肖 峻，莫少雄，秋澤楷

（天津大學智能電網(wǎng)教育部重點實驗室，天津 300072）

近年來，配電網(wǎng)“源荷”的直流特征日益明顯，相比于交流配電網(wǎng)，直流配電網(wǎng)更利于光伏等直流電源及電動汽車等直流負荷的接入。另一方面，城市用電負荷日益密集，交流配電網(wǎng)面臨線路走廊緊缺、供電容量擴展受限的問題[1]，而直流配電網(wǎng)能有效提高供電容量[2]。在此背景下，基于電壓源換流器VSC（voltage source converter）的柔性直流配電網(wǎng)（簡稱柔直網(wǎng)）成為研究熱點[1，3，4]，并已在城區(qū)、工業(yè)園區(qū)、大學校區(qū)建成示范工程[5]。

安全性是配電網(wǎng)運行的基本要求。目前，國內(nèi)外學者多從控制策略優(yōu)化角度提高柔直網(wǎng)安全性。文獻[6]提出了柔直網(wǎng)分層協(xié)調(diào)控制架構(gòu)，可兼顧運行成本與電壓越限概率，維持直流電壓穩(wěn)定，實現(xiàn)源荷設備依序按可調(diào)功率裕度之比出力；文獻[7]提出了考慮功率裕度并附加定直流電壓控制的柔直網(wǎng)自組織下垂控制優(yōu)化方案，可降低換流站過載風險，實現(xiàn)電壓無差調(diào)節(jié)。在調(diào)度方面，文獻[8]提出了反映柔直網(wǎng)下垂控制下功率和電壓平衡狀態(tài)的指標，為柔直網(wǎng)實時調(diào)度提供安全性判據(jù)；文獻[9]提出了柔直網(wǎng)雙時間尺度調(diào)度策略以平衡經(jīng)濟效益與安全性，其安全性是通過優(yōu)化下垂系數(shù)改善電壓分布、考慮控制器對不平衡功率響應來實現(xiàn)。上述文獻均未確定柔直網(wǎng)調(diào)度運行邊界，難以獲得柔直網(wǎng)整體安全性測度與工作點安全裕度，不利于實現(xiàn)柔直網(wǎng)安全態(tài)勢感知[10]和預防控制[11]。

域是系統(tǒng)在給定約束下的最大允許運行范圍[12]，確定域是研究系統(tǒng)的基本問題。確定域后，可根據(jù)工作點是否在域內(nèi)判斷系統(tǒng)狀態(tài)是否安全，并采取預防控制措施[11]，提高安全裕度。準確刻畫域邊界后，調(diào)度員才可將系統(tǒng)運行于接近邊界的高效區(qū)域，從而提高系統(tǒng)效率。有學者針對交流配電網(wǎng)，提出了配電安全域DSSR（distribution system se?curity region）的概念和方法[12]，并形成理論體系[10-14]，其方法體現(xiàn)出速度快、可觀測、安全信息豐富的優(yōu)勢[13]。DSSR 的概念和方法還擴展到艦船直流系統(tǒng)[15]與綜合能源系統(tǒng)[16]。

目前，DSSR 研究主要基于N-1 安全準則，但在配電網(wǎng)運行的大部分時間，N-1事件概率不高，即使工作點越出N-1邊界，當滿足正常運行時的安全約束，配電網(wǎng)仍可正常運行，調(diào)度員既可采取預防控制措施，也可暫時觀察不采取措施，但前提是清晰界定正常運行范圍，即運行域。文獻[17]提出了主動配電網(wǎng)中分布式電源和微網(wǎng)運行域的概念、模型與算法。文獻[18]提出了三相不平衡配電網(wǎng)的分布式電源運行域仿射求解算法，運算速度較文獻[17]有所提高。上述研究均采用仿真法，未得到域表達式，難以反映運行域完整邊界。文獻[14]建立了交流配電網(wǎng)運行域模型，采用解析法求得能反映運行域完整邊界的域表達式。

由于柔直網(wǎng)具有最大允許運行范圍，通過對運行域的研究能刻畫出柔直網(wǎng)的調(diào)度運行邊界。對于柔直網(wǎng)存在的動態(tài)穩(wěn)定問題[6，7]，其運行域的研究需分靜態(tài)和動態(tài)兩步進行，本文只研究了其靜態(tài)運行域。目前，現(xiàn)有交流配電網(wǎng)運行域模型不再適用柔直網(wǎng)，因此，本文提出了柔性直流配電網(wǎng)的靜態(tài)運行域模型。首先討論網(wǎng)絡接線模式與穩(wěn)態(tài)運行特性，然后給出靜態(tài)運行域模型與求解方法，最后采用算例在不同控制策略下進行了驗證與分析。

1 接線模式與穩(wěn)態(tài)運行特性

1.1 柔直網(wǎng)接線模式

柔直網(wǎng)的接線模式有輻射狀、單聯(lián)絡、環(huán)狀、三端互聯(lián)等[2，5]，其中單聯(lián)絡接線能兼顧可靠性與經(jīng)濟性，獲得更多青睞。單聯(lián)絡柔直網(wǎng)示意如圖1 所示，兩端交流系統(tǒng)經(jīng)換流站VSC1、VSC2連接到中壓直流母線，再向饋線輸送直流電。直流斷路器將饋線分隔為n+1個饋線段，形成n個節(jié)點，各節(jié)點通過DC-DC或DC-AC適配器（圖中未畫出）連接直流或交流負荷。

圖1 單聯(lián)絡柔直網(wǎng)Fig.1 Single-connection flexible DC distribution network

1.2 柔直網(wǎng)閉環(huán)運行方式

在柔直網(wǎng)中，因VSC具有抑制故障電流的限幅控制環(huán)節(jié)[19]，且不存在無功環(huán)流，故一般采取閉環(huán)運行方式。某一負荷由多個電源供電，當負荷失去某一電源供電時，其余電源會主動做出功率支援，無需開關倒閘操作。

1.3 柔直網(wǎng)潮流控制策略

柔直網(wǎng)具有潮流連續(xù)調(diào)控能力，其控制裝置主要為VSC。柔直網(wǎng)的典型潮流控制策略有主從控制、電壓裕度控制和下垂控制[3，4]。

主從控制設置一主換流站VSC0，其直流電壓給定，有功功率可為容量范圍內(nèi)任意值；其余從換流站VSCk均給定有功功率，直流電壓為安全電壓范圍內(nèi)任意值。各換流站直流電壓與有功功率的關系可表示為

式中：UVSC0、UVSC0,ref分別為主換流站的實際電壓與電壓參考值；PVSCk、PVSCk,ref分別為從換流站的實際功率與功率參考值；N為從換流站數(shù)量。

電壓裕度控制是在主從控制基礎上，在從換流站中設置一臺加裝電壓偏差控制器的備用換流站VSCn，當其電壓在設定范圍內(nèi)時采用定有功功率模式，當其電壓達到設定的裕度上、下限時切換至定直流電壓模式。各換流站直流電壓與有功功率的關系可表示為

式中：PVSCn、PVSCn,ref分別為備用換流站實際功率與功率參考值；UVSCn、UrefH和UrefL分別為備用換流站的實際電壓、電壓裕度上限和下限。

下垂控制利用給定的各換流站直流電壓與有功功率的斜率關系，實現(xiàn)多點直流電壓控制以及有功功率在各換流站間的自動分配。各換流站直流電壓與有功功率的關系可表示為

式中：UVSCk、UVSCk,ref分別為換流站VSCk實際電壓與電壓參考值；PVSCk、PVSCk,ref分別為換流站VSCk實際功率與功率參考值；Kk為換流站VSCk下垂系數(shù)。滿足式（3）的節(jié)點被稱之為下垂節(jié)點。

2 靜態(tài)運行域模型與求解方法

2.1 交流配電網(wǎng)靜態(tài)運行域模型

靜態(tài)運行域是系統(tǒng)正常運行時滿足各穩(wěn)態(tài)安全約束的工作點集合[17]。其中，工作點是能唯一完整描述系統(tǒng)狀態(tài)的一組獨立變量，安全分析中選取負荷功率構(gòu)成工作點[12]。交流配電網(wǎng)的靜態(tài)運行域模型[14]可表示為

式中：ΩDR為運行域；W為由負荷視在功率Si構(gòu)成的工作點；Θ為工作點定義域；Ui為節(jié)點i的電壓幅值；θij為節(jié)點i和節(jié)點j的電壓相角差；gij、bij分別為節(jié)點i和節(jié)點j間的電導和電納；S?Bm,r、CBm,r分別為第m號饋線的第r段復功率與容量；Ω(Bm,r)為饋線段Bm,r下游負荷節(jié)點集合；Ploss、Qloss分別為饋線段Bm,r及其下游線路的有功和無功損耗；S?Tk、CTk分別為第k號主變復功率與容量；S?Bm,1為第m號饋線出口復功率；Ω(Tk)為所有由第k號主變引出的饋線集合。

式（5）～（6）為潮流方程；式（7）～（8）為饋線段和主變?nèi)萘考s束；式（9）為節(jié)點電壓約束。式（4）～（9）模型不適用于柔直網(wǎng)，原因如下。

（1）式（4）～（9）模型針對開環(huán)運行的交流配電網(wǎng)，每處負荷都從單一電源經(jīng)單一路徑獲取電能，由式（7）得到各饋線段功率等于下游負荷功率與網(wǎng)損之和；但閉環(huán)運行時，負荷可從多個電源經(jīng)多個路徑獲取電能，各饋線段功率不能僅用下游負荷表示，因此，當柔直網(wǎng)閉環(huán)運行時，由式（7）無法計算各饋線段功率。

（2）柔直網(wǎng)改變了傳統(tǒng)交流配電網(wǎng)潮流的自然分布。式（4）～（9）模型缺少潮流控制策略對應的約束，故不適用于柔直網(wǎng)。

綜上，交流配電網(wǎng)運行域模型不適用于柔直網(wǎng)。此外，艦船直流系統(tǒng)的域模型[15]是針對艦船直流系統(tǒng)特定結(jié)構(gòu)與開環(huán)運行方式，也不適用柔直網(wǎng)。

2.2 柔直網(wǎng)靜態(tài)運行域模型

柔直網(wǎng)的靜態(tài)運行域模型可表示為

式中：ΩDR為運行域；W為由負荷有功功率構(gòu)成的工作點；Θ為工作點定義域；Pi、Ui分別為節(jié)點i的凈注入功率和直流電壓；Gij為節(jié)點i、j間的互電導，j∈i表示所有和i相連的節(jié)點j（含j=i）；Pij、CBij分別為節(jié)點i、j之間饋線段Bij的功率和容量；CVSCk、UVSCk、PVSCk分別為換流站VSCk的容量、直流電壓和注入柔直網(wǎng)的功率；fk(PVSCk,UVSCk)=0 為VSCk電壓與功率關系式；Ui,max、Ui,min分別為節(jié)點i允許的最高和最低電壓。

式（11）為潮流方程；式（12）為饋線段容量約束；式（13）為節(jié)點電壓約束；式（14）為換流站容量約束，因連接柔直網(wǎng)的主網(wǎng)可視為無窮大電源[20]，所以未考慮換流站交流側(cè)約束；式（15）為換流站直流電壓與有功功率關系約束。

式（10）～（15）柔直網(wǎng)模型與式（4）～（9）交流配電網(wǎng)模型的區(qū)別是：式（12）中饋線段功率采用由潮流計算得出的節(jié)點電壓及節(jié)點電導表示，式（7）中饋線段功率直接用其下游所帶負荷表示；柔直網(wǎng)模型相比交流配電網(wǎng)模型還增加了對換流站直流電壓與有功功率關系的約束，即式（15）。

式（10）～（15）模型能適用于柔直網(wǎng)，是因為該模型兼顧了柔直網(wǎng)的閉環(huán)運行能力與潮流控制策略。其中，式（12）的饋線段功率由節(jié)點電壓及節(jié)點電導表示，對于開環(huán)和閉環(huán)均適用；式（15）能夠表示不同換流站的節(jié)點類型，該約束可在主從控制和電壓裕度控制時提供主換流站電壓、從換流站功率等已知量，在下垂控制時，將潮流方程與該約束聯(lián)立求解。

2.3 模型求解方法

在求解交流配電網(wǎng)運行域及安全域時，為獲得完整的域邊界，常采用解析法求出域表達式[11-14]。求解過程中因潮流方程的非線性，難以得到顯式解析解，故一般基于直流潮流線性化[11-14]。

本文也采用解析法求解柔直網(wǎng)運行域。與交流配電網(wǎng)類似，柔直網(wǎng)潮流方程式（11）也是非線性的，需要線性化才能求得域表達式。為此，本文采用柔直網(wǎng)的DistFlow 支路潮流線性化法[21]，在計算電壓降時，用額定電壓代替實際電壓，將式（10）～（15）模型化為關于負荷功率的線性不等式組，求解得到域表達式，最后近似計及網(wǎng)損，具體步驟如下。

步驟1 檢查網(wǎng)絡并解環(huán)。檢查柔直網(wǎng)是否含環(huán)網(wǎng)，若無環(huán)網(wǎng)，直接執(zhí)行下一步；若含環(huán)網(wǎng)，則從定直流電壓節(jié)點或下垂節(jié)點解環(huán)，形成與解環(huán)點電壓相同的無環(huán)網(wǎng)絡。

步驟2 獲取饋線段功率表達式。根據(jù)Dist?Flow 支路潮流線性化法，獲取的饋線段功率PBk關于節(jié)點凈流出功率Pj的線性表達式為

式中：φ(Bk,Bn)為饋線段Bk與末端饋線段Bn之間節(jié)點集合；Pj為負荷功率，在下垂控制下含有下垂節(jié)點功率；PBn為末端饋線段Bn的功率。

步驟3 獲取負荷節(jié)點電壓表達式。根據(jù)Dist?Flow 支路潮流線性化法，以定直流電壓方式或電壓-有功下垂方式的換流站電壓UVSCm為基準，用額定電壓UN、饋線段電阻RBi和步驟2求得的饋線段功率PBi來計算電壓降，負荷節(jié)點電壓Uk關于各節(jié)點功率的線性表達式為

步驟4 處理下垂節(jié)點。在主從控制和電壓裕度控制時，無下垂節(jié)點，直接執(zhí)行下一步。在下垂控制時，將式（3）所示換流站電壓-有功下垂關系式與線性化潮流方程聯(lián)立求解后，將步驟2 和步驟3已獲取表達式中的下垂節(jié)點功率和下垂節(jié)點電壓用關于負荷功率的線性化表達式表示。

步驟5 考慮換流站運行方式切換。主從控制和下垂控制時，換流站運行方式不切換，執(zhí)行下一步；在電壓裕度控制時，備用換流站在定直流電壓方式和定有功功率方式之間切換，根據(jù)換流站節(jié)點類型變化情況，重復步驟1～4，求出換流站所有運行方式下饋線段功率和負荷節(jié)點電壓表達式。

步驟6 求出域表達式。使由負荷功率線性表示的饋線段功率、換流站功率及節(jié)點電壓滿足正常運行時安全約束，形成關于負荷功率的線性不等式組，并將換流站所有運行方式下的結(jié)果取并集，得到某一控制策略下靜態(tài)運行域表達式。

步驟7 考慮網(wǎng)損修正域表達式。由于不同的運行域邊界點網(wǎng)損不同，本文用網(wǎng)損最大與網(wǎng)損最小點的偏差率平均值eˉ來近似表示全體邊界點的偏差率，用于修正域表達式中的容量約束，使邊界向內(nèi)平移eˉ，從而近似計及了網(wǎng)損。

3 算例分析

3.1 算例概況

單聯(lián)絡柔直網(wǎng)算例如圖2 所示。設饋線總長為6 km，饋線容量為8.028 MW，各饋線段電阻均為R= 0.469 2 Ω。換流站容量CVSC1=CVSC2= 10 MW。主從和電壓裕度控制下主站VSC1電壓取額定電壓UN=10 kV；電壓裕度控制下VSC2電壓裕度取±5%UN；下垂控制下2 個換流站控制參數(shù)均相同，直流電壓參考值Udc,ref=10 kV，有功功率參考值Pref=4 MW，下垂系數(shù)K=0.1。負荷電壓允許范圍取[0.9UN，1.05UN]。

圖2 算例電網(wǎng)結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of grid network in a numerical example

3.2 靜態(tài)運行域計算

采用本文模型與求解方法計算柔直網(wǎng)在典型控制策略下的靜態(tài)運行域，以下垂控制為例，給出計算過程，其他控制策略的計算過程見附錄A。

3.2.1 計算過程

步驟1 本算例不含環(huán)網(wǎng)，直接執(zhí)行下一步。步驟2 獲取饋線段功率表達式，即

步驟4 將換流站電壓-有功下垂關系式與線性化潮流方程聯(lián)立，即

式（20）的前兩個等式是本文模型中式（15）針對下垂控制的具體化，體現(xiàn)了換流站直流電壓與有功功率需要滿足的下垂關系，而交流配電網(wǎng)靜態(tài)運行域模型無法體現(xiàn)此下垂關系。對式（20）求解可得

將K= 0.1，R= 0.469 2 Ω，UN= 10 kV 代入式（21），根據(jù)換流站電壓-有功下垂關系，得到VSC1功率和電壓關于負荷功率的線性表達式為

步驟5 下垂控制下?lián)Q流站運行方式不做切換，執(zhí)行下一步。

步驟6 將式（22）代入式（18）、式（19），得到由負荷功率表示的饋線段功率、換流站功率、節(jié)點電壓，使這些物理量滿足正常運行時的安全約束，形成關于負荷功率的線性不等式組，即

步驟7 網(wǎng)損修正。網(wǎng)損最小和最大邊界點分別為（7.699 7，7.699 7）和（0，13.437 9），求解過程見附錄B。網(wǎng)損最小點與式（24）對應邊界點（8.028，8.028）偏差4.09%，網(wǎng)損最大點與式（24）對應邊界點（0，14.112 8）偏差4.78%，兩偏差平均值為4.44%。將式（24）邊界向內(nèi)平移4.44%，得到近似計及網(wǎng)損后的域表達式，即

3.2.2 計算結(jié)果

不同控制策略下柔直網(wǎng)靜態(tài)運行域表達式見表1。

表1 算例中柔直網(wǎng)靜態(tài)運行域表達式Tab.1 Expressions of static dispatchable region of flexible DC distribution network in the example

3.2.3 誤差分析

在本文模型求解中進行了近似線性化處理。為分析所得運行域邊界的誤差，先通過潮流計算得到精確邊界點，再將求出的精確邊界點P1值代入表1中的域表達式，求出對應有相同P1值的近似邊界點，精確邊界點與近似邊界點的誤差可表示為

式中：（a，b）為修正后近似邊界點；（a，c）為與P1值相同的精確邊界點。

邊界點最大誤差見表2，詳細數(shù)據(jù)見附錄表C1。

表2 算例中柔直網(wǎng)靜態(tài)運行域邊界點誤差Tab.2 Errors at boundary points of static dispatchable region of flexible DC distribution network in the example

由表2可知，本算例（饋線總長6 km）運行域邊界點誤差較小。誤差源于求解方法對網(wǎng)損的近似，網(wǎng)損與饋線長度正相關。目前柔直網(wǎng)應用的城區(qū)、工業(yè)園區(qū)、大學校區(qū)的饋線長度不大于6 km，因此本文求解方法能滿足目前實際柔直網(wǎng)的精度要求。

3.3 不同控制策略下分析

可視化是研究域的常用手段[15-18]，故通過可視化比較不同控制策略下靜態(tài)運行域。柔直網(wǎng)一般閉環(huán)運行，閉環(huán)運行時只有節(jié)點功率能反映負荷大小，饋線出口功率不能反映負荷大小。因此，在柔直網(wǎng)運行域可視化時，一般選取節(jié)點功率為觀測變量。以節(jié)點功率P1、P2為觀測變量的可視化靜態(tài)運行域如圖3所示。

圖3 典型控制策略下柔直網(wǎng)可視化靜態(tài)運行域Fig.3 Visualized static dispatchable region of flexible DC distribution network under typical control strategies

由圖3可得如下規(guī)律。

規(guī)律1 主從控制和電壓裕度控制下的靜態(tài)運行域大小相同，其主要是因為電壓裕度控制下柔直網(wǎng)有兩種正常運行狀態(tài)。

在狀態(tài)1 下，VSC2電壓在裕度內(nèi)且給定有功功率，安全約束與主從控制的唯一區(qū)別是增加對VSC2電壓范圍的限制，由附錄式（A7）結(jié)果可知，在特定VSC2功率下負荷允許范圍較主從控制時變小，但當VSC2功率在全范圍內(nèi)可調(diào)時，負荷允許范圍與主從控制相同。

在狀態(tài)2 下，線路壓降過大使VSC2進入定直流電壓模式，VSC2電壓鉗制在設定的上限或下限，其功率不再可控，饋線段功率同時受饋線段電阻和2 個換流站電壓差影響，使該狀態(tài)下負荷允許范圍較狀態(tài)1 縮小，見附錄式（A8）～（A9）。在狀態(tài)2 中負荷允許范圍縮小，但靜態(tài)運行域是所有正常運行狀態(tài)中的負荷允許范圍，因此對上述兩種狀態(tài)中的負荷允許范圍取并集后，電壓裕度控制的靜態(tài)運行域與主從控制大小相等。

規(guī)律2 主從和電壓裕度控制下靜態(tài)運行域大于下垂控制下靜態(tài)運行域。其主要原因是在下垂控制下，由式（21）分析可知換流站功率與負荷功率間存在一定牽制關系，換流站功率不能獨立調(diào)控；然而在主從控制和電壓裕度控制下，從換流站功率可以獨立調(diào)控，與負荷功率間無牽制關系，靜態(tài)運行域約束和下垂控制相比，減少了與換流站數(shù)量相同的等式約束，因此靜態(tài)運行域更大。

4 結(jié) 語

本文初探了柔性直流配電網(wǎng)的靜態(tài)運行域，提出柔性直流配電網(wǎng)的靜態(tài)運行域模型及其解析化求解方法，有效刻畫了柔性直流配電網(wǎng)正常運行時的最大允許范圍。誤差分析結(jié)果表明，本文模型與求解方法能滿足目前實際柔性直流配電網(wǎng)的精度要求。

本文模型與求解方法能適用于主從控制、電壓裕度控制、下垂控制三種典型控制策略。研究發(fā)現(xiàn)主從控制和電壓裕度控制的靜態(tài)運行域大小相同，均大于下垂控制的靜態(tài)運行域。

后續(xù)將研究N-1安全域，考慮穩(wěn)定問題，擴展到LCC-VSC混合直流配電網(wǎng)與交直流混聯(lián)配電網(wǎng)。

附錄A 其他控制策略下靜態(tài)運行域計算

A1 主從控制下靜態(tài)運行域計算正文算例柔直網(wǎng)在主從控制下安全約束可表示為

式中：主換流站電壓為額定電壓UN；從換流站功率PVSC2為可控量，這是模型式（15）對主從控制的具體化。

饋線段容量CB1=CB2=CB3=8.028 MW，換流站容量CVSC1=CVSC2=10 MW，額定電壓UN=10 kV，負荷電壓允許范圍為[0.9UN,1.05UN]，各饋線段電阻R均為0.469 2 Ω。將數(shù)據(jù)代入附錄式（A1），剔除無效約束，PVSC2取值范圍為[-8.028，8.028]，則靜態(tài)運行域表達式為

根據(jù)網(wǎng)損對附錄式（A2）進行修正。潮流計算可得網(wǎng)損最小邊界點為（7.725 6，7.725 6），與附錄式（A2）對應邊界點（8.028，8.028）偏離3.77%；網(wǎng)損最大邊界點為（0，15.125 6），與附錄式（A2）對應邊界點（0，16.056）偏離5.79%。將附錄式（A2）所示邊界按偏差平均值4.78%向內(nèi)平移，則修正后近似考慮網(wǎng)損的靜態(tài)運行域表達式為

A2 電壓裕度控制下靜態(tài)運行域計算

在電壓裕度控制時，備用換流站VSC2電壓裕度為±5%UN，當VSC2工作在定有功功率模式且電壓在±5%UN內(nèi)時，柔直網(wǎng)安全約束為

當VSC2工作在定直流電壓模式且電壓為上限1.05UN時，柔直網(wǎng)安全約束為

當VSC2工作在定直流電壓模式且電壓為下限0.95UN時，柔直網(wǎng)安全約束為

附錄式（A4）～（A6）中，主換流站VSC1電壓均為UN。附錄式（A4）給定備用換流站功率PVSC2且限定UVSC2在±5%UN內(nèi)；附錄式（A5）給定備用換流站電壓1.05UN；附錄式（A6）給定備用換流站電壓0.95UN。這些均為模型式（15）對電壓裕度控制的具體化。

附錄式（A4）～（A6）化簡后有效約束分別為

式中，PVSC2是在[-8.028，8.028]內(nèi)的控制變量。

將附錄式（A7）～（A9）表示的不同狀態(tài)下安全約束取并集，代入數(shù)據(jù)，PVSC2取值范圍為[-8.028，8.028]，則柔直網(wǎng)在電壓裕度控制下的靜態(tài)運行域表達式為

根據(jù)網(wǎng)損對附錄式（A10）進行修正。潮流計算可得網(wǎng)損最小邊界點為（7.725 6，7.725 6），與附錄式（A10）對應邊界點（8.028，8.028）偏離3.77%；網(wǎng)損最大邊界點為（0，15.125 6）與附錄式（A10）對應邊界點（0，16.056）偏離5.79%。將附錄式（A10）所示邊界按偏差平均值4.78%向內(nèi)部平移，得到修正后近似考慮網(wǎng)損的靜態(tài)運行域表達式為

A3 主從和電壓裕度控制下網(wǎng)損最小和最大邊界點求解

由于主從控制和電壓裕度控制下靜態(tài)運行域邊界相同，其對應邊界點狀態(tài)也相同，故統(tǒng)一考慮。

A3.1 網(wǎng)損最小邊界點求解

網(wǎng)損最小時潮流具有對稱性。圖2中，B1和B3功率達上限8.028 MW，產(chǎn)生等量損耗；B2無功率流動，損耗為0；VSC1和VSC2電壓均為10 kV，負荷功率為

由此可得網(wǎng)損最小的邊界點為（7.725 6，7.725 6）。

A3.2 網(wǎng)損最大邊界點求解

網(wǎng)損最大時，某一節(jié)點負荷為0，另一節(jié)點負荷最大。

1）P1=0，P2最大

邊界點為（15.189 1，0）。

3）比較以上2個邊界點（0，15.125 6）與（15.189 1，0）的網(wǎng)損大小，因2個邊界點下的總注入功率均為8.028×2=16.056 MW，所帶負荷15.125 6 MW<15.189 1 MW，故網(wǎng)損最大邊界點為（0，15.125 6）。

附錄B 下垂控制下網(wǎng)損最小與最大邊界點求解

B1 網(wǎng)損最小邊界點求解

網(wǎng)損最小時潮流具有對稱性。圖2中，B1和B3功率達上限值8.028 MW，產(chǎn)生等量損耗；B2無功率流動，損耗為0；2個換流站電壓均為[10-0.1（8.028-4）]kV，負荷功率為

B2 網(wǎng)損最大邊界點求解

網(wǎng)損最大的邊界點產(chǎn)生于某一節(jié)點負荷為0且另一節(jié)點負荷最大的2個邊界點之中，由于下垂控制時VSC1和VSC2控制方式及參數(shù)相同，故這兩個邊界點負荷分布是對稱的，只需求其中任一邊界點即可。

可求P1=0且P2最大的邊界點，此時只有B3功率達上限8.028 MW，各饋線段均產(chǎn)生損耗，VSC2電壓為10-0.1（8.028-4）=9.597 2 kV，則負荷P2節(jié)點電壓為

附錄C 靜態(tài)運行域邊界誤差計算

各種控制策略，均給出某一精確邊界點計算過程，其它邊界點計算過程類似，不再贅述。

C1 下垂控制下誤差計算

本算例有效約束均為饋線段容量約束，因此計算精確邊界點時需令相應饋線段功率達到上限。下垂控制時，對于邊界點（P1，P2），若P1P2，則僅饋線段B1功率達到上限；若P1=P2，則饋線段B1和B3功率均達到上限。

當P2=11.525 2 MW時，求出P1允許的最大值即可求出該精確邊界點。根據(jù)功率平衡可知P1

負荷功率P1、VSC1電壓UVSC1、VSC1功率PVSC1滿足的方程組為

解得P1=2.615 1 MW，可得精確邊界點為（2.615 1，11.525 2）。將精確邊界點P1值代入表1中的域表達式，得到對應近似邊界點為（2.615 1，11.504 9），由式（26）計算出該近似邊界點的誤差為

C2 主從和電壓裕度控制下誤差計算

因主從控制和電壓裕度控制下靜態(tài)運行域邊界相同，其對應邊界點狀態(tài)也相同，誤差計算一并考慮。

在主從和電壓裕度控制時，邊界點（P1，P2）、饋線段B1和B3功率均達上限值為8.028 MW。

假設P1=1.287 6 MW，求出P2允許的最大值即可求出該精確邊界點。VSC1電壓為10 kV，P1節(jié)點電壓為

負荷P2大小為P2,1+P2,2=6.228 0+7.706 5=13.934 5 MW，此精確邊界點為（1.287 6，13.934 5）。

將精確邊界點P1值代入表1中的解析式，得對應近似邊界點（1.287 6，14.001 4）。由式（26）算得誤差為

按上述方法可求出多個精確邊界點、近似邊界點及其誤差，三種典型控制策略下的域邊界點誤差見附錄表C1。

表C1 典型控制策略下柔直網(wǎng)靜態(tài)運行域邊界點誤差Tab.C1 Errors at boundary points of static dispatchable region of flexible DC distribution network under typical control strategies