李 華

(河南城建學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,河南 平頂山 467036)

1 預(yù)備知識(shí)

記N={

1,2,…,n},Cn×n(Rn×n)表示n階復(fù)(實(shí))矩陣集,設(shè)A=(aij)∈Rn×n,σ(A)表示矩陣A的譜集合,ρ(A)表示A的譜半徑.若aij≥0(aij>0),則A為非負(fù)(正)矩陣,記Zn={

A=(aij)|aij≤0,i≠j

},設(shè)A=(aij)∈Zn.若A=sI-B,B>0,s≥ρ(B),則稱A為M-矩陣.若s>ρ(B),稱A為非奇異M-矩陣,非奇異M-矩陣的集合記為Mn.稱

設(shè)B=(bij)∈Mn,E=diag(bii)>0，記N=E-B,JB=E-1N,則JB為非負(fù)矩陣.

對(duì)于非奇異M-矩陣A=(aij)與非奇異M-矩陣B=(bij)的逆矩陣B-1=(βij)的Hadamard積AoB-1的最小特征值的估計(jì)有如下結(jié)果：

2015年蔣建新[4]得到：

本文首先對(duì)非奇異M-矩陣A=(aij)與非奇異M-矩陣B=(bij)的逆矩陣B-1=(βij)的Hadamard積的最小特征值進(jìn)行估計(jì),得到新的估計(jì)式.然后對(duì)M-矩陣最小特征值的下界進(jìn)行估計(jì)，得到新的不等式.

2 主要結(jié)果

引理 1[3]設(shè)B=(bij)∈Mn且不可約，y=(yi)>0,有JBy=ρ(JB)y.則對(duì)于B-1=(βij)有：

引理 2[5]設(shè)a=(a1,a2,…,an)T≥0,b=(b1,b2,…,bn)T≥0,則有：

其中k=1,2

引理 3[6]設(shè)P為非負(fù)不可約，若存在不等于零的非負(fù)向量z使得Pz≤kz,則ρ(P)≤k.

引理 4[7]設(shè)Q∈Mn且不可約，若存在不等于零的非負(fù)向量z使得Qz≥kz,則τ(Q)≥k.

定理1 設(shè)A=(aij),B=(bij)∈Mn,B-1=(βij),且A和B為不可約矩陣,則有:

由引理4得：

由于τ(C)=τ(CT)則有：

上式對(duì)k=1,2成立.

定理2設(shè)A=(aij)≥0,B=(bij)∈Mn,B-1=(βij),且A和B為不可約矩陣,則有

由引理3得：

即：

上式對(duì)k=1,2成立.

定理3 設(shè)B=(bij)∈Mn,B-1=(βij)，則有

其中k=1,2.

3 數(shù)值例子

由文獻(xiàn)[4] 的結(jié)果知：

由文本定理1知,當(dāng)k=2時(shí),

由文獻(xiàn)[4] 的結(jié)果知：

由文本定理1知,當(dāng)k=2時(shí),

從例1和例2的結(jié)果可知,本文定理1的結(jié)果在一定條件下比文獻(xiàn)[1-4]所得到的界值估計(jì)更精確，且易于計(jì)算.