余志衛(wèi)

[摘? ?要]多普勒效應(yīng)在日常生活、生產(chǎn)中比較常見，但在高考物理中屬于非重點(diǎn)考查內(nèi)容，所以在日常教學(xué)中，通常是點(diǎn)到為止，過后師生都不會(huì)花太多的時(shí)間在這部分內(nèi)容上。鑒于此，文章較全面地分析了多普勒效應(yīng)，以便學(xué)生較全面地理解與掌握多普勒效應(yīng)。

[關(guān)鍵詞]多普勒效應(yīng);伽利略;時(shí)空坐標(biāo)變換

[中圖分類號(hào)]? ? G633.7? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? ?A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）20-0045-03

當(dāng)一輛汽車從我們身旁急馳而過的時(shí)候，我們會(huì)感到車上喇叭的音調(diào)從尖銳變?yōu)榈统?。站在鐵路旁聽列車的汽笛聲也能感到：列車迅速迎面而來時(shí)音調(diào)較高，而列車離去時(shí)則音調(diào)又變得比較低。實(shí)驗(yàn)表明，聲源不動(dòng)而觀察者相對(duì)傳播介質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，也會(huì)發(fā)生接收到的聲波頻率和聲源頻率不一致的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)，是奧地利物理學(xué)家多普勒于1842年首先發(fā)現(xiàn)的。

在中學(xué)階段，課本上給出了多普勒效應(yīng)的定性結(jié)果，學(xué)生只能從中定性了解多普勒效應(yīng)，而不能從本質(zhì)上定量地深層次地理解。有些學(xué)生、甚至部分教師錯(cuò)誤地根據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，認(rèn)為觀察者遠(yuǎn)離波源運(yùn)動(dòng)的多普勒效應(yīng)與波源遠(yuǎn)離觀察者的多普勒效應(yīng)是等價(jià)的、完全一樣的。這就是對(duì)多普勒效應(yīng)的理解不夠全面、深入的結(jié)果。本文從中學(xué)生能夠理解的角度出發(fā)，對(duì)多普勒效應(yīng)做定量全面的分析，以消除師生在教學(xué)過程中認(rèn)識(shí)上的一些誤區(qū)。

一、從中學(xué)生能夠接受的知識(shí)層面證明

為方便起見，我們假定相對(duì)運(yùn)動(dòng)發(fā)生在波源與觀察者連線上，并設(shè)波源相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的速度為[v源]，以向觀察者運(yùn)動(dòng)為正，反之為負(fù)（即靠近為正，遠(yuǎn)離為負(fù)），觀察者相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)速度為[v人]，以向波源運(yùn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。用[f0]表示波源振動(dòng)的頻率，以[λ0]表示波長(zhǎng)，以[v0]表示波在介質(zhì)中傳播的速度，觀察者接收到的實(shí)際頻率為f 。

1.波源和觀察者均相對(duì)介質(zhì)靜止

如圖1所示，在觀察者看來，因波傳播的速度由介質(zhì)決定，他觀察到波的速度為[v源]，波長(zhǎng)仍為[λ0]，則[f=v源λ0=v源v源T=f0]，即觀察者接收到的頻率就是波源的頻率。

2.波源靜止，觀察者運(yùn)動(dòng)

觀察者相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，此時(shí)[v源]=0，[v人≠0]。設(shè)觀察者向波源運(yùn)動(dòng)時(shí)[v人>0]，在單位時(shí)間內(nèi)，原位于觀察者處的波向右傳播了距離[v0]，同時(shí)，觀察者自己向波源移近了距離[v人]。對(duì)觀察者而言，波在單位時(shí)間內(nèi)通過了[v0+v人]的總距離。這相當(dāng)于他觀察到波以[v0+v人]的速度在傳播。則有：

[f=v0+v人λ0=v0+v人v0T=1+v人v0f0]

在這種情況下，觀察者接收到的頻率增大;若觀察者遠(yuǎn)離波源運(yùn)動(dòng)，上式仍成立，此時(shí)[v人]為負(fù)，[f=1-v人v0f0]（條件是人遠(yuǎn)離的速度小于波速[v0]），即他接收到的頻率變小;若觀察者遠(yuǎn)離波源運(yùn)動(dòng)的速度大于波速[v0]，則他比波運(yùn)動(dòng)得快，他將接收不到聲波。

3.觀察者靜止，波源相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)

如圖3所示，此時(shí)[v人=0]，[v源≠0]。由于波在介質(zhì)中傳播的速度由介質(zhì)決定，與波源運(yùn)動(dòng)無關(guān)。若波源以速度[v源]向著觀察者運(yùn)動(dòng)，則它發(fā)出的球面波不再同心。當(dāng)波源靜止時(shí)，相鄰兩振動(dòng)狀態(tài)相同的兩點(diǎn)之間的距離為[λ0]。波源運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)波自波源發(fā)出后，該波以速度[v0]向前傳播，設(shè)一個(gè)周期后，第二個(gè)波發(fā)出，波源已向前移動(dòng)了[v源T]的距離，而此時(shí)第一個(gè)波向前傳播了[λ]0的距離到達(dá)s點(diǎn)，結(jié)果在觀察者看來，相鄰兩振動(dòng)狀態(tài)相同的兩點(diǎn)間距離變?yōu)閇λ0-v源T]，此即為觀察者觀察到的波長(zhǎng)[λ]。如圖4，若[t]時(shí)刻波源位于O點(diǎn)，當(dāng)下一個(gè)振動(dòng)自波源發(fā)出時(shí)，波源已向前移動(dòng)了[v源T]到達(dá)[O′]點(diǎn)，對(duì)觀察者而言，他感到介質(zhì)中波長(zhǎng)比原來縮短了[v源T]，此時(shí)他觀察到的波長(zhǎng)為[λ=O′S=OS-OO′=λ0-v源T]。于是觀察者接收到的頻率為：

[f=v0λ=v0λ0-v源T=v0v0T-v源T=v0v0-v源f0]

即觀察者接收到的頻率增大。若波源遠(yuǎn)離觀察者運(yùn)動(dòng)，上式中的[v源]為負(fù)值，觀察者接收到的頻率為[f=v0v0+v源f0]，比波源頻率小。

4.波源和觀察者同時(shí)相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)

此時(shí)[v源]和[v人]都不為零（設(shè)都大于零）?，F(xiàn)以波源與觀察者相向運(yùn)動(dòng)為例，根據(jù)前面的討論，影響觀察結(jié)果的因素有兩個(gè)：一是波源相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)，使觀察到的波長(zhǎng)變短（[λ=λ0-v源T]）;另一個(gè)是觀察者的運(yùn)動(dòng)，使觀察到的波速變?yōu)閇v=v0+v人] ，所以當(dāng)波源和觀察者同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察者接收到的波頻率為：

[f=vλ=v0+v人λ0-v源T=v0+v人v0-v源f0>f0] 。

在上面的討論中，波源與觀察者之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)都是發(fā)生在沿著兩者的連線上的?，F(xiàn)在考慮波的傳播方向、波源速度與觀察者速度三者不共線的一般情況。如圖5所示，設(shè)t時(shí)刻波源位于S點(diǎn)，以速度[v源]向[S]運(yùn)動(dòng)，觀察者位于R點(diǎn)以速度[v人]向[R]運(yùn)動(dòng)。在t時(shí)刻，觀察者接收到波的傳播速度（沿波源與觀察者連線方向）是[v=v0+v人cos β]，觀察者測(cè)得的波長(zhǎng)是[λ=λ0-v源Tcos α]，故t時(shí)刻觀察到的頻率為：

[f=v0+v人cos βλ0-v源Tcos α=v0+v人cos βv0-v源cos αf0]

這就是多普勒效應(yīng)的普遍公式。由此可知，機(jī)械波的多普勒效應(yīng)只有在沿波源與觀察者的連線上才會(huì)發(fā)生。

二、用伽利略時(shí)空坐標(biāo)變換證明

如圖6所示，O為靜止坐標(biāo)系，[O]為相對(duì)O系做勻速平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系。由圖可見

[r=r'+r0]，

圖6

按照經(jīng)典力學(xué)的相對(duì)性原理，有：

[r'= r-v0t]，[t'=t]

[t']表示運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中的時(shí)間，[t]為靜止坐標(biāo)系中的時(shí)間，上式稱為伽利略時(shí)空坐標(biāo)變換。

1.波源靜止，觀察者相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)

如圖7所示，靜止坐標(biāo)系O建在波源處，在運(yùn)動(dòng)的觀察者處建立運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系[O′]，若觀察者遠(yuǎn)離波源運(yùn)動(dòng)的速度為[v（v

[y'=y]，[x'=x-v人t]

在O系中沿x軸正向傳播的波方程為 [y=Acosωt-ωxv0]，把上式的x代入得：

[y=Acos1-v人v0ωt-ωxv0]

又 [y=Acosωt-ωxv0]

比較可得，[ω=1-v人v0ω] ，其中[ω]為[y']系中的角速度，也即觀察者觀察到的角速度，所以有：

[f=1-v人v0f0]

也就是觀察者遠(yuǎn)離波源運(yùn)動(dòng)時(shí)接收到的頻率變小;若觀察者遠(yuǎn)離波源運(yùn)動(dòng)的速度大于波速[v0]，則他比波運(yùn)動(dòng)得快，他將接收不到聲波。

若觀察者向波源運(yùn)動(dòng)，只要把[-v人]代入上式即可，因而有：

[f=1+v人v0f0]

這說明他接收到的頻率增大;

2.觀察者靜止，波源相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)

如圖8所示，以靜止的觀察者作為靜止坐標(biāo)系的O點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系[O′]建在以[v源]速度遠(yuǎn)離觀察者的波源上，同樣，由伽利略時(shí)空坐標(biāo)變換有：

[y=y']， [x=x'+v源t]

O系中沿x軸負(fù)方向傳播的波方程為：

[y=Acosωt+ωxv0]，

其中[ω]為O系中觀察者觀察到的角速度，把伽利略時(shí)空坐標(biāo)變換代入上式：

[y=Acos1+v源v0ωt+ωxv0]

[y']系中的波方程為：[y=Acosωt+ωxv0]，

比較上兩式，得[ω=1+V源v0ω]，其中[ω]為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中波振動(dòng)的角速度，也即波源的角速度[ω0] ，故有[f0=1+v源v0f]，所以觀察者觀察到的頻率為：

[f=v0v0+v源f0]

這就是說此時(shí)觀察者觀察到的頻率變小。若波源向觀察者運(yùn)動(dòng)則上式中以[-v源]代替[v源]，則有：

[f=v0v0-v源f0]

即波源向觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察者接收到的頻率增大。

另外，由上面的結(jié)果可以看出，波源相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)與觀察者相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的多普勒效應(yīng)是不同的或者說是不對(duì)稱的，這也往往是我們?cè)诮虒W(xué)中容易誤解的地方。這是由于多普勒效應(yīng)并非決定于波源與觀察者之間的相對(duì)速度，而是取決于波源或觀察者相對(duì)介質(zhì)的速度，而機(jī)械波是相對(duì)介質(zhì)傳播的緣故。事實(shí)上，波一旦從波源發(fā)出，就以恒定的速度v0在介質(zhì)中傳播，波源相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)不會(huì)帶動(dòng)這些波一同運(yùn)動(dòng)。波源相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的結(jié)果必然導(dǎo)致波在介質(zhì)中的分布發(fā)生變化（波長(zhǎng)改變）。由于波是通過介質(zhì)傳播的，因而是分布在介質(zhì)里的，觀察者相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)，他觀察到的波長(zhǎng)不會(huì)改變，但他感到波傳播的速度發(fā)生了變化?？梢姡簷C(jī)械波的多普勒效應(yīng)只跟波源和觀察者相對(duì)于介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)有關(guān)。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 梁昆淼，俞超，年樹業(yè).力學(xué)討論[M].成都：四川教育出版社，1987.

[2]? 潘武明.力學(xué)：計(jì)算機(jī)輔助教程[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[3]? 楊維纮.力學(xué)[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2014.

（責(zé)任編輯 易志毅）