率負(fù)載CPL（constant power load）。由于微網(wǎng)系統(tǒng)為低慣性網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[6]，若CPL大幅度增加，在變換器的非線性特性以及CPL的負(fù)阻抗特性下，可能會(huì)出現(xiàn)直流母線電壓的大幅振蕩甚至失穩(wěn)的情況。

圖1 級(jí)聯(lián)變換器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Topology of cascaded converter

近年來(lái)，在DCMG 中，變換器的控制主要有線性控制策略及非線性控制策略。由于線性控制策略難以保證系統(tǒng)獲得較好的動(dòng)態(tài)性能和大范圍工作的穩(wěn)定性[7-8]，因此，非線性控制策略的研究取得了很大的進(jìn)展。

非線性控制策略主要有滑?？刂?、反步控制[8]、自抗擾控制[9]及無(wú)源控制PBC（passivity-based con?trol）等，經(jīng)過(guò)眾多學(xué)者的研究與完善，上述控制策略取得了一定的效果。然而，滑?？刂祁l繁高速的開(kāi)關(guān)切換會(huì)帶來(lái)高頻抖動(dòng)；反步控制和自抗擾控制的參數(shù)選取較為復(fù)雜；而PBC策略是從系統(tǒng)能量角度出發(fā)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，可以使非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)得到簡(jiǎn)化，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定，使控制效果更加理想[10]。

因此，本文對(duì)級(jí)聯(lián)變換器進(jìn)行PBC 器的設(shè)計(jì)，提高了變換器的動(dòng)態(tài)性能。在采用PBC策略時(shí)，由于誤差能量的耗散特性，會(huì)使變換器的工作平衡點(diǎn)與期望平衡點(diǎn)存在較小的靜態(tài)誤差。為消除靜態(tài)誤差問(wèn)題，電壓外環(huán)采用PI 控制，從而形成電流內(nèi)環(huán)為PBC，電壓外環(huán)為PI控制的混合PBC策略。

目前，尚未有文獻(xiàn)對(duì)混合PBC的級(jí)聯(lián)變換器系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行研究。

關(guān)于直流配電系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法主要有基于阻抗模型的小信號(hào)穩(wěn)定性分析方法[11-13]和基于Lyapunov的大信號(hào)穩(wěn)定性分析方法[14-15]。小信號(hào)穩(wěn)定性分析方法只能分析系統(tǒng)靜態(tài)工作點(diǎn)附近的穩(wěn)定，對(duì)于大信號(hào)擾動(dòng)，則需要采用大信號(hào)穩(wěn)定性分析法，同時(shí)，只要保證系統(tǒng)的大信號(hào)穩(wěn)定，則系統(tǒng)一定滿足小信號(hào)穩(wěn)定，反之則不一定成立。大信號(hào)穩(wěn)定性分析方法主要有Takagi-Sugeno（TS）法、反向軌跡跟蹤法和基于混合勢(shì)函數(shù)理論Brayton- Moser（BM）法等。但是TS法的復(fù)雜性隨非線性階數(shù)增加呈指數(shù)性增長(zhǎng)，所以不適用于高階系統(tǒng)；反向軌跡跟蹤法只能做出穩(wěn)定區(qū)域的圖形，卻無(wú)法給出系統(tǒng)穩(wěn)定邊界準(zhǔn)確的表達(dá)式，所以不適用于理論分析；而B(niǎo)M 法可以以解析形式推導(dǎo)出系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定域，進(jìn)行電路參數(shù)及控制參數(shù)的設(shè)計(jì)，因此，BM法已被廣泛應(yīng)用到非線性系統(tǒng)的大信號(hào)穩(wěn)定性分析中[5，16-17]。

綜上，本文以級(jí)聯(lián)Buck 變換器為例進(jìn)行混合PBC 器的設(shè)計(jì)，在此基礎(chǔ)上，采用基于混合勢(shì)函數(shù)理論的BM 法對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定性分析，從而得到級(jí)聯(lián)Buck 變換器系統(tǒng)的大信號(hào)穩(wěn)定性判據(jù)。最后通過(guò)仿真研究表明，本文所得的大信號(hào)穩(wěn)定性判據(jù)是正確的；同時(shí)相比雙PI 閉環(huán)控制策略，采用混合PBC策略的變換器可獲得更好的動(dòng)態(tài)性能。

1 級(jí)聯(lián)變換器模型與混合PBC

1.1 級(jí)聯(lián)變換器數(shù)學(xué)模型與無(wú)源性分析

本文所研究的級(jí)聯(lián)變換器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2 所示，源變換器和負(fù)載變換器均為Buck 變換器。其中，vs為DGS 或ESS 的輸出電壓；r1、L1分別為源變換器的寄生電阻和電感；C1為直流側(cè)輸出電容；r2、L2分別為負(fù)載變換器的寄生電阻和電感；C2為負(fù)載側(cè)輸出電容；R為負(fù)載電阻；S1、S2分別為源變換器和負(fù)載變換器的開(kāi)關(guān)管；D1，D2為二極管；vdc為直流母線電壓；vo為負(fù)載變換器輸出電壓；idc為流經(jīng)L1的電感電流；i1為流入負(fù)載變換器的電流；io為流經(jīng)L2的電感電流。

圖2 級(jí)聯(lián)Buck 變換器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.2 Topology of cascaded Buck converter

1）建立源變換器和負(fù)載變換器的模型

由圖2 可得源變換器和負(fù)載變換器的平均狀態(tài)空間模型分別為

式中：PCPL為負(fù)載變換器所需的功率；g、D分別為源變換器和負(fù)載變換器調(diào)制信號(hào)的占空比。

源變換器和負(fù)載變換器的歐拉-拉格朗日EL（Euler-Lagrange）模型分別為

2）分析源變換器的無(wú)源性

將式（1）的第1個(gè)方程左右兩邊都乘以idc，第2個(gè)方程左右兩邊都乘以vdc可得

將式（5）的第1個(gè)方程和第2個(gè)方程相加可得

因?yàn)閞1>0，PCPL>0，所以，源變換器滿足無(wú)源性條件[10]，而負(fù)載變換器無(wú)源性的證明與源變換器類(lèi)似，同樣可證負(fù)載變換器滿足無(wú)源性條件。因此，可對(duì)級(jí)聯(lián)Buck變換器進(jìn)行PBC器的設(shè)計(jì)。

1.2 混合PBC 器設(shè)計(jì)

1）對(duì)級(jí)聯(lián)變換器進(jìn)行PBC器設(shè)計(jì)

式中：Voref為負(fù)載變換器輸出電壓的期望值；Ioref為負(fù)載變換器電感電流的期望值；rb1為負(fù)載變換器的注入阻尼。

2）混合PBC器基本結(jié)構(gòu)

為消除采用PBC器時(shí)產(chǎn)生的靜態(tài)誤差，電壓外環(huán)采用PI控制，源變換器和負(fù)載變換器的混合PBC框圖分別如圖3（a）、圖3（b）所示。

圖3 混合PBC 框圖Fig.3 Block diagram of hybrid passivity-based control

由圖3可得，Idcref、Ioref的表達(dá)式分別為

式中：kp1、ki1分別為PI1控制器的比例、積分常系數(shù)；kp2、ki2分別為PI2控制器的比例、積分常系數(shù)。

3）混合PBC與PBC穩(wěn)態(tài)分析對(duì)比

圖4 為源變換器帶5 kW CPL 分別采用混合PBC和PBC時(shí)達(dá)到的穩(wěn)態(tài)直流母線電壓。由圖4（b）可知，采用PBC 時(shí)，母線電壓存在著一定的靜態(tài)誤差，由于源變換器中寄生電阻的存在，這種誤差會(huì)更加明顯；而由圖4（a）可知，采用混合PBC 時(shí)能夠消除PBC存在的靜態(tài)誤差。

圖4 穩(wěn)態(tài)直流母線電壓Fig.4 Steady-state DC bus voltage

2 級(jí)聯(lián)Buck 變換器大信號(hào)穩(wěn)定性

2.1 混合勢(shì)函數(shù)理論簡(jiǎn)介

混合勢(shì)函數(shù)理論最早是由學(xué)者R.K.Brayton和J.K.Moser 于1964年提出。根據(jù)該理論，非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示為

式中：L、C分別為電路中的電感和電容；iσ為流過(guò)電感器的電流；vσ為電容器兩端的電壓；P（i，v）為混合勢(shì)函數(shù)。

混合勢(shì)函數(shù)P（i，v）是一種Lyapunov 型的能量函數(shù)，由系統(tǒng)中的電流勢(shì)函數(shù)和電壓勢(shì)函數(shù)構(gòu)成，其統(tǒng)一表達(dá)式為

式中：A（i）為電路中非儲(chǔ)能元件的電流勢(shì)函數(shù)；B（v）為電路中非儲(chǔ)能元件的電壓勢(shì)函數(shù)；（i，γv-α）由電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)決定，表示電路中電容器的能量和部分非儲(chǔ)能元件的能量。同時(shí)，可通過(guò)式（20）來(lái)驗(yàn)證所構(gòu)造的混合勢(shì)函數(shù)的正確性。

本文利用混合勢(shì)函數(shù)理論的穩(wěn)定性定理來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。假設(shè)Aii(i)=?2A(i)/?i2，Bvv(v)=?2B(v)/?v2，μ1為L(zhǎng)-1/2Aii(i)L-1/2的最小特征值，μ2為C-1/2Bvv(v)C-1/2的最小特征值，若滿足

式中：Pi為P（i，v）對(duì)電流的偏導(dǎo)；Pv為P（i，v）對(duì)電壓的偏導(dǎo)。

則系統(tǒng)所有解都趨于穩(wěn)定工作點(diǎn)，系統(tǒng)可以穩(wěn)定運(yùn)行。

2.2 級(jí)聯(lián)Buck 變換器混合勢(shì)函數(shù)

文獻(xiàn)[16-18]將閉環(huán)控制的負(fù)載變換器等效為理想的CPL進(jìn)行大信號(hào)穩(wěn)定性分析，而文獻(xiàn)[5]指出，實(shí)際CPL與理想CPL之間存在著一定的差異，導(dǎo)致推導(dǎo)出的大信號(hào)穩(wěn)定性判據(jù)具有一定的保守性。因此，本文采用文獻(xiàn)[5]對(duì)CPL的分析方法。

源變換器和負(fù)載變換器由于電流內(nèi)環(huán)控制器的存在，使源變換器和負(fù)載變換器可以等效為受控電流源。因此，級(jí)聯(lián)Buck變換器的等效電路如圖5所示。

圖5 級(jí)聯(lián)Buck 變換器的等效電路Fig.5 Equivalent circuit of cascaded Buck converter

級(jí)聯(lián)Buck變換器的混合勢(shì)函數(shù)可表示為

當(dāng)源變換器的PBC 器選擇合適的注入阻尼ra1時(shí)，可實(shí)現(xiàn)電感電流idc能快速跟蹤電感電流期望值Idcref。因此，idc可以表示為

式中：kSvp為源變換器電壓外環(huán)PI控制器的比例系數(shù)；kLip為負(fù)載變換器電流內(nèi)環(huán)PI控制器的比例系數(shù)。

對(duì)比式（34）、式（35）可得混合PBC的級(jí)聯(lián)Buck變換器的大信號(hào)穩(wěn)定性判據(jù)更加簡(jiǎn)單，能更方便地判斷、分析級(jí)聯(lián)變換器系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 仿真分析

為驗(yàn)證本文所得的大信號(hào)穩(wěn)定性判據(jù)的正確性以及混合PBC 策略的優(yōu)越性，在Matlab/Simulink中搭建如圖2所示的仿真模型，源變換器和負(fù)載變換器的仿真參數(shù)見(jiàn)表1 和表2，變換器的開(kāi)關(guān)頻率fs均為10 kHz。

表1 源變換器參數(shù)Tab.1 Parameters of source converter

表2 負(fù)載變換器參數(shù)Tab.2 Parameters of load converter

由式（34）及系統(tǒng)參數(shù)可得級(jí)聯(lián)Buck 變換器的大信號(hào)穩(wěn)定性邊界如圖6所示。

圖6 級(jí)聯(lián)變換器的大信號(hào)穩(wěn)定性邊界Fig.6 Large-signal stability boundary of cascaded converter

由式（34）可知，當(dāng)PCPL=5 kW 時(shí)，需滿足kp1>0.032 ；當(dāng)PCPL=10 kW 時(shí)，需滿足kp1>0.063，級(jí)聯(lián)變換器系統(tǒng)才能保持穩(wěn)定。

設(shè)置系統(tǒng)擾動(dòng)為直流側(cè)輸出電容器C1充電電壓為300 V，負(fù)載變換器初始功率為5 kW，2 s 時(shí)負(fù)載變換器功率突變?yōu)?0 kW進(jìn)行仿真，直流母線電壓仿真結(jié)果如圖7所示。

由圖7（a）可以看出，取kp1=0.032，直流母線電壓發(fā)生大幅振蕩，級(jí)聯(lián)變換器系統(tǒng)失穩(wěn)。由圖7（b）可以看出，取kp1=0.034，當(dāng)PCPL=5 kW 時(shí)，級(jí)聯(lián)變換器系統(tǒng)保持穩(wěn)定；而當(dāng)PCPL=10 kW 時(shí)，直流母線電壓發(fā)生大幅振蕩，級(jí)聯(lián)變換器系統(tǒng)失穩(wěn)。由圖7（c）可以看出，取kp1=0.064，當(dāng)CPL 功率變化時(shí)，級(jí)聯(lián)變換器系統(tǒng)可以保持穩(wěn)定。綜上，仿真結(jié)果與計(jì)算結(jié)果一致，從而證明本文所得的大信號(hào)穩(wěn)定性判據(jù)是正確的。

圖7 直流母線電壓波動(dòng)Fig.7 Fluctuations of DC bus voltage

取kp1=1，系統(tǒng)擾動(dòng)設(shè)置為1 s 時(shí)，負(fù)載功率由5 kW突增為10 kW，2.5 s時(shí)，負(fù)載功率又突減為5 kW。圖8、圖9 為級(jí)聯(lián)Buck 變換器分別采用混合PBC 和雙PI 閉環(huán)控制時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)圖。其中，雙PI 閉環(huán)控制器的參數(shù)值可通過(guò)建立電壓外環(huán)與電流內(nèi)環(huán)閉環(huán)小信號(hào)模型，采用典型二階系統(tǒng)參數(shù)整定方法并經(jīng)過(guò)一定的調(diào)試得到，其設(shè)計(jì)值如表3所示。

圖8 混合無(wú)源控制下的級(jí)聯(lián)變換器系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.8 Dynamic response of cascaded converter system under hybrid passivity-based control

圖9 雙PI 閉環(huán)控制下的級(jí)聯(lián)變換器系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.9 Dynamic response of cascaded converter system under double PI closed-loop control

表3 雙PI 閉環(huán)控制器的參數(shù)值Tab.3 Parameters of double PI closed-loop controller

由圖8、圖9的仿真結(jié)果可得，相比于雙PI閉環(huán)控制策略，采用混合PBC 策略的級(jí)聯(lián)變換器的直流母線電壓vdc的波動(dòng)范圍減小10 V 左右，負(fù)載輸出電壓vo的波動(dòng)范圍減小3 V左右，同時(shí)電壓恢復(fù)時(shí)間更短，因此，級(jí)聯(lián)變換器系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能有所改善。

4 結(jié) 論

本文對(duì)級(jí)聯(lián)Buck 變換器進(jìn)行混合PBC 器的設(shè)計(jì)以及大信號(hào)穩(wěn)定性的分析，通過(guò)仿真結(jié)果驗(yàn)證，得到以下結(jié)論：

（1）采用混合PBC策略的級(jí)聯(lián)變換器可獲得較好的動(dòng)、靜態(tài)性能，具有可調(diào)參數(shù)少魯棒性能較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)；

（2）采用基于混合勢(shì)函數(shù)理論的BM 方法對(duì)級(jí)聯(lián)變換器進(jìn)行分析，得到的大信號(hào)穩(wěn)定判據(jù)簡(jiǎn)單，可以更容易地分析與判斷級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的大信號(hào)穩(wěn)定性。

綜上，本文的控制策略和大信號(hào)穩(wěn)定判據(jù)可對(duì)工程實(shí)際應(yīng)用提供一定的借鑒意義。