華南師范大學附屬中學(510630) 吳忠偉

核心素養(yǎng)為導向的其中一個觀點,核心素養(yǎng)是學生在解決處理綜合復雜問題當中才能體現(xiàn)出來.從新世紀人才培養(yǎng)的要求來看,對于學生綜合實踐能力的培養(yǎng),要放置在綜合實踐活動中,應用題就是活動之一.王尚志教授指出,“當代數(shù)學顯現(xiàn)出的一個特點就是從幕后走到臺前,直接為社會服務,數(shù)學的地位進一步提高,數(shù)學和現(xiàn)實社會的關系更緊密.”

1 新版高中教材中應用題的新特點

1.1 應用題的內容選材與時俱進

上一版教材距今已有十幾年,部分內容距離學生實際生活體驗很遠,不能被學生所理解,這些內容都已經刪除.在新教材當中增加了與時代同步的如大數(shù)據(jù)、數(shù)字經濟等方面的內容.

例1(新教材必修第一冊第156 頁) .人類已進入大數(shù)據(jù)時代.目前, 數(shù)據(jù)量已經從(1 TB=1 024GB) 級別躍升到PB(1 PB=1 024TB), EB(1 EB=1 024PB) 乃至ZB(1 ZB=1 024EB) 級別.國際數(shù)據(jù)公司(ⅠDC) 的研究結果表明,2008年全球產生的數(shù)據(jù)量為0.49ZB,2009年的數(shù)據(jù)量為0.8ZB, 2010年增長到1.2ZB, 2011年的數(shù)量更是高達1.82ZB,而到了2020年,預計全世界所產生的數(shù)據(jù)規(guī)模將達到2011年的44 倍.為了較好地描述2008年起全球產生的數(shù)據(jù)量與時間x(單位：年)的關系,根據(jù)上述數(shù)據(jù)信息,從函數(shù)f(x)=kx+b和g(x)=abx中選擇一個,并求出解析式.

1.2 應用題的內容選材具有教育性

數(shù)學教育不僅要幫助學生學習數(shù)學知識、掌握數(shù)學思維,也要幫助學生形成正確人生觀、價值觀,立德樹人不是一句口號,在解決問題的同時獲取教育信息,新教材起了很好的表率.

例2(新教材必修第一冊第127 頁).酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全,根據(jù)國家有關規(guī)定：100 mL 血液中酒精含量達到20～79 mg 的駕駛員即為酒后駕車,80 mg 及以上認定為醉酒駕車.假設某駕駛員喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了1 mg/mL.如果在停止喝酒以后,他血液中酒精含量會以每小時30% 的速度減少,那么他至少經過幾個小時才能駕駛?

1.3 應用題的數(shù)字內容具有真實性

“數(shù)據(jù)分析”是六個數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一,數(shù)據(jù)是數(shù)學分析的基礎,新教材屏棄了以往應用題中經過處理的“理想數(shù)據(jù)”,與實際數(shù)據(jù)接軌,保證了數(shù)據(jù)的真實有效.

例3(新教材必修第一冊第154 頁) .由于提高了養(yǎng)殖技術并擴大了養(yǎng)殖規(guī)模, 某地的肉雞產量在不斷增加.2008～2018年的11年,上市的肉雞數(shù)量如下：

時間/年2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018肉雞數(shù)量/噸7690 7850 8000 8150 8310 8460 8620 8770 8920 9080 9230

同期該地的人口數(shù)如下：

時間/年2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018人口數(shù)/萬100.0 101.2 102.4 103.6 104.9 106.1 107.4 108.7 110.0 111.3 112.7

(1)分別求出能近似地反映上述兩組數(shù)據(jù)變化規(guī)律的函數(shù);

(2)如果2017年該地上市的肉雞基本能滿足本地的需求,那么2018年是否能滿足市場的需求?

(3)按上述兩表的變化趨勢,你對該地2018年后肉雞市場的發(fā)展有何建議?

1.4 應用題的跨學科內容大幅增加

被稱為塑造未來的跨學科整合的課程(STEM)是科學、技術、工程、數(shù)學四門學科的簡稱,強調多學科的交叉融合,讓學生超越學科的界限進行思考,新教材當中也適時引入跨學科融合的習題.

例4(新教材必修第一冊第256 頁).在地球公轉過程中,太陽直射點在緯度隨時間周而復始不斷變化.

(1) 如圖, 設地球表面某地正午太陽高度角為θ,δ為此時太陽直射點的緯度,φ為當?shù)氐木暥戎?那么這三個量滿足θ= 90° -|φ-δ|.某科技小組以某年春分(太陽直射赤道且隨后太陽直射點逐漸北移的時間)為初始時間,統(tǒng)計了連續(xù)400 天太陽直射點的緯度平均值(太陽直射北半球時取正值,太陽直射南半球時取負值).下面是該科技小組的三處觀測站成員在春分后第45 天測得的當?shù)靥柛叨冉菙?shù)據(jù)：

觀測站A B C觀測站所在緯度φ/度40.000 0 23.439 3 0.000 0觀測站正午太陽高度角θ/度66.387 0 82.946 4 73.614 1太陽直射點的緯度δ/度太陽直射點的緯度平均值/度

請根據(jù)數(shù)據(jù)完成上面的表格(計算結果精確到0.000 1);

(2)設第x天時太陽直射點的緯度平均值為y.該科技小組通過對數(shù)據(jù)的整理和分析, 推斷y與x近似滿足函數(shù)y=Asinωx,其中A為北回歸線的緯度值,約為23.4392911,試利用(1)中的數(shù)據(jù),估計ω的值(精確到10-8);

(3)定義從某年春分到次年春分所經歷的時間為一個回歸年,求一個回歸年對應的天數(shù)(精確到0.000 1);

(4)利用(3)的結果,估計每400年中,應設定多少個閏年,可使這400年與400 個回歸年所含的天數(shù)最為接近(精確到1).

1.5 增加應用題的開放題型

《普通高中數(shù)學課程標準(2017 版)》提出既要重視教,更要重視學,促進學生學會學習.應用題的開放性設計讓學生逐步學會提出問題,更能理解數(shù)學問題的本質.

例5(新教材必修第一冊第161 頁) .如圖, 函數(shù)y=f(x) 的圖象由曲線段OA和直線段AB構成.(1)探索函數(shù)f(x) 的單調性; (2)提出一個能滿足函數(shù)f(x)圖象變化規(guī)律的實際問題.

2 應用題的解題教學策略

2.1 積累生活或學科語言情境轉化為數(shù)學語言情境的儲備知識和經驗

比如例1 的信息量大,而且都是計算機類的,可以轉化為下面一道數(shù)學題：因變量y(ZB)與自變量x(年)的關系如圖所示,

x 2008 2009 2010 2011…2020 y 0.49 0.8 1.2 1.82…80.08

根據(jù)上述數(shù)據(jù)信息,從函數(shù)y=kx+b和y=abx中選擇一個,并求出解析式.

比如例2 中“至少經過幾個小時才能駕駛”,轉換成“至少經過幾個小時后,100 mL 血液中酒精含量低于20mg”.

比如例4 第4 小問“每400年中, 應設定多少個閏年,可使這400年與400 個回歸年所含的天數(shù)最為接近”, 這個問題需要了解閏年的來由, 從可查資料知,“閏年”是為了彌補因人為歷法規(guī)定造成的年度天數(shù)與地球實際公轉周期的時間差而設立的, 補上時間差的年份為閏年, 因為-365) = 96.88, 所以應在400年中設定97 個閏年.

2.2 提高數(shù)學軟件熟練程度,增強輔助教學的力度

目前中學常用數(shù)學軟件有幾何畫板、GeoGebra、R 軟件等,由于新版教材中規(guī)范了應用題內容在數(shù)字部分的真實性,導致運算量大,需要計算器或數(shù)學軟件輔助.

例6(新教材必修第一冊第95 頁).要建造一個容積為1200 m2,深為6m 的長方體無蓋蓄水池, 池壁的造價為95元/m2,池底的造價為135 元/m2,如何設計水池的長與寬,才能使水池的總造價控制在7 萬元以內(精確到0.1 m)?

分析：設水池總造價為y元, 水池長度為xm, 則y= 1140x++27000, 畫出此函數(shù)和函數(shù)y= 7的圖象,如圖所示(用幾何畫板作圖)

由圖可知,若y≤7,則x應介于[xA,xB]之間,xA,xB即為方程1140x++ 27000 = 7 的兩個根, 解得xA ≈6.4,xB ≈31.3.

2.3 開展開放性應用題的訓練,培養(yǎng)問題意識

在例3 第2 小問中,左側曲線段OA符合指數(shù)型函數(shù)(如函數(shù)y=ax2)的特征, 與物理的勻加速現(xiàn)象符合,直線段AB則符合物理的直線勻速運動現(xiàn)象,故可以在很多個角度提出滿足函數(shù)f(x)圖象變化規(guī)律的實際問題,當然,也可以有下面的變式：

例7因防疫需要,學校決定對教室采用藥熏消毒法進行消毒,藥熏開始前要求學生全部離開教室.已知在藥熏過程中,教室內每立方米空氣中的藥物含量y(毫克)與藥熏時間t(小時)成正比;當藥熏過程結束,藥物即釋放完畢,教室內每立方米空氣中的藥物含量y(毫克)達到最大值.此后,教室內每立方米空氣中的藥物含量y(毫克)與時間t(小時)的函數(shù)關系式為y=已知從藥熏開始,教室內每立方米空氣中的藥物含量y(毫克)關于時間t(小時)的變化曲線如圖所示.據(jù)測定,當空氣中每立方米的藥物含量不高于0.125 毫克時,學生方可進入教室,那么從藥熏開始,至少需要經過多少小時后,學生才能回到教室?

3 結束語

研究核心素養(yǎng)的國際權威機構世界經濟合作與發(fā)展組織(OECD)將素養(yǎng)定義為：運用知識、技能和態(tài)度滿足特定情境中復雜需要的能力.它所組織的國際學生評價項目(PⅠSA)也主要測試學生在現(xiàn)實情境下運用數(shù)學解決實際問題的表現(xiàn).史寧中教授提出數(shù)學學科核心素養(yǎng)的本質就是“會用數(shù)學的眼光觀察世界,會用數(shù)學的思維思考世界,會用數(shù)學的語言表達世界”.世界在變,數(shù)學也在變,數(shù)學教材的內容也隨之改變.在核心素養(yǎng)的視角下研究與現(xiàn)實世界密切相關的應用題教學有著重要的價值.