張藝瀚，王 平，蔡新功

（中國(guó)船舶及海洋工程設(shè)計(jì)研究院，上海 200011）

0 引 言

三體船型具有較單體船型更好的快速性、耐波性和總布置性等優(yōu)點(diǎn)[1]，已經(jīng)在很多實(shí)船上得到了體現(xiàn)，包括美國(guó)LCS 三體瀕海戰(zhàn)斗艦、澳大利亞三體高速車客渡船等。實(shí)船試驗(yàn)及相關(guān)模型試驗(yàn)研究[2]表明，三體船型橫搖運(yùn)動(dòng)特性與常規(guī)單體船型有所不同，在波浪中低速航行時(shí)經(jīng)常發(fā)生大幅橫搖及不穩(wěn)定橫搖現(xiàn)象，可以通過引入非線性橫搖阻尼模型和非線性恢復(fù)力模型進(jìn)行研究。

非線性橫搖運(yùn)動(dòng)方程從數(shù)學(xué)角度難以求得精確解析解，通常基于勢(shì)流理論計(jì)算等效線性化阻尼下的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)[3]，此外，利用CFD 可以模擬波浪中的大幅橫搖衰減運(yùn)動(dòng)[4-5]，但較難精確仿真不穩(wěn)定的非線性橫搖現(xiàn)象，且計(jì)算效率較低。為了從理論角度解釋三體船可能存在的特殊橫搖運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，以便在工程中給予指導(dǎo)建議，本文采用非線性動(dòng)力學(xué)理論中的攝動(dòng)法來定性與定量地分析波浪中非線性橫搖運(yùn)動(dòng)特性。攝動(dòng)方法主要有LP 法、多尺度法、平均法[6]等。丁勇等[7]研究了單體船型在靜水中的橫搖解析解，并通過數(shù)值和試驗(yàn)加以驗(yàn)證；胡安康等[8]基于多尺度法研究了集裝箱船在橫浪中的橫搖解析解和橫搖特性，但是關(guān)于三體船型的近似解析解的相關(guān)研究目前還未有學(xué)者進(jìn)行公開報(bào)道。三體船型的非線性橫搖模型具有一定特殊性，通常其阻尼模型采用線性加平方模型（LPQD）或線性加立方模型（LPCD）[9]，主要根據(jù)具體的船型特點(diǎn)和附體型式進(jìn)行選擇[10]。本文研究的某高速三體實(shí)船的阻尼模型中，立方阻尼成分明顯大于平方成分，在大幅橫搖時(shí)非線性更加明顯，因此本文采用線性加立方的阻尼形式。方程中的非線性恢復(fù)力模型可以通過靜水力曲線擬合得到，擬合結(jié)果也和單體船有所不同，將在后續(xù)討論。

多尺度法對(duì)于非穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的適應(yīng)性較強(qiáng)，并且容易對(duì)穩(wěn)態(tài)解作定性分析。本文應(yīng)用該方法計(jì)算得到三體船在波浪中的幅頻響應(yīng)和時(shí)歷穩(wěn)態(tài)解，并通過模型試驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證,分析了阻尼系數(shù)和恢復(fù)力系數(shù)對(duì)橫搖運(yùn)動(dòng)特性的影響，從理論角度有效解釋了三體船非線性橫搖運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)和特殊現(xiàn)象，并為三體船的研發(fā)設(shè)計(jì)提供了一定的理論支撐。

1 非線性橫搖運(yùn)動(dòng)方程及近似解析解

根據(jù)線性加立方阻尼模型及后續(xù)得到的近似到5 次方的非線性恢復(fù)力模型，本文建立的正橫浪規(guī)則波狀態(tài)下非線性橫搖運(yùn)動(dòng)方程如下：

式中，Jφφ、ΔJφφ分別為橫搖慣性矩和附加慣性矩，可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式[11]或者通過試驗(yàn)獲得橫搖固有周期，再根據(jù)式（2）推導(dǎo)得到。

式（1）中，2Nφφ為線性阻尼系數(shù)，N3為立方阻尼系數(shù)，C1、C2、C3分別為線性、3 次和5 次恢復(fù)力矩系數(shù)，可通過穩(wěn)性力臂曲線擬合得到，其中C1=Dh，D=Δg，h為初穩(wěn)心高。F為波浪力幅值，可以認(rèn)為由波浪主干擾力和輻射力疊加而成。其中，波浪主干擾力Ff-k是主要組成部分，通?？梢杂貌▋A角表示，F(xiàn)f-k=Dhae0為波浪力幅值[12]，ae0為有效波面角，考慮船寬和船吃水限制的影響。

為方便后續(xù)分析，方程（1）兩邊同除以Jφφ+ΔJφφ，化簡(jiǎn)為

式中，nφ為橫搖固有頻率，2υφφ為線性橫搖阻尼系數(shù)，υ3為3次橫搖阻尼系數(shù)。

20世紀(jì)50年代，美國(guó)學(xué)者Sturrock引入多尺度法[13]，通過引入小參數(shù)ε，一系列越來越慢的時(shí)間尺度可以表示為

由于本文取到一階近似解析解，只需取T0=t、T1=εt兩項(xiàng)，同時(shí)引入激勵(lì)頻率的失調(diào)參數(shù)δ，使ω=ω0+εδ，其中ω0=nφ，為橫搖系統(tǒng)的固有頻率。

引入小參數(shù)后，將橫搖運(yùn)動(dòng)方程(3)化為含阻尼的Duffing系統(tǒng)受迫振動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)方程：

由參考文獻(xiàn)[6-8]中的多尺度法攝動(dòng)推導(dǎo)，得到橫搖運(yùn)動(dòng)的一階穩(wěn)態(tài)解為

其中,

橫搖幅頻響應(yīng)曲線為

橫搖一階近似解析解為

其中，前兩項(xiàng)為一階近似穩(wěn)態(tài)解

式中，相位γ=δT1-β。

2 三體船算例分析

2.1 計(jì)算模型及主要參數(shù)

為了驗(yàn)證上述方法對(duì)三體船的適用性并分析三體船型非線性橫搖特性，采用某三體客船為研究對(duì)象，表1為主尺度參數(shù)，圖1為橫剖面圖。

圖1 三體船橫剖面圖Fig.1 Cross section of trimaran

表1 主尺度參數(shù)Tab.1 Principal dimensions

計(jì)算采用的線性及非線性橫搖阻尼系數(shù)通過船模橫搖衰減試驗(yàn)獲取，圖2 為船模橫搖衰減試驗(yàn)的照片，衰減試驗(yàn)時(shí)采用3自由度，即橫搖、縱搖和垂蕩。圖3 為靜水橫搖衰減曲線，圖4 為采用最小二乘法擬合的消滅曲線?？梢姡瑢?duì)于本文研究三體船型，采用線性加3 次方形式（LPCD）的橫搖阻尼模型是合適的。

圖2 橫搖衰減試驗(yàn)Fig.2 Roll decay experiment

圖3 橫搖衰減曲線Fig.3 Roll decay curve

圖4 橫搖衰減消滅曲線Fig.4 Extinction curve of rolling

擬合后的消滅曲線方程為

橫搖方程中的非線性恢復(fù)力系數(shù)通過擬合實(shí)船恢復(fù)力臂曲線得到。

本船恢復(fù)力臂曲線（GZ 曲線）采用NAPA 軟件，基于靜力學(xué)并通過實(shí)船自由液面修正后得到，應(yīng)用最小二乘法得到擬合曲線（見圖5），可見擬合程度較高。

圖5 恢復(fù)力臂曲線及擬合結(jié)果Fig.5 GZ curve and fitting result

非線性恢復(fù)力臂擬合方程為

從恢復(fù)力臂曲線也可以發(fā)現(xiàn)三體船型與單體船的區(qū)別，這種船型由于片體的存在，有效船寬較大，導(dǎo)致穩(wěn)性消失角很大，幾乎在90°左右，而單體船通常在60°以下，數(shù)值上非線性恢復(fù)力系數(shù)的正負(fù)號(hào)與單體船不同，這些因素將使得幅頻曲線具有一定的特殊性。

表2為方程中需要用到的具體計(jì)算參數(shù)，其中需要說明的是附加慣性矩是根據(jù)式（2）通過船模試驗(yàn)得到的固有周期反推得到。

表2 計(jì)算參數(shù)Tab.2 Parameters for calculation

2.2 數(shù)值及試驗(yàn)驗(yàn)證

2.2.1 試驗(yàn)驗(yàn)證取單位波幅橫浪規(guī)則波，將實(shí)船參數(shù)代入式（8），得到橫搖幅頻曲線，如圖6所示。實(shí)船阻尼下，在波浪激勵(lì)頻率與橫搖固有頻率比接近1時(shí)，橫搖幅值達(dá)到最大值，對(duì)應(yīng)橫搖非線性系統(tǒng)發(fā)生主共振的情況。隨著阻尼的減小，主共振的幅值會(huì)沿著骨架線逐漸增大，幅值對(duì)應(yīng)的頻率向右側(cè)傾斜，表現(xiàn)出剛性軟化的趨勢(shì)，但隨著阻尼的進(jìn)一步減少，又展現(xiàn)出剛性漸硬的趨勢(shì)，直到極限情況下的無阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)的幅值可能達(dá)到最大值，成為所有阻尼情況下的包絡(luò)線。為了驗(yàn)證幅頻曲線的正確性，針對(duì)該三體船開展了橫搖規(guī)則波試驗(yàn)，本試驗(yàn)在哈爾濱工程大學(xué)拖曳水池開展，如圖7所示，通過三自由度適航儀進(jìn)行零航速橫搖運(yùn)動(dòng)試驗(yàn)，系列規(guī)則波取多個(gè)不同的周期，比如（0.5～2.0 s），分別造出波高約為0.05 m 的規(guī)則波，記錄橫搖角的時(shí)間序列，并進(jìn)行時(shí)域統(tǒng)計(jì)得到幅頻響應(yīng)曲線，圖8為橫浪規(guī)則波試驗(yàn)照片。幅頻曲線與試驗(yàn)值的對(duì)比見圖6。從圖中可見，應(yīng)用近似解析法得到的實(shí)船幅頻曲線與試驗(yàn)值吻合良好，平均誤差在10%以內(nèi)。

圖6 橫搖幅頻響應(yīng)曲線Fig.6 Amplitude-frequency response curves of rolling

圖7 拖曳水池Fig.7 Towing tank

圖8 橫浪規(guī)則波試驗(yàn)Fig.8 Rolling test in regular beam waves

2.2.2 數(shù)值驗(yàn)證

針對(duì)式（1）表達(dá)的非線性橫搖方程，應(yīng)用4 階龍格庫塔法直接進(jìn)行數(shù)值求解[14]，取ω/ω0= 1 的情形，初始橫搖角取為3°。同時(shí)，在結(jié)果中加入了對(duì)應(yīng)波浪頻率下試驗(yàn)穩(wěn)態(tài)值的對(duì)比，其中圖9 為數(shù)值解法與多尺度法的對(duì)比，可見數(shù)值解法可以展現(xiàn)橫搖運(yùn)動(dòng)從初始到穩(wěn)定的過程，多尺度法與數(shù)值解較為接近。圖10 為多尺度法近似解析解的穩(wěn)態(tài)值與試驗(yàn)穩(wěn)態(tài)值的對(duì)比，周期吻合度較高，幅值誤差約為8%。

圖9 多尺度法與數(shù)值解的比較Fig.9 Comparison of multi-scale method and numerical solution

圖10 多尺度法與試驗(yàn)值的比較Fig.10 Comparison of multi-scale method and experimental values

2.3 橫搖運(yùn)動(dòng)特性分析

三體船橫搖運(yùn)動(dòng)的非線性成分主要體現(xiàn)在阻尼非線性和恢復(fù)力非線性。本文通過基于多尺度法得到的幅頻曲線研究這兩種非線性因素對(duì)橫搖運(yùn)動(dòng)的影響，進(jìn)而分析三體船型的橫搖運(yùn)動(dòng)特性。

2.3.1 阻尼系數(shù)的影響

本文研究的三體船橫搖非線性阻尼模型為線性加三次阻尼模型，分別按同比例縮減的原則改變線性阻尼和非線性阻尼的大小得到幅頻曲線，如圖11 所示。橫搖阻尼的存在使橫搖運(yùn)動(dòng)保持穩(wěn)定，其大小的變化主要體現(xiàn)在橫搖幅值的大小上，并不會(huì)改變曲線形狀和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，無論是線性阻尼的變化還是非線性阻尼的變化，都不會(huì)改變幅頻響應(yīng)曲線的框架，隨著阻尼的減小，都向著無阻尼情況的趨勢(shì)在發(fā)展，非線性阻尼系數(shù)的變化對(duì)于幅值變化更加敏感。另外，隨著阻尼系數(shù)的減少，橫搖系統(tǒng)除了幅值增加外，還會(huì)出現(xiàn)多值、跳躍等現(xiàn)象。由于三體船的非線性橫搖阻尼在總阻尼中占的成分較單體船更大，因此在三體船的設(shè)計(jì)中，提供較大的非線性阻尼成分對(duì)三體船型的橫搖運(yùn)動(dòng)控制起著關(guān)鍵作用，例如通過增加減搖水翼、舭龍骨等附體，可以提供一定的非線性漩渦阻尼，對(duì)橫搖運(yùn)動(dòng)具有較大的改善作用。另外，對(duì)比文獻(xiàn)[15]中單體船情況，三體船在大阻尼下幅頻曲線變化規(guī)律與單體船基本一致，但隨著阻尼的減少，三體船的最大幅值提升更快，從非線性動(dòng)力學(xué)角度來看，由大阻尼狀態(tài)下的剛度軟化變成剛度硬化的趨勢(shì)，更容易出現(xiàn)大幅橫搖和不穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。因次，保證三體船的橫搖阻尼是保證其橫搖運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵。

圖11 阻尼對(duì)橫搖的影響Fig.11 Effect of damping on rolling

2.3.2 恢復(fù)力的影響

包括單體船、雙體船或三體船在內(nèi)的不同船型的恢復(fù)力臂曲線都有各自的特點(diǎn)，通常應(yīng)用高階模型擬合非線性恢復(fù)力。針對(duì)三體船，從上述研究中發(fā)現(xiàn)恢復(fù)力臂擬合到5階非線性項(xiàng)較為合適，線性及高階恢復(fù)力系數(shù)分別為C1、C3、C5，從研究橫搖非線性派生系統(tǒng)的穩(wěn)定性角度，這些系數(shù)的大小和正負(fù)能夠影響橫搖幅頻響應(yīng)曲線的形狀。

（1）恢復(fù)力系數(shù)正負(fù)的影響

線性恢復(fù)力系數(shù)C1＞0，其大小由初穩(wěn)心高決定。三次項(xiàng)系數(shù)C3主要調(diào)整恢復(fù)力臂曲線的形狀，船舶的恢復(fù)力力臂隨著橫傾角的增加都是先增加后減少為零（對(duì)應(yīng)的為穩(wěn)性消失角），導(dǎo)致系數(shù)C3＜0。而五次項(xiàng)系數(shù)C5主要與穩(wěn)性消失角的大小有關(guān)，隨著穩(wěn)性消失角增加，其符號(hào)呈現(xiàn)由負(fù)到正的變化趨勢(shì)。本文研究的三體船由于穩(wěn)性消失角較大，C5＞0，而單體船穩(wěn)性消失角較小，往往為負(fù)值。這也可以從三體船船型的布置特點(diǎn)進(jìn)行理解，隨著三體船片體從最靠近主體的位置往外側(cè)移動(dòng)，相當(dāng)于由單體船變成三體船，恢復(fù)力變大，穩(wěn)性消失角變大。因此，C5會(huì)隨著三體船的布局變化正負(fù)，同時(shí)也和重心的位置有關(guān)。圖12為不同C5下的橫搖幅頻響應(yīng)曲線，可見，當(dāng)C5＞0時(shí)，幅頻曲線表現(xiàn)出剛度漸硬的趨勢(shì)，在小阻尼時(shí)有發(fā)生大幅不穩(wěn)定橫搖的可能性；當(dāng)C5＜0 時(shí)，幅頻曲線表現(xiàn)出剛度漸軟的趨勢(shì)，在小阻尼時(shí)橫搖幅值趨于固定值，不容易發(fā)生橫搖不穩(wěn)定現(xiàn)象。

圖12 橫搖幅頻曲線Fig.12 Amplitude-frequency curves of rolling

（2）恢復(fù)力系數(shù)大小的影響

三體船的船型特點(diǎn)決定了其穩(wěn)性消失角較大，導(dǎo)致C5＞0。圖13 為不同大小的五次方恢復(fù)力系數(shù)C5對(duì)幅頻曲線的影響?？梢姡谄x主共振頻率段和大阻尼情況下，橫搖幅值在不同恢復(fù)力大小下基本吻合，但在小阻尼主共振及附近頻率段，曲線形狀隨著C5的減小有由剛度漸硬向漸軟轉(zhuǎn)變的趨勢(shì)，發(fā)生不穩(wěn)定橫搖的橫搖幅值有逐漸變小和穩(wěn)定的趨勢(shì)。因此，三體船設(shè)計(jì)時(shí)，在不能控制阻尼的情況下，可以通過改變船型布局及重心高度的方式控制恢復(fù)力系數(shù)來減少不穩(wěn)定大幅橫搖發(fā)生的概率。

圖13 恢復(fù)力系數(shù)C5(r5)的大小對(duì)橫搖的影響Fig.13 Effect of the amplitude of C5(r5)on rolling

3 結(jié) 論

（1）多尺度法近似解析解適用于三體船非線性橫搖運(yùn)動(dòng)的求解，可以用來定性和定量分析三體船型的橫搖非線性運(yùn)動(dòng)特性。由三體船的船型特點(diǎn)決定的非線性橫搖阻尼和非線性恢復(fù)力系數(shù)形式會(huì)使其在小阻尼情況下有發(fā)生大幅橫搖的可能性。

（2）三體船橫搖阻尼系數(shù)的成分中非線性橫搖阻尼系數(shù)占較大成分，對(duì)三體船在波浪中保持穩(wěn)定的橫搖運(yùn)動(dòng)起到關(guān)鍵作用。在設(shè)計(jì)研發(fā)時(shí)，采取增加非線性橫搖阻尼的措施有利于提升橫搖運(yùn)動(dòng)性能。

（3）三體船恢復(fù)力系數(shù)大小和正負(fù)會(huì)影響主共振附近區(qū)域的橫搖幅值變化趨勢(shì)，可以通過改變船型布局及參數(shù)控制來減少不穩(wěn)定大幅橫搖發(fā)生的概率。