肖 曉 鐘 鳴 陸建隆 王 巍，*

（1.南京師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210023；2.南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院，江蘇 南京 210023）

在生活中，常見的帶孔篩子能過濾物體的體積，可以使體積較大的物體留住，體積較小的物體透過.而一張普通的肥皂膜也可以作為篩子，它可以過濾物體的重量，留住較輕的物體，卻透過較重的物體，像是擁有一種 “負(fù)”的過濾特性.這種能“留輕漏重”的肥皂膜篩子有很重要的應(yīng)用，例如在開放式的外科手術(shù)中，使用類似的肥皂膜篩子，就能讓手術(shù)工具通過薄膜進(jìn)入傷口，而灰塵和其他較輕的碎片將被膜阻隔，從而讓手術(shù)在干凈安全的環(huán)境中進(jìn)行.［1］所以該現(xiàn)象非常值得研究.

本文將探究這種肥皂膜篩子“負(fù)”過濾現(xiàn)象的物理機(jī)制，解釋為什么輕顆粒會(huì)被留住、為什么重顆粒能透過并且膜會(huì)愈合；接著對(duì)肥皂膜篩子能“漏多重”、“留多輕”和“用多久”這3個(gè)過濾特性進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究和理論分析，設(shè)計(jì)了不同濃度的膜過濾物體的實(shí)驗(yàn)相圖，并由此驗(yàn)證膜過濾的理論判據(jù).

1 肥皂膜篩子的“負(fù)”過濾現(xiàn)象

圖1是搭建的實(shí)驗(yàn)過濾裝置，在鐵架臺(tái)上固定鐵環(huán)、尺子和可調(diào)節(jié)的物體釋放臺(tái)，這套裝置在觀察現(xiàn)象的同時(shí)可以控制變量進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究.圖2為待過濾物體，采用4種顆粒體積從左到右依次由大到小但單顆質(zhì)量均在mg級(jí)別的石英砂.圖3是肥皂膜配制裝置，購買濃縮泡泡液，將泡泡液與水的濃度比控制在1∶1至1∶9范圍內(nèi)，把半徑為6.25 cm的鐵環(huán)浸在配置好的肥皂液中，慢慢取出就可以得到一張性能較為穩(wěn)定的肥皂膜.

圖1 過濾裝置

圖2 待過濾物體（石英砂）

圖3 肥皂膜配置裝置

圖4和圖5分別展示了輕物體被留住和重物體透過肥皂膜的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.圖4（a）是單個(gè)物體顆粒留在肥皂膜上，圖4（b）是顆粒聚團(tuán)留在膜上.首先，膜會(huì)部分包裹著物體，若輕物體的重量沒有達(dá)到過濾臨界值，就會(huì)被留在膜上，受到擾動(dòng)的膜有著自己的修復(fù)機(jī)制而不破裂；若重物體重量超過過濾臨界值，會(huì)繼續(xù)下落，被拖長的膜頸部在表面張力產(chǎn)生的附加壓強(qiáng)的作用下釘軋成兩部分，一部分包裹著物體下落，如圖5（a），然后重物透過肥皂膜，而膜本身經(jīng)過自我修復(fù)愈合也不會(huì)破裂，如圖5（b）、（c）.

圖4 肥皂膜留住較輕的物體

圖5 肥皂膜透過較重的物體

2 肥皂膜篩子“負(fù)”過濾現(xiàn)象的物理機(jī)制

2.1 為什么肥皂膜篩子能留住輕物體——馬蘭格尼效應(yīng)

對(duì)于液體膜而言，受表面張力的作用會(huì)傾向于收縮成液滴從而降低表面能.因此表面能越高，液膜越不穩(wěn)定.由于液膜有上下兩個(gè)表面，其表面能公式為［2］

式中γ是表面張力系數(shù)，S是膜表面積，表面能與液體的表面張力系數(shù)成正比.由于水的表面張力系數(shù)很大，大約為7.28×10-2N／m（20℃），因此水的表面能很高，很難形成水膜；而肥皂膜的主要化學(xué)成分是高級(jí)脂肪酸鹽，是一種表面活性劑，能降低液膜的表面張力，因此能形成表面張力系數(shù)低于水的肥皂膜，且膜的液水濃度比在1∶1至1∶9的范圍內(nèi)時(shí)比較穩(wěn)定.本實(shí)驗(yàn)利用毛細(xì)管法［3］測量肥皂膜的表面張力系數(shù)，發(fā)現(xiàn)液水濃度比在1∶1至1∶9范圍內(nèi)其表面張力系數(shù)變化很小，約為2.78×10-2N／m（20℃）.

如圖6所示，肥皂膜是一種雙分子層夾帶少量溶液的結(jié)構(gòu).［4］其中，表面活性劑的憎水基（圖6中曲線段）傾向于接觸空氣，親水基（圖6中圓點(diǎn)）傾向于接觸水，這就導(dǎo)致膜面的表面活性劑濃度比膜內(nèi)高，從而降低了膜面的表面張力，使膜更加穩(wěn)定.當(dāng)物體落在膜上，動(dòng)能較小時(shí)，膜產(chǎn)生輕微形變.從圖7可以看出，肥皂膜表面受到擾動(dòng)，表面單分子層被破壞，由于膜面的表面活性劑的濃度高于膜內(nèi)，因此在肥皂膜表面會(huì)產(chǎn)生活性劑濃度差，從而形成表面張力梯度，并在表面產(chǎn)生剪切應(yīng)力，表面張力大的液體對(duì)其周圍表面張力小的液體產(chǎn)生較大的拉力，使液體從表面張力低向張力高的方向流動(dòng)，膜就能維持穩(wěn)定形態(tài)，這就是馬蘭戈尼效應(yīng)，也是膜的自我修復(fù)機(jī)制.

圖6 肥皂膜的結(jié)構(gòu)

圖7 肥皂膜受擾動(dòng)的結(jié)構(gòu)

2.2 為什么重物體能透過并且膜能自我愈合——表面張力產(chǎn)生的附加壓強(qiáng)作用

由于體積較小的石英砂團(tuán)與肥皂膜之間的分離過程很快，不易觀察分析，于是通過觀察體積較大的乒乓球透過膜來放較重的物體透過膜的過程.從圖8可以看出，下落的乒乓球具有較大動(dòng)能，膜包裹著乒乓球并且被拖長，頸部逐漸收縮被夾斷，上半部分愈合成膜，下半部分包裹乒乓球下落.

圖8 乒乓球透過膜的過程圖

膜頸部曲面由表面張力產(chǎn)生的附加壓強(qiáng)由下式表示［4］

其中γ為表面張力系數(shù)，R1和R2為頸部較細(xì)位置和其外表面的界面主曲率半徑（如圖9中標(biāo)出的圓，它們所在的平面互相垂直），兩個(gè)主曲率圓受力都指向圓內(nèi)，且外表面曲率為負(fù)，故R1·R2＜0.其中半徑為R1圓部分的表面張力有使頸部收縮的趨勢，而半徑為R2圓部分的表面張力有使頸部擴(kuò)展的趨勢，兩者存在相互競爭.但因半徑為R1圓半徑更小，在（2）式中可以看出，它相較于半徑為R2圓影響更顯著，因此物體下落的動(dòng)態(tài)過程中頸部收縮的作用會(huì)大于擴(kuò)展作用，被拖長的膜在附加壓強(qiáng)的作用下收縮夾斷，上下兩部分膜經(jīng)過基于馬蘭格尼效應(yīng)的修復(fù)機(jī)制維持穩(wěn)定，最后作衰減振動(dòng).

圖9 主曲率圓示意圖

總的來說，肥皂膜的過濾現(xiàn)象是由表面張力控制的肥皂膜的變形與恢復(fù)產(chǎn)生的.

3 肥皂膜篩子的“負(fù)”過濾特性

本文將探究肥皂膜篩子能“漏多重”的物體、“留多輕”的物體和能“用多久”這3個(gè)過濾特性.其中“漏多重”指一定高度下恰好能被肥皂膜濾除的物體的重量；“留多輕”指準(zhǔn)靜態(tài)情況下肥最多能留住多大重量的物體；“用多久”則指一個(gè)肥皂膜作為篩子工作時(shí)的使用壽命.

3.1 過濾特性1：“漏多重”的研究

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在不同高度釋放同一重量的物體，其過濾情況是不同的.在2018年Birgitt Boschitsch Stogin等根據(jù)能量關(guān)系定義了肥皂膜過濾的能量判據(jù)E*，即比較肥皂膜表面能ES與可忽略不計(jì)的損耗能Ediss的差和物體動(dòng)能Ek之間的大小關(guān)系［1］

其中表面能ES可表示為

式中r0為物體半徑，R0為肥皂膜半徑.物體動(dòng)能可以利用能量守恒定律，通過物體下落至膜的重力做功來表示

可見，物體能否透過膜除了和自身重量大小mg有關(guān)，還與其下落高度h有關(guān).為了直觀呈現(xiàn)雙變量對(duì)肥皂膜篩子過濾的影響，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)如下.對(duì)物體下落高度h的每個(gè)值，通過改變物體質(zhì)量m描繪一個(gè)留住與透過的相圖（畫圈表示留住，畫叉表示透過），如圖10所示，在離膜1.5 cm高度處釋放質(zhì)量依次增加的物體，質(zhì)量為5.8 mg的物體被膜留住，而6.3 mg的物體卻能透過膜，因此存在一個(gè)平均臨界重量.改換參數(shù)多次實(shí)驗(yàn)，可以作出一條分割二維坐標(biāo)的狀態(tài)圖線，圖線左下部分為物體留住、圖線右上部分為物體透過.在同一高度下，物體的重量大小決定了其在肥皂膜篩子上是留住還是透過.因此，這個(gè)相圖直觀反映了肥皂膜篩子在一定高度能“漏多重”的物體.

圖10 1∶1液水濃度比肥皂膜的過濾相圖

改變肥皂膜的液水濃度比，從圖11可以看出，1∶3液水配比的膜能在同一高度下留住較大重量的物體，因此它的過濾性能較好.這是由于當(dāng)液膜很濃時(shí)，表面活性劑濃度大，液膜分子間的表面張力很小，于是膜表面能變??；當(dāng)液膜很稀時(shí)，表面活性劑濃度低，肥皂膜彈性差，過濾能力也會(huì)變小.

圖11 不同液水濃度比肥皂膜的過濾相圖

為了獲得物體過濾情況的判斷機(jī)理，首先對(duì)于損耗能Ediss簡化為忽略不計(jì)項(xiàng).將實(shí)驗(yàn)中測得的物體半徑、質(zhì)量、高度等數(shù)據(jù)代入理論公式（3）至（6），可以繪制出不同液水濃度比肥皂膜的能量過濾判據(jù)，如圖12所示.縱坐標(biāo)是能量的臨界判據(jù)lnE*，橫坐標(biāo)是物體半徑.在理論上lnE*等于0為是否透過肥皂膜的臨界值，lnE*等于0由公式（3）可知肥皂膜表面能ES與物體動(dòng)能Ek相等，即物體動(dòng)能近似等于膜的表面能時(shí)，物體恰好能透過膜.如果lnE*＞0，由公式（3）可知肥皂膜表面能ES比物體動(dòng)能Ek大，則物體會(huì)留在肥皂膜表面，如果lnE*＜0，則肥皂膜表面能ES比物體動(dòng)能Ek小，物體則透過肥皂膜.本文實(shí)驗(yàn)中l(wèi)nE*整體偏低是因?yàn)樵诤喕碚摰倪^程中省去了一部分的損耗能Ediss，物體透過膜時(shí)，動(dòng)能Ek除了克服表面能ES，還有一部分作為肥皂膜被拖長形變時(shí)增加的表面能以及對(duì)物體的阻礙能，所以得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比理論略低.

圖12 不同液水濃度比肥皂膜的過濾判據(jù)

3.2 過濾特性2：“留多輕”的研究

把物體盡可能無初速度貼近膜面釋放，如圖13所示，膜就像袋子一樣兜住了輕物體.此時(shí)輕物體受肥皂膜表面張力的豎直分力和自身重力的共同作用被留在膜上，受力平衡方程為［5］

圖13 物體留在膜上實(shí)驗(yàn)圖

圖14 物體留在在膜上示意圖

從（7）式中可以看出，肥皂膜能容納多大質(zhì)量的輕物體取決于物體聚團(tuán)半徑r0，肥皂膜的表面張力系數(shù)γ以及與膜的彈性相關(guān)的物體陷膜深度角α.

圖15是在準(zhǔn)靜態(tài)情況下，探究不同濃度的肥皂膜分別能留住多大質(zhì)量的輕物體.當(dāng)肥皂膜越稀，雖然在理論上液膜的表面張力系數(shù)會(huì)略微增大，但肥皂膜含水量越多，彈性越差，陷膜深度角α就越小，且彈性的降低作用大于表面張力的增大作用，由（7）式得出能留住的最大物體質(zhì)量是降低的，圖15可以畫出透過區(qū)和留住區(qū).實(shí)驗(yàn)還發(fā)現(xiàn)，物體聚團(tuán)越集中，即r0越小，能留住的最大物體質(zhì)量也是降低的.

圖15 肥皂膜濃度與最大留住質(zhì)量的關(guān)系

3.3 過濾特性3：“用多久”的研究

我們還發(fā)現(xiàn)肥皂膜篩子的使用壽命是有上限的.在過濾時(shí)膜會(huì)包裹著物體，一張膜在過濾3-5次物體后會(huì)變得薄脆易破.此外，膜能“用多久”還受物體疏水性的影響，例如表面干燥疏松的木塊落在膜上會(huì)使膜破裂，但濕潤的木塊能透過且不會(huì)使膜破裂.這是由于干燥的木塊與液膜不浸潤，液膜分子間作用力無法連續(xù)因而形成膜洞，由于表面張力的收縮性膜將破裂.

4 結(jié)論

本文研究了一張普通的肥皂膜可以作為篩子，且有著能讓重物體透過卻將輕物體留住的“負(fù)”過濾特性.在一定高度下，如果不計(jì)損耗能，肥皂膜的表面能ES與物體動(dòng)能Ek相等，即物體動(dòng)能近似等于膜的表面能時(shí)，物體恰好能透過膜；如果肥皂膜的表面能ES比物體動(dòng)能Ek大，則物體會(huì)留在肥皂膜表面；如果肥皂膜表面能ES比物體動(dòng)能Ek小，物體則透過肥皂膜.當(dāng)物體以盡可能無初速度貼近膜面釋放時(shí)，物體質(zhì)量小于過濾臨界質(zhì)量時(shí)，物體會(huì)留在膜上且受力平衡；當(dāng)物體質(zhì)量大于臨界質(zhì)量時(shí)就會(huì)透過肥皂膜.

致謝：感謝參與肥皂膜過濾實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)處理的梁皓辰、梁朝陽、陳龍同學(xué).感謝給予指導(dǎo)和建議的張開楊、莊偉和王琦老師，以及知乎姜小白！