肖 艷

（山東省壽光市壽光世紀學(xué)校，山東 壽光 262700）

1 競賽真題呈現(xiàn)

全國中學(xué)生物理競賽是中學(xué)物理界的高水平賽事，很受社會和中學(xué)師生的關(guān)注和青睞.2020年9月5日舉辦的第37屆全國中學(xué)生物理競賽（預(yù)賽），試題中的第6題［1］是以籃球碰撞地面時損失機械能的原始物理問題［2］為背景，命制的一道力學(xué)題.可該題及參考答案的科學(xué)性值得商榷.

例題.某同學(xué)在原地進行單手運球訓(xùn)練中發(fā)現(xiàn)，讓籃球從靜止開始下落并自由反彈，彈起的最大高度比原來低20 cm.為了讓球每次都能彈回到原來的高度，當(dāng)球回到最高點時，向下拍打一次球，每分鐘拍打100次，籃球質(zhì)量為600 g.取重力加速度大小為10 m／s2.不計空氣阻力和拍球瞬間的能量損失，則該同學(xué)每次拍打小球需做功為______J，拍打小球的平均功率為______W.（參考答案：1.2 J；2.0 W）

2 對原題的討論

2.1 碰撞中損失的機械能的定性分析

眾所周知，在非彈性碰撞中損失的機械能，是由于碰撞的物體發(fā)生非彈性形變（不能完全恢復(fù)）造成的.若碰前籃球能量大，碰撞時與地面的相互作用力大，地面的形變量大，損失的機械能多；若碰前籃球能量小，碰撞時與地面的相互作用力小，地面的形變量小，損失的機械能少.由此可見，碰撞損失的機械能跟碰前籃球的機械能的大小有關(guān)，題目給定的“讓籃球從靜止開始下落并自由反彈，彈起的最大高度比原來低20 cm.”這個條件中，由于損失的機械能確定了，所以籃球的下落高度應(yīng)該是唯一確定的，但題目又沒有給出這個高度，這顯然是不恰當(dāng)?shù)?

2.2 碰撞中的恢復(fù)系數(shù)取決于材料的性質(zhì)

如圖1所示，設(shè)兩球碰撞前速度分別為v1、v2，碰撞后兩球速度分別為v1′、v2′.牛頓于1686年通過實驗總結(jié)出了一個碰撞定律：［3］兩球碰后的分離速度v2′-v1′與碰前的接近速度v1-v2成正比，比值由兩種材料的性質(zhì)決定，即

圖1 兩球碰撞前后的速度示意圖

e稱為恢復(fù)系數(shù)，不同碰撞材料的恢復(fù)系數(shù)可由碰撞實驗測定，恢復(fù)系數(shù)e（0≤e≤1）的大小主要取決于碰撞材料的性質(zhì).e=1的碰撞叫彈性碰撞，此時分離速度等于接近速度；0＜e＜1的碰撞叫非彈性碰撞，此時分離速度小于接近速度；e=0的碰撞叫完全非彈性碰撞，此時碰后兩物體粘合在一起，合二為一，不再分開.

由于本題中碰撞物籃球和地面這兩種碰撞材料沒有變，所以每次碰撞時籃球和地面的恢復(fù)系數(shù)不變.

以向下為正方向，根據(jù)題意，不拍籃球，從h高處自由下落的籃球的接近速度為，籃球反彈的高度比原高度h低Δ h=2 0 c m，則反彈速度為，根據(jù)（1）式得籃球和地面的恢復(fù)系數(shù)為

由于題目沒有給定籃球從靜止開始下落的高度h，只給定了籃球自由反彈，彈起的最大高度比原來低20 cm，即Δh=20 cm是定值.

因此，筆者建議在此題描述的物理背景下作必要的修改，給定籃球下落高度，但不給定向下拍球做功的時機（位置），使其成為一道考查學(xué)生物理建模能力的計算題.

3 試題的修改與解析

修改題：某同學(xué)在原地進行單手運球訓(xùn)練中發(fā)現(xiàn)，讓籃球從靜止開始由1 m高處下落并自由反彈，彈起的最大高度比原來低20 cm.為了讓球每次都能彈回到原來的高度，請在恰當(dāng)?shù)臅r機向下拍球?qū)ζ渥龉ρa充能量，每分鐘拍打100次，籃球質(zhì)量為600 g.取重力加速度大小為10 m／s2.不計空氣阻力和拍球瞬間的能量損失，求：（1）該同學(xué)每次拍打小球需要做的功；（2）該同學(xué)拍打小球做功的平均功率.

解析：由于修改后的題目未給定向下拍球做功的時機，需要考生根據(jù)原始物理情境，建立正確的向下拍球補充能量的物理過程模型.

考慮到籃球每次與地面碰撞后，向下拍球做功補充能量的可重復(fù)性，只能在籃球開始下落高度1 m處向下拍球做功補充能量，使球碰撞地面后反彈到達原高度.

設(shè)每次向下拍籃球做功為W，由于籃球下落或上升的過程中機械能守恒（碰撞的極短時間這一過程中有能量損失），則拍球后碰撞前的機械能是（mgh+W），碰撞后要回到原高度h，碰撞損失的機械能是W.

4 向下拍球與地面碰撞時損失機械能深度分析