孔 帥，陳曉東，崔洪宇，季順迎

（1.中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇無錫 214082；2.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，遼寧大連 116024）

0 引 言

全球氣候變暖導(dǎo)致北極海冰加速融化，連接歐亞大陸的北極航道從最初的嘗試性通航變成了現(xiàn)今的運營常態(tài)化、商業(yè)化[1]。冰區(qū)船舶作為航運重要載體，其結(jié)構(gòu)安全性不容忽視，不僅需要嚴(yán)格按照規(guī)范設(shè)計建造和定期檢修，更需要冰載荷監(jiān)測系統(tǒng)以實時評估冰載荷是否會對結(jié)構(gòu)造成損傷或永久性損壞[2-3]?；诖w艏部、舯部及螺旋槳冰激響應(yīng)應(yīng)變的冰載荷識別技術(shù)是目前主流技術(shù)手段[4-8]。而實際測量中船體結(jié)構(gòu)往往會因防水艙、線纜艙等密閉結(jié)構(gòu)導(dǎo)致需要監(jiān)測區(qū)域的空間狹小、不宜布置傳感器。工程中可采用遠場監(jiān)測技術(shù)解決不可接近、載荷場易受傳感器干擾和傳感器不便安裝的載荷識別問題[9-11]。

冰區(qū)航行船舶外板結(jié)構(gòu)的冰載荷識別通?；谟绊懴禂?shù)矩陣法，其影響系數(shù)矩陣是在靜力分析基礎(chǔ)上通過依次對測量子區(qū)域施加單位載荷得到[4-6]。影響系數(shù)矩陣法采用直接求逆辦法識別冰載荷，而影響系數(shù)矩陣可能會因自身的病態(tài)性和測量信號的噪聲而導(dǎo)致解與真實載荷之間存在較大的偏差。為防止載荷反演過程中出現(xiàn)解不穩(wěn)定的問題，需要向原始載荷識別模型中引入附加條件而使之變?yōu)榭煞€(wěn)定求解系統(tǒng)的正則化方法[12]。根據(jù)求解目的和精度要求，已發(fā)展出眾多的正則化技術(shù)，如通過引入濾子函數(shù)的截斷奇異值分解法[13]和Tikhonov 法[12]，對工程中的不適定問題具有較好的效果[7,14-15]。但當(dāng)求解矩陣規(guī)模較大或極度病態(tài)時，則需采用正則化能力更強的迭代式算法，如采用新型分?jǐn)?shù)階迭代型Tikhonov算法可以很好識別旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)所受的載荷[16]，采用Gram-Schmid正交化預(yù)處理的最小二乘QR 分解方法對橋梁上移動載荷識別精度很高[17]。適用于求解大維數(shù)、非對稱和非正定方程的共軛梯度最小二乘算法(Conjugate Gradient Least Squares)是一種高效的迭代式算法[18]，可很好地識別殼結(jié)構(gòu)和鋸齒結(jié)構(gòu)所受的環(huán)境載荷[19-20]。動載荷識別算法是基于遞推連鎖計算格式的，其初值敏感性和誤差累積等特性極易受噪聲信號影響[21]，故合理有效的濾波器可有效降低噪聲的影響[22]。

為實現(xiàn)對船體外板結(jié)構(gòu)冰載荷的遠場監(jiān)測，本文將構(gòu)建一種基于Green 核函數(shù)、共軛梯度最小二乘迭代式正則化算子和移動平均濾波技術(shù)的冰載荷識別模型，并采用數(shù)值仿真和船體外板載荷識別試驗對該模型進行評估。

1 船體結(jié)構(gòu)冰載荷遠場識別中的載荷反演問題

現(xiàn)有船體結(jié)構(gòu)冰載荷監(jiān)測系統(tǒng)中的影響系數(shù)矩陣法尚不具備解決遠場監(jiān)測的能力，因而，適宜的反演理論和正則化方法是實現(xiàn)船體結(jié)構(gòu)冰載荷遠場監(jiān)測和提升反演精度的關(guān)鍵途徑。

1.1 冰載荷遠場監(jiān)測中典型破冰船外板結(jié)構(gòu)模型

各國的破冰船外板結(jié)構(gòu)因依據(jù)不同的冰級規(guī)范而有差別，本文建立的典型破冰船外板結(jié)構(gòu)模型主要參考中國極地科考破冰船“雪龍2 號”外板結(jié)構(gòu)形式和其他學(xué)者關(guān)于典型破冰船外板冰載荷承載力研究工作[23]，該外板結(jié)構(gòu)由船舶肋骨、強肋骨、縱桁和外板組成，其具體尺寸信息標(biāo)記于圖1中。在冰載荷反演過程中，船體結(jié)構(gòu)假設(shè)處于線彈性階段[3-6,24]。結(jié)構(gòu)阻尼選擇為比例阻尼。彈性模量為206 GPa，泊松比為0.3，結(jié)構(gòu)鋼材密度為7 850 kg/m3。邊界條件參考ABS 冰級船規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)，在模型上下平面內(nèi)的邊設(shè)置為在x方向自由，左右平面內(nèi)的邊設(shè)置為關(guān)于yoz面對稱[23]。圖中方框區(qū)域為不便安裝測試設(shè)備但需重點監(jiān)測的區(qū)域，監(jiān)測區(qū)域大小為3 m×2.8 m。遠場測量的位置選擇在距離監(jiān)測區(qū)域1.2 m 的肋骨上，并選擇船體的冰激應(yīng)變作為測量的響應(yīng)信號。

圖1 典型破冰船外板結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.1 FE model of the typical shell structure of an ice breaker

1.2 利用Green核函數(shù)建立沖擊載荷與應(yīng)變間的響應(yīng)關(guān)系

對于任意t時刻作用在船舶結(jié)構(gòu)上單位沖擊載荷可用狄拉克函數(shù)來定義，其函數(shù)如圖2（a）所示;在監(jiān)測區(qū)域施加單位載荷后，其監(jiān)測點對應(yīng)應(yīng)變的核函數(shù)響應(yīng)如圖2（b）所示。

圖2 狄拉克函數(shù)的單位沖擊載荷和對應(yīng)核函數(shù)響應(yīng)Fig.2 Unit impact load of Dirac function and the corresponding kernel response

根據(jù)線性時不變系統(tǒng)的疊加原理可知，系統(tǒng)的響應(yīng)可表示成單位脈沖載荷與沖擊載荷的卷積，由此建立監(jiān)測點沖擊載荷與遠場測量點應(yīng)變間的響應(yīng)關(guān)系，即式中，gi為ti=i·Δt時刻的Green函數(shù)。

由此建立基于Green 核函數(shù)的冰載荷遠場監(jiān)測反演的正問題，由gi分別組成冰載荷反演的Green核矩陣G，即

式中，ε、p分別為應(yīng)變信號和施加的沖擊載荷。

實船冰載荷識別中，根據(jù)已經(jīng)建立的核矩陣G和測量的應(yīng)變信號ε進行求解獲得冰載荷時程p。

1.3 冰載荷遠場識別系統(tǒng)不適定性的分析

采用Green 核函數(shù)的動載荷識別問題，其核矩陣G通常是病態(tài)的，這里從矩陣G極大的條件數(shù)可知，矩陣G幾乎是奇異的。

矩陣本身病態(tài)性是衡量系統(tǒng)求解穩(wěn)定性的一個指標(biāo)，同時測量中混入噪聲的應(yīng)變(即εerr)影響也不容忽視。根據(jù)奇異值分解定理，式（4）的解可表示為

式中，σi為Green 核函數(shù)矩陣G的奇異值，ui和vi分別為矩陣G的左右奇異向量，εerr,ui表示εerr和ui的內(nèi)積，即廣義傅里葉系數(shù)。

分析式（6）可知，冰載荷識別系統(tǒng)解的穩(wěn)定性主要由Green 矩陣的小奇異值和測試信號噪聲水平兩個因素決定。式（6）可采用直接求逆辦法求解的充要條件是系統(tǒng)應(yīng)滿足Picard 條件，即廣義傅里葉系數(shù)的下降速度要比奇異值的下降速度快[25]。

由此可知，可采用Picard 曲線對求解系統(tǒng)的病態(tài)程度進行量化分析。圖3（a）為沒有噪聲信號時的Picard 曲線，可看出此時廣義傅里葉系數(shù)的下降速度并不比奇異值下降速度快，二者之間的比值呈現(xiàn)出穩(wěn)定上升的趨勢。圖3（b）是噪聲水平為5%時的Picard曲線，可以看出此時廣義傅里葉系數(shù)的下降速度已遠遠小于奇異值的下降速度，該系統(tǒng)處于嚴(yán)重病態(tài)程度。因而，船體結(jié)構(gòu)遠場載荷識別中不管是否有噪聲信號干擾，采用直接求逆的辦法都不可行，必須采用正則化方法控制解的誤差。

圖3 兩種噪聲水平下的Picard曲線Fig.3 Picard curves under two noise levels

2 共軛梯度最小二乘正則化算法與移動平均濾波

采用共軛梯度最小二乘正則化算法可較好地解決非線性和非正定矩陣的求解問題，其迭代算法在識別精度和抗噪性等方面優(yōu)勢明顯[19]。為進一步提升識別模型抗噪性，本文引入應(yīng)用較多且濾波效果明顯的移動平均濾波技術(shù)[22]。

2.1 共軛梯度最小二乘迭代算法及其終止迭代法則

載荷反演中提高求解精度的問題屬于數(shù)學(xué)優(yōu)化中的最小二乘問題，采用求解技術(shù)使反演的解與真實解之間誤差的平方和最小

式中，pk為采用共軛梯度最小二乘算法經(jīng)過k次迭代后的解。

共軛梯度算法首先要對矩陣G進行正規(guī)化處理和相關(guān)計算量的初始化：

式中，p1為共軛梯度算法的初始解，r1=εerr為解的殘差的初始值，q1為共軛迭代過程中間量的初始值。

當(dāng)k＞1 時，共軛梯度最小二乘迭代算法過程為

式中，αk、βk、qk為共軛迭代過程中間量，rk為迭代k次之后解的殘差。

因共軛梯度算法為半收斂算法，合理的迭代終止法則有助減少算法的“過擬合”和“欠擬合”問題。本文采用Paige等[26]和Chang等[27]針對最小二乘問題提出的終止迭代法則

式中，γ為小于1的正數(shù)。

2.2 移動平均濾波

船體冰激應(yīng)變信號經(jīng)傳感器轉(zhuǎn)換和橋路放大器處理后不可避免地要混入干擾的噪聲信號，同時因外板結(jié)構(gòu)剛度較大和監(jiān)測距離較遠，會導(dǎo)致信號的幅值較小，因而采集得到的應(yīng)變信號噪聲水平會很高。為進一步降低信號噪聲對反演結(jié)果精度的影響，本文采用移動平均的濾波技術(shù)進行信號處理。移動平均濾波器可以對輸入信號進行平滑，起到低通濾波的效果，

式中，εˉ(t)為經(jīng)移動平均濾波器處理后的應(yīng)變信號，ε(t)為原應(yīng)變信號，Ta為移動平均時間。

至此，建立了基于Green 核函數(shù)、共軛梯度最小二乘法和移動平均濾波技術(shù)的船體結(jié)構(gòu)冰載荷遠場監(jiān)測模型，可采用數(shù)值仿真和結(jié)構(gòu)試驗對模型的識別效果進行評估。

3 冰載荷遠場識別模型的數(shù)值分析和試驗驗證

冰區(qū)航行時，船舶肋骨作為結(jié)構(gòu)主要承力構(gòu)件而易發(fā)生結(jié)構(gòu)破損[28-29]，實船冰載荷監(jiān)測系統(tǒng)的應(yīng)變傳感器通常會布置在船舶肋骨上[5-6，24]。因而，可通過外板結(jié)構(gòu)冰載荷識別數(shù)值仿真技術(shù)和外板載荷識別試驗評估在船舶肋骨上進行遠場監(jiān)測的可能性和準(zhǔn)確性。

3.1 典型外板結(jié)構(gòu)冰載荷遠場識別的數(shù)值分析

船-冰作用中的冰載荷呈現(xiàn)出三角波的函數(shù)形式，因而可在數(shù)值仿真中采用三角波模擬海冰載荷時程[6，28]。在圖1中的監(jiān)測區(qū)域施加如圖4中實線所示的冰載荷時程，因?qū)嵈瑴y量中冰載荷具有很強的隨機性[30]，其施加載荷時程的峰值和周期也設(shè)置成不同的。采用冰載荷遠場識別模型對其冰載荷進行識別，從圖4 的時程曲線對比可知共軛梯度最小二乘迭代算法反演的載荷時程能準(zhǔn)確地對應(yīng)上沖擊載荷的信號時程，但采用直接求逆反演的載荷時程已嚴(yán)重偏離施加載荷的時程。

圖4 遠場冰載荷時程曲線及反演結(jié)果Fig.4 History curve of ice loads in the far-field and identification results

為評估該數(shù)值模型的反演效果，本文引入相對誤差和相關(guān)性系數(shù)評估反演結(jié)果和真實施加載荷之間的擬合精度和相關(guān)性，其定義為

式中，RE和CC分別為相對誤差和相關(guān)性系數(shù)，p'和preal分別為反演結(jié)果和真實施加載荷列向量，p'i和pi分別為第i個時間點時的反演載荷和真實施加載荷，E(·)表示列向量均值。

在實際結(jié)構(gòu)測量中，帶噪聲應(yīng)變信號εerr可寫作

式中，εerr為含有噪聲信號的應(yīng)變信號，lnoise為百分?jǐn)?shù)，std(ε)為ε標(biāo)準(zhǔn)差，代表噪聲的水平，rand(-1,1)為(-1,1)之間的隨機數(shù)。

為評估遠場冰載荷識別模型的正則化能力及抗噪能力，直接將式（20）中定義的噪聲信號施加到船體冰激應(yīng)變中，噪聲水平由1%增加到20%，增加步長為1%，圖5為不同噪聲水平下未經(jīng)濾波處理和經(jīng)過濾波處理識別結(jié)果的相對誤差和相關(guān)性系數(shù)。分析可知，即使在20%噪聲水平影響下，未經(jīng)濾波處理的識別結(jié)果的相對誤差也能維持在10%以內(nèi)；相關(guān)性系數(shù)越接近1 說明信號之間的整體相關(guān)性越強，模擬中的相關(guān)性系數(shù)一直維持在0.99 以上說明其反演載荷可始終對應(yīng)上施加載荷，未出現(xiàn)較大偏差。另外，經(jīng)濾波處理后的結(jié)果相對誤差明顯降低、反演結(jié)果的相關(guān)性系數(shù)明顯升高，說明其濾波器的降噪效果明顯。因此，該模型中的正則化算子和濾波器可很好地控制反演矩陣中小奇異值和噪聲信號的影響。

圖5 不同噪聲信號水平下相對誤差與相關(guān)性系數(shù)Fig.5 Relative errors and correlation coefficients at different noise levels

3.2 船體遠場冰載荷識別模型的試驗驗證

為評估識別模型在實際應(yīng)用中的適用性和準(zhǔn)確性，船體外板載荷遠場識別試驗在結(jié)構(gòu)試驗臺上進行。圖6（a）為載荷監(jiān)測點與遠場測量點在外板結(jié)構(gòu)上的分布示意圖，通過記錄遠場測量點的應(yīng)變信號和載荷識別模型對監(jiān)測點載荷時程進行識別。圖6（b）為試驗設(shè)備的整體視圖，試驗設(shè)備由施加載荷裝置、外板結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)采集器三部分組成。船體外板結(jié)構(gòu)由外板、肋骨和縱桁等強框架組成，如圖6（c）所示。

圖6 船體外板遠場載荷識別試驗Fig.6 Far-field load identification test of the ship shell structure

為保證肋骨與真實結(jié)構(gòu)之間的結(jié)構(gòu)相似性最大化[28]，肋骨縱向端部與縱絎相固定，且監(jiān)測及測量的位置均遠離邊界。試驗?zāi)Ｐ椭械陌宥疾捎? mm 厚的鋁合金板，彈性模量、材料密度和泊松比分別為70 GPa、2700 kg/m3和0.3。各國學(xué)者把船舶外板結(jié)構(gòu)冰載荷識別中的邊界條件通常設(shè)置為固支或接近固支[4-5]，故本文試驗?zāi)Ｐ瓦吔绮捎寐菟ê瓦厳l的組合方式進行約束，同時數(shù)值模型中的邊界條件也設(shè)為固支。在通過裝置施加載荷的過程中，船舶外板結(jié)構(gòu)并未出現(xiàn)影響到載荷識別精度的冰激振動現(xiàn)象。模型處于線彈性狀態(tài)，結(jié)構(gòu)阻尼采用比例阻尼。應(yīng)變信號由DH5922N 進行采集，采樣頻率為10 kHz，數(shù)據(jù)采集過程中采用抗混濾波器。應(yīng)變片采用帶溫度補償片的半橋連接方式，同時采用靠近肋骨邊緣且其方向平行于外板的貼片方式。本文采用速比為36∶1、螺距為6 mm的減速型絲杠升降機裝置施加載荷，通過手搖方式控制絲杠升降（圖6（b）所示的手搖裝置），絲杠升降過程中對試樣加載力由圖6（b）所示的壓力傳感器直接測量得到。

采用加載設(shè)備對載荷圖6（c）中的監(jiān)測點施加兩次載荷時程，加載的時程曲線如圖7（a）和圖7（b）所示，加載的時程曲線也呈現(xiàn)三角波的形式。對應(yīng)的應(yīng)變時程曲線如圖7（c）和圖7（d）中的細實線所示，可看出兩次加載工況應(yīng)變信號的噪聲水平在整個時程都高于40%。采用移動平均濾波后的應(yīng)變時程如圖7（c）和圖7（d）中的的粗實線所示，其信號可以較為準(zhǔn)確地描述原信號的時程特征。實船測量中的冰載荷與肋骨上應(yīng)變間的關(guān)系是無法校驗的，僅能通過加載裝置進行驗證。對比Ricth等[4]和Suominen 等[5]的冰區(qū)船舶加載試驗可知，本文測量得到的應(yīng)變-加載力之間的對應(yīng)性與其是一致的。

圖7 原應(yīng)變信號及經(jīng)移動平均濾波器處理后的信號Fig.7 Original strain signals and the signals processed by the moving average filter

反演的載荷時程如圖8中的方形點所示，載荷信號整體上呈現(xiàn)出三角波的形式，反演信號的采樣頻率為2 Hz。施加的載荷信號如圖8 中實線所示。對比二者信號時程可知，整個時程均可以很好地對應(yīng)施加載荷的時程曲線。兩個工況下識別的相對誤差分別為5.73%和12.59%，相關(guān)性系數(shù)分別為0.997和0.996。識別載荷誤差主要來自于真實結(jié)構(gòu)與數(shù)值模型之間不可避免的誤差和應(yīng)變信號較大的噪聲水平。

圖8 施加載荷時程及反演載荷時程Fig.8 Time history curves of the applied loads and the identified loads

4 結(jié) 語

實船的冰載荷監(jiān)測是保障冰區(qū)航行船舶結(jié)構(gòu)安全、認(rèn)知不同航行模式及不同冰型下冰載荷特征的重要途徑。本文提出的船舶結(jié)構(gòu)冰載荷遠場識別模型是對原有冰載荷監(jiān)測方案的擴展，可提升船體結(jié)構(gòu)冰載荷監(jiān)測范圍，從而提升對船舶全船尺度下冰載荷分布的認(rèn)知水平。通過對冰載荷遠場問題適定性分析可知，其系統(tǒng)已達到不能直接求解的極度病態(tài)程度。對比直接求逆的辦法可知，引入的共軛梯度最小二乘算法和對應(yīng)迭代終止準(zhǔn)則的正則化算子可很好地提升模型的載荷識別能力。結(jié)合正則化方法及移動平均濾波技術(shù)的識別模型識別了試驗中兩個工況的施加載荷，其時程特征都能較為準(zhǔn)確地對應(yīng)，也驗證了該方法在工程中應(yīng)用的可行性。為提高識別模型的反演精度及計算效率，下一步將從設(shè)計濾波器和迭代終止判斷等方面出發(fā)對真實冰載荷進行識別分析，從而將其擴展到實船的冰載荷監(jiān)測中。