張萬秋，譚棟文，周新平,2

(1.華中科技大學，湖北 武漢 430074； 2.浙江大學 流體動力與機電系統(tǒng)國家重點實驗室，浙江 杭州 310027)

毛細現(xiàn)象在自然界較為常見，比如：水黽水面行走、植物種子漂浮、浮萍聚集；在工業(yè)界也有著比較廣泛的應用，比如：噴灑反濕潤噴霧防止眼鏡和車窗上的水汽遮擋視線、油墨打印技術(shù)、毛細光刻技術(shù)等。在表面張力作用下液體會在固體表面變形[1-5]，固體周圍液氣界面形狀由顆粒重力、毛細力、液體壓力決定，與其表面接觸角、密度、尺寸形狀有關(guān)。當兩個固體顆粒逐漸靠近時，它們之間存在相互作用力，每個顆粒周圍的液氣界面形狀也在不斷的改變，在能量最小時達到平衡狀態(tài)。

多個固體在液面上時，液體表面因變形產(chǎn)生的毛細作用力會制約固體的自由運動。固體之間液氣交界面形狀決定了兩者之間的相互作用力。Uzi等[6]基于線性疊加假設，研究了漂浮顆粒之間的橫向毛細作用力。Sasai[7]基于線性公式求解了漂浮在熔融態(tài)鋼液表面上的三氧化二鋁渣粒之間的毛細吸引力。Danov和Kralchevsky[8]基于線性假設開展了毛細多極子理論研究工作。然而，線性化處理在不滿足小坡度假設的情況下可能會導致結(jié)果的失真，最小能量法可以避免這個問題。Dushkin[9]研究了兩個圓柱(圓球)之間的毛細受力情況，使用線性化方法簡化楊-拉普拉斯方程，略去非線性項。Raufaste等[10]則基于最小能量法計算了傾斜圓柱的液氣交界面形狀，使用最小能量法在結(jié)果上等價于求解完全的楊-拉普拉斯方程，具備較好的精度。對于方柱彎月面形狀的研究還比較缺乏，本文使用最小能量法，研究兩個方柱間液氣交界面的形狀隨著放置方向、間距、接觸角、邦德數(shù)的不同而變化的情況，在方法上具備良好的精度，能對研究方形物體的彎月面形狀帶來一定的啟示。

1 模型

當液體潤濕固體表面時，系統(tǒng)的總能量W包括重力勢能Wg、液體表面能Wm和壁面潤濕能Ww。穩(wěn)定的彎月面構(gòu)型在系統(tǒng)總能量最小的時候取得?？梢圆捎米兎址ㄍ茖С龇蔷€性的楊-拉普拉斯方程，但一般情況下該非線性彎月面方程難以求解，為了計算簡便，常采用基于線性化假設的處理方法。也可以通過直接數(shù)值求解系統(tǒng)的最小能量來找到對應的彎月面構(gòu)型。本文采用有限元軟件Surface Evolver(SE)[11]進行數(shù)值求解，得到系統(tǒng)最小能量對應的彎月面構(gòu)型。重力勢能Wg為體積分形式，而液體表面能Wm和壁面潤濕能Ww都為面積分形式。在SE中，將系統(tǒng)的重力勢能項Wg從體積分形式轉(zhuǎn)化為面積分形式，而對于壁面潤濕能項Ww，將其從壁面處的面積分形式轉(zhuǎn)化為線積分形式。

采用SE計算時，需要確定計算域的幾何條件，進行網(wǎng)格劃分，并對點、線、單元按一定的順序和方向編排序號。定義方柱中軸與x軸(水平方向)的夾角為方位角α。圖1所示為兩柱方位角都為0°(兩方柱邊對邊放置)條件下計算域網(wǎng)格劃分示意圖。圖1中：線段1、2、3、4和5、6、7、8分別表示兩個方柱的壁面邊界線，需要根據(jù)方柱的形狀參數(shù)設定幾何約束；線段9、10、11、12為計算域遠場的邊界，無須設置幾何約束。編寫相關(guān)文件并運行計算，可以得到彎月面最終構(gòu)型。

圖1 當兩個方柱的方位角α=0°時的計算域網(wǎng)格劃分示意圖

通過改變幾何或物理參數(shù)，如方柱中心間距D、方位角α、接觸角θ和重力加速度g，可以得到不同條件下的彎月面構(gòu)型。以標準狀況下的水為研究對象，水密度ρ=1 000 kg/m3，表面張力系數(shù)γ=0.072 N/m，并假設兩個方柱具有相同的條件，即具有相同的邊長、方位角和固液接觸角，并令邊長為固定值L=2.7 mm，定義無量綱參數(shù)邦德數(shù)Bo=ρgL2/γ來表征重力加速度的變化。

2 結(jié)果與討論

當SE計算收斂時，所形成的穩(wěn)定彎月面構(gòu)型如圖2所示。根據(jù)主視圖，彎月面高度變化類似于一個馬鞍形，關(guān)注“馬鞍”的中點，令方柱中心線連線中點的彎月面高度為Hm，并觀察Hm隨不同參數(shù)的變化。SE計算收斂時的結(jié)果如圖2所示。當兩個方柱的對應對稱軸之間的夾角改變時，彎月面形狀也將隨之改變。

圖2 當α=0°，θ=30° D=2.5 L，Bo=1時的SE計算結(jié)果

圖3比較了α=0° (邊對邊放置)和α=45°(尖對尖放置)兩種條件下Hm隨D的變化。由圖3可以看出：隨著方柱逐漸靠近，中心高度增加；方柱間距足夠遠時，對兩個方柱之間彎月面中心高度的影響較小。隨著兩方柱逐漸靠近，兩者之間的毛細作用變強，中間自由面的凸起變大；另外，在兩方柱間距較小的情況下，與α=0°條件相比，α=45°條件下的Hm有明顯的增加。

圖3 當θ=30°，Bo=1時，在α=0°和α=45° 兩種條件下的Hm隨D的變化

毛細相互作用與接觸角有關(guān)。為了顯示方柱之間彎月面高度與接觸角的關(guān)系，圖4給出了Hm隨θ的變化情況，結(jié)果表明：隨著接觸角的變大，中心高度逐漸變低；當方柱壁面為親水性時，中心高度高于無窮遠處自由面，當壁面接觸角為90°時，中心高度等于無窮遠處自由面，當壁面為疏水性時，中心高度低于無窮遠處自由面。方柱之間彎月面的形狀主要是由表面張力與重力平衡決定的。因此，重力也將決定自由面上升高度。

圖5以親水性方柱表面(θ=30°)為例，表示了中心高度隨著邦德數(shù)(Bo)的變化情況，結(jié)果表明：小的邦德數(shù)導致了高的自由面中心高度，在接近微重力條件下這種高度增加效果更明顯?？梢钥闯觯诜街砻嬗H水且接觸角沒有改變的情況下，邦德數(shù)越小，自由面能被拉升到更高的位置，在重力加速度極小的情況下，自由面將被拉升到非常高的位置。

圖4 當α=0°，D=2.5 L，Bo=1時Hm隨θ的變化

圖5 當θ=30°，α=0°，D=2.5 L時Hm隨Bo的變化

3 結(jié)論

采用最小能量法，對表面張力和重力作用下兩方柱間液氣交界面形狀進行了數(shù)值計算，研究了兩種放置情況下兩方柱間液氣交界面形狀隨著間距、邦德數(shù)和接觸角條件的變化情況，結(jié)果表明：隨著表面親水的方柱間距逐漸減小，方柱間液氣交界面逐漸升高，兩方柱交錯放置比平行放置的液氣交界面中心高度更大；表面親水的方柱平行放置，在間距不變的情況下液氣交界面隨著邦德數(shù)的減小而逐漸升高；平行放置的方柱無論親水疏水，在間距和邦德數(shù)不變的情況下，方柱間液氣交界面隨著接觸角減小逐漸升高。