廣東省廣州市鐵一中學(xué)(511447) 劉 國

1 問題呈現(xiàn)

設(shè)x,y為正數(shù), 且x+y= 1, 用反證法證明

詳見《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書.4-5(選修)》(人教A 版)第29 頁習(xí)題2-3 第4 題.此題是一道典型條件不等式證明題,課本要求用反證法證明.如果將此題改為：

設(shè)x,y為正數(shù),且x+y=1,證明

再要求同學(xué)們證明此題,同學(xué)們會(huì)用反證法嗎? 同學(xué)們會(huì)用什么方法證明呢? 解題的價(jià)值并不在于答案本身,而在于弄清“是怎樣想到這種解法或證法的”,“是什么促使你這樣想,這樣做的”,“怎樣做更有效”? 事實(shí)上,一次解題或證題,就像是一次旅行.在這個(gè)旅行中,如果我們能用“心靈”去感知、感受,如果我們能放飛解題的“心靈”,那么,無論是什么數(shù)學(xué)問題,也無論你的思路是否順暢,一路走來,處處背景是風(fēng)景.此題如果只用反證法來證明,那么這次解題之旅時(shí)失敗的,照本宣科使用教材的教學(xué)時(shí)低效的.

2 證法探究

2.1 用反證法證明

得(2x-1)2＜0,這是不可能的.所以9.

以上證法是教師教學(xué)用書給出的證法.

2.2 用比較法證明

證法2：由x+y=1,所以

用比較法證明不等式是最簡(jiǎn)單、最基本、最常見的方法,是證明不等式的首先方法.

2.3 用綜合法證明

證法3：由x+y= 1 得1- x=y, 1- y=x, 因?yàn)橥硭?/p>

又 1 =x+y≥所 以≥ 4, 所 以當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號(hào),則

證法4：由x+y= 1 得-1 =同理

所以

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號(hào),則

證法5：由證法3 變形得

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號(hào),則

證法6：因?yàn)閤2和y2都是正數(shù),所以要證成立,只需證明(1-x2)(1-y2)≥9x2y2成立,展開得1-x2-y2+x2y2≥9x2y2,只需證明8x2y2+x2+y2-1 ≤0,又x ＞0,y ＞0,x+y=1,故只需證明8x2y2+x2+y2-(x+y)2≤0,即8x2y2-2xy≤0,因?yàn)閤 ＞0,y ＞0,x+y=1,故1=x+y≥故xy≤由xy≤成立,得成立.

2.5 用三角代換證明

證法7：設(shè)x=cos2θ,y=sin2θ,θ /=k ∈Z,則

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號(hào),則

2.6 用等差數(shù)列證明

證法8：由已知條件, 可設(shè)x=其中因?yàn)椤?+8 = 9, 當(dāng)且僅當(dāng)d= 0 時(shí)取等號(hào), 當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號(hào), 則由x+y=1,可以聯(lián)想到是x與y的等差中項(xiàng).

2.7 用向量法證明

證法9：由證法4 的變形, 可以構(gòu)造向量a=由|a|2|b|2≥ (a·b)2, 得= 9, 所以≥9,其實(shí)柯西不等式和向量法實(shí)質(zhì)是一樣的.

2.8 用換元法證明

2.9 用導(dǎo)數(shù)法證明

證法11：由x+y= 1 得y= 1- x,0＜x ＜1, 令M=則M=

令M= 0 得x=當(dāng)0＜ x ＜時(shí),M′ ＜0, 當(dāng)＜x ＜1 時(shí),M′ ＞0, 故當(dāng)x=時(shí),Mmin= 9, 所以

3 變式探究

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,教師應(yīng)該注意給學(xué)生營造不同的問題情境,通過變式研究,可讓學(xué)生通過自己一系列思維的加工發(fā)展自己的創(chuàng)造思維和創(chuàng)新能力.

變式1：已知x,y為正數(shù), 且x+y= 1, 求證

變式2：已知x,y為正數(shù), 且x+y= 1, 求證

變式3：已知x,y為正數(shù), 且x+y= 1, 求證2＜

上述3 個(gè)變式易證,留給讀者完成.

變式4：已 知x,y為正數(shù), 且x+y= 1, 求證

證明：因?yàn)閤,y為正數(shù),且x+y=1,所以1=x+y≥≥16,所以

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=取等號(hào),則

變式5：已知x,y為正數(shù), 且x+y= 1, 求證≥(2n-1)2(n ∈N?).

證明：因?yàn)閤,y為正數(shù),且x+y=1,所以

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=取等號(hào), 則(2n-1)2(n ∈N?).

變式6：已知x,y為正數(shù), 且x+y= 1, 求證

證明：由題意可設(shè)x= cos2θ,y= sin2θ,θ /=則

令t= sin2θcos2θ, 則0＜ t≤-2,f′(t) = 2t -而0＜t≤所以f′(t) = 2t -＜0, 故f(t)在0＜t≤上單調(diào)遞減,所以當(dāng)t=時(shí),f(t)由最小值當(dāng)且僅當(dāng)x=y=取等號(hào),則

變式7：已知x,y為正數(shù), 且x+y= 1, 求證

證明：因?yàn)閤,y為正數(shù), 且x+y= 1,x2+y2=(x+y)2-2xy=1-2xy,x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=1-3xy,x5+y5=(x3+y3)(x2+y2)-x2y2(x+y) =5x2y2-5xy+1,所以

因?yàn)閤,y ＞0,由基本不等式可得1 =x+y≥所以

設(shè)t=xy,f(t) =t3+-5,0＜ t≤因?yàn)閒′(t) = 3t2-而當(dāng)0＜ t≤時(shí),f′(t) =＜0, 所以f(t) 在0＜t≤上單調(diào)遞減,所以f(t) ≥當(dāng)且僅當(dāng)x=y=取等號(hào),則

變式8：已知x,y,z為正數(shù), 且x+y+z= 1, 求證

變式8 易證,留給讀者完成.

4 教學(xué)感悟

4.1 精心設(shè)計(jì)問題,促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

美國心理學(xué)家布魯納指出：“教學(xué)過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動(dòng),思維永遠(yuǎn)是從問題開始.”因此,精心設(shè)置系列問題,為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)搭建切當(dāng)?shù)钠脚_(tái),對(duì)于促進(jìn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)時(shí)非常關(guān)鍵的,筆者及時(shí)撲捉教學(xué)信息,設(shè)計(jì)問題序列,分組聯(lián)動(dòng),誘導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究, 用問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維并使學(xué)生參與到課堂活動(dòng)之中,難度由低到高,形式由簡(jiǎn)潔直觀到隱晦現(xiàn)象.通過問題串,讓學(xué)生們自然地構(gòu)建新知識(shí),應(yīng)用新知識(shí),反思新知識(shí),從不同的角度理解新知識(shí),最后提升到綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的思維水平,追求一種自然,流暢的教學(xué)節(jié)奏,取得了良好的教學(xué)效果.

4.2 稚化教師思維,引領(lǐng)學(xué)生探究

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為,新學(xué)習(xí)的知識(shí)必須納入原有的認(rèn)識(shí)體系,并在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到聯(lián)系點(diǎn),結(jié)合點(diǎn),才能將新知識(shí)同化,牢固地掌握新知識(shí),新課程提倡關(guān)系學(xué)生的認(rèn)識(shí)特點(diǎn),注意站在學(xué)生的角度,精心創(chuàng)設(shè)問題情境,誘發(fā)學(xué)生思維的積極性,用卓有成效的啟發(fā)引導(dǎo),促使學(xué)生的思維活動(dòng)持續(xù)發(fā)展,備課首先應(yīng)該備學(xué)生,教師應(yīng)非常熟悉學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知水平及學(xué)習(xí)的薄弱之處,要善于改變自己身份,稚化自己的思維,從學(xué)生的角度審視問題.對(duì)于課堂中問題設(shè)計(jì),堅(jiān)持低起點(diǎn),高落點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納、體驗(yàn),進(jìn)行自主探究,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,鍛煉學(xué)生的思維能力,為學(xué)生的全面發(fā)展和終身學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).

4.3 及時(shí)調(diào)整預(yù)設(shè),實(shí)現(xiàn)精彩生成

在新課程改革的教育理念下,數(shù)學(xué)課堂教學(xué)即要體現(xiàn)其應(yīng)用價(jià)值,又要體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì).數(shù)學(xué)課堂應(yīng)逐步走向“學(xué)習(xí)參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展.”課堂教學(xué)問題過程更是一個(gè)個(gè)活潑的頭腦在教師預(yù)設(shè)好的問題情境中的交流、對(duì)話與活動(dòng)的過程,是“精心預(yù)設(shè)”與“動(dòng)態(tài)生成”和諧統(tǒng)一的過程.我們應(yīng)該創(chuàng)造有利條件讓學(xué)生在自主的學(xué)習(xí)交流和互動(dòng)中逐步完善認(rèn)識(shí),豐富生成的空間,使課堂在師生的共同創(chuàng)造中變得充滿靈性、充滿智慧、充滿活力.

4.4 反思教學(xué),促進(jìn)教師專業(yè)成長

加強(qiáng)習(xí)題研究,促進(jìn)教師專業(yè)成長.現(xiàn)在習(xí)題大多都有答案,有些教師認(rèn)為看看答案怎么解就可以了,這種觀點(diǎn)時(shí)錯(cuò)誤的.一道由價(jià)值的習(xí)題,一般都有著豐富的內(nèi)涵.教師應(yīng)高屋建瓴,全面展開試題研究,在解題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究它的立意、來源、解法、變式、推廣、應(yīng)用等,充分挖掘習(xí)題的價(jià)值,并運(yùn)用到教學(xué)中,從而不斷提高教研水平,促使教師專業(yè)成長.

當(dāng)前許多教師不重視課本例習(xí)題,認(rèn)為課本例題、習(xí)題簡(jiǎn)單、不能應(yīng)對(duì)高考.重視課本不能只停留在表面,要通過一題多變、一題多解、多題一解等,把知識(shí)目標(biāo)、能看目標(biāo)落實(shí)到實(shí)處,真正達(dá)到高效教學(xué).

課本例題、習(xí)題都經(jīng)過專家們的千挑萬選,蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思想和方法.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(試驗(yàn)) 》、《考試說明》提出重視課本的基礎(chǔ)和導(dǎo)向作用,所以在命題時(shí)多選擇一些課本上的原題或者是課本例題、習(xí)題的變式,使學(xué)生更加重視課本內(nèi)容的學(xué)習(xí).