廣東省廣州市廣州中學(xué)(510630) 陳俊儒

1 運算素養(yǎng)背景下解析幾何的教學(xué)現(xiàn)狀

數(shù)學(xué)運算是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ),在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成過程中,學(xué)生借助運算方法解決實際問題,通過運算促進數(shù)學(xué)思維發(fā)展,養(yǎng)成程序化思考問題的習(xí)慣,形成一絲不茍、嚴謹求實的科學(xué)精神.解析幾何蘊含著數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想,是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的良好知識載體.然而對于高中的教學(xué)而言,解析幾何解答題綜合性強,運算量大,學(xué)生表現(xiàn)出了“不敢算,不愿算,不會算”的畏懼心理,即使算也走不出運算的“魔方”.教學(xué)中老師也似乎束手無策,尤其在高三復(fù)習(xí)中,付出的努力達不到理想的預(yù)期,高考得分也不理想.解析幾何出發(fā)點是用代數(shù)的方法研究幾何問題,運動變化是研究幾何問題的基本觀點.以三角形面積為載體,探究三角形幾何特征,將三角形幾何量,幾何元素關(guān)系代數(shù)化,設(shè)計運算思路和運算程序,得到運算結(jié)果,過程展示直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,點到直線距離,基本不等式,二次函數(shù)求最值等綜合運用,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何興趣,提高學(xué)生運算素養(yǎng).

2 教學(xué)實錄

環(huán)節(jié)一 回顧梳理,問題引入

師：眾所周知,解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問題,那么,平面幾何中,我們常見的基本圖形有哪些呢?

生1：直線和三角形.

師：很好,剛才同學(xué)們提到了三角形,解析幾何常常以三角形為載體,通過對三角形幾何元素(點和線)關(guān)系的探究,實現(xiàn)幾何問題代數(shù)化,從而得出運算結(jié)果.譬如：在平面直角坐標(biāo)系中,ΔABC為直角三角形且AB⊥AC,對于這個垂直關(guān)系,你們能給出幾種代數(shù)化的途徑?

生2：可以用斜率,向量,勾股定理,斜邊中線等于斜邊的一半,還可以想到圓.

師：剛才同學(xué)們對直角三角形進行了多種代數(shù)表征.面對不同的情景,三角形表征的方式可以不同,運算的難度也可能有所不同, 研究解析幾何首先要通過合理的表征方式,尋找最簡便的坐標(biāo)運算,得到最終的運算結(jié)果.三角形面積是三角形的重要幾何量,今天我們利用面積計算問題談一談解析幾何的運算策略.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生明確研究解析幾何的基本方法,回顧表征垂直關(guān)系的多種途徑,為探討三角形面積的多元表征埋下鋪墊.

環(huán)節(jié)二 特征挖掘,坐標(biāo)轉(zhuǎn)化

例已知橢圓C∶+y2= 1 和點T(-2,0),過點T的直線l與橢圓相交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,求ΔAOB面積的最大值.

師：ΔAOB的面積的表示方法有哪些? 能否列出來?

生3：如圖1,以AB為底邊,原點O到AB距離為d,可得SΔAOB=

圖1

生4：如圖2,還可以認為SΔAOB=SΔBOT -SΔAOT,以O(shè)T為底邊,A,B兩點到OT的距離分別為d1,d2,可得

圖2

師：不失一般性, 假設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).如何將面積的幾何表征用代數(shù)語言表示? 能否對兩種解析化途徑進行簡潔性對比?

生5：若采用SΔAOB=則可假設(shè)直線方程為y=k(x+2),則|AB|=,d=可得SΔAOB=|k||x1-x2|.

若采用SΔAOB=則SΔAOB=|y1-y2|, 從解析化的途徑來看, 應(yīng)該是第2 種方法更加簡潔.

師：還有其他的計算面積方法嗎? 為什么不采用?

生6：三角形面積公式還有SΔAOB=|OB|sin ∠AOB,但此公式坐標(biāo)化太難,不好操作.

師：可以嘗試將sin ∠AOB=利用向量表示.

生7：

但根號里面有分母,感覺坐標(biāo)化還是太難.

師：觀察一下式子結(jié)構(gòu),有沒有辦法將根號里的分母約掉?

生8：

這個形式好像比較簡潔.

師：不錯,我們已經(jīng)將這個幾何表征形式化到了簡潔的結(jié)果,接著,同學(xué)們嘗試將式子坐化看看.

生9：

師：從最終的坐標(biāo)化形式來看,SΔAOB=也還算簡潔, 能否繼續(xù)對此形式進行進一步化簡?

生10：如果假設(shè)x=my-2,則

和方法二的結(jié)果一樣.

師：非常好,剛才大家通過對三角形面積的探究,得到了SΔAOB的多元表征.解析化的路徑是多樣的,但最終得到的代數(shù)表征基本一樣.這也是我們研究解析幾何的第一步,充分探究幾何圖形性質(zhì),尋找最優(yōu)的解析化途徑,為后面的運算打下基礎(chǔ).通過剛才的探究,我們可以得到以下表征方式：

SΔAOB 代數(shù)表征對比表圖像幾何表征代數(shù)表征images/BZ_29_263_1630_511_1805.pngSΔAOB = 1 2 |AB|·d SΔAOB =|k||x1-x2|SΔAOB = 1 2 |OT|·|d1-d2|SΔAOB =|y1-y2|SΔAOB = 1 2 |OA|·|OB|sin ∠AOB SΔAOB = 1 2 |x1y2-x2y1|=|y1-y2|

設(shè)計意圖：幾何問題代數(shù)化多元表征,不僅回顧知識,更重要的是知道知識產(chǎn)生過程及其價值.對坐標(biāo)法研究圓錐曲線的性質(zhì),將復(fù)雜的幾何關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為對曲線方程特點的考察,具有重要意義.

環(huán)節(jié)三 運算對比,獲取函數(shù)

師：如何假設(shè)直線l的方程? 不同的代數(shù)方表征形式對運算結(jié)果有影響嗎? 你能進行復(fù)雜程度的對比分析嗎?

不同的SΔAOB 代數(shù)表征和不同的直線方程形式建立目標(biāo)函數(shù)對比表設(shè)直線lAB ∶y =k(x+2),聯(lián)立x2 2 +y2 =1得到(2k2+1)x2+8k2x+8k2-2=0,由Δ=8(1-2k2)＞0,得-2 2 ＜k ＜2 2 ,SΔAOB =|k||x1-x2|= |k|Δ 2k2+1= |k|8(1-2k2)2k2+1設(shè)直線lAB ∶x=my-2,聯(lián)立x2 2 +y2 =1 得到(m2+2)y2-4my+2=0,Δ=8(m2-2)＞0,得m ＞2 或m ＜-2,SΔAOB =|y1-y2|=Δ m2+2=8(m2-2)m2+2

生11 和生12：

設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會不同表征下的建立目標(biāo)函數(shù)運算復(fù)雜程度.培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)化運算意識,促進運算素養(yǎng)的發(fā)展,為下一步研究目標(biāo)函數(shù)最值作鋪墊.

環(huán)節(jié)四 最值運算,總結(jié)方法

師：對比兩種形式的目標(biāo)函數(shù),它們有何異同? 你能體會產(chǎn)生差異的原因嗎? 你能歸納出求目標(biāo)函數(shù)最值的一般方法嗎?

生13：如 果 令k=其實兩個目標(biāo)函數(shù)是一樣的.對于第二個面積函數(shù), 通過換元, 令t=則m2=t2+2,則g(t)=然后用基本不等式可求最值.但對于第一種方法,如果想不到k=好像無法進行換元求解.

師：很好,換元法是一種非常重要的方法,可將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為熟悉且簡潔的問題進行解決.第一個目標(biāo)函數(shù)不能進行換元的原因是什么? 能否對函數(shù)進行適當(dāng)?shù)淖冃?然后進行換元?

生14：不能換元的原因是|k|影響了運算,可以考慮將式子化為f(k) =然后令t= 2k2+1,可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值進行求解.

生15：也可以通過配湊,用基本不等式求最值.

師生經(jīng)過共同探討,解法呈現(xiàn)如下：

對不同目標(biāo)函數(shù)求最值對比表f(k)= |k|8(1-2k2)2k2+1 ,-2 2 ＜k ＜2 2法1： f(k)= 22k2(1-2k2)2k2+1= 22k2-4k4 2k2+1 ,令t=2k2+1,則2k2 =t-1,函數(shù)變?yōu)間(t)=2(t-1)-(t-1)2 t=2-2 t2 + 3 t -1 ≤√-2·(3 4)2+3· 3 4 -1=2 2 ,由t= 4 3 =2k2+1,得k =±6 6 ,此時等號,ΔAOB 面積取得最大值2 2 .法2： f(k)=24k2(1-2k2)2k2+1≤2√(2k2+1 2 )2 2k2+1 =2 2 ,當(dāng)且僅k =±6 6時等號成立.f(m)=8(m2-2)m2+2 ,m ＞2或m ＜-2法1： t=m2-2,則m2 =t2+2,函數(shù)轉(zhuǎn)化為g(t)= 22t t2+4= 22 t+ 4 t≤22 4 =2 2 ,所以ΔAOB 面積最大值為2 2 ,當(dāng)且僅當(dāng)t=2 時,即m=±6,等號成立.法2：令t=m2+2,則t ＞4,函數(shù)轉(zhuǎn)化為g(t)= 22t-4 t =22-4t2 + 1 t ≤22-4·(1 8)2+ 1 8 =2 2 ,當(dāng)且僅當(dāng)t=8 時,即m=±6時等號成立.

設(shè)計意圖：不同形式的代數(shù)表征,產(chǎn)生不同的代數(shù)運算過程.讓學(xué)生體會不同形式的目標(biāo)函數(shù)對運算所產(chǎn)生的影響,并掌握研究函數(shù)最值的一般方法.培養(yǎng)學(xué)生勇于探究,敢于質(zhì)疑、創(chuàng)新的精神.

3 學(xué)情反饋

學(xué)生感受：原本認為解析幾何就是計算,想不到運算過程還可以如此細化.通過本節(jié)課學(xué)習(xí),對解析幾何本質(zhì)有了較好的認識,有進一步提升的需求和做題的愿望.

同行點評：本節(jié)課從三角形面積問題開展解析幾何運算素養(yǎng)的培養(yǎng),授課基本流程如下表：

前10 分鐘10～20 分鐘20～30 分鐘30～40 分鐘三角形幾何特征挖掘,面積公式的選擇從幾何表征到代數(shù)表征代數(shù)運算,總結(jié)研究解析幾何的規(guī)律目標(biāo)函數(shù),最值求解

和傳統(tǒng)的題型授課方式不同,授課老師能以研究的態(tài)度進行授課,高起點,低落角,步步為營,層層推進,為學(xué)生解決問題搭建“腳手架”,這對學(xué)生理解解析幾何本質(zhì)和后續(xù)的學(xué)習(xí)發(fā)展有很大的好處.

授課反思：本節(jié)課主要是落實坐標(biāo)化這一核心思想, 通過面積的多種表征形式, 讓學(xué)生感受坐標(biāo)化過程中選擇的路徑不同, 復(fù)雜程度也不一樣, 但坐標(biāo)化的結(jié)果卻是一樣的.代數(shù)運算則突出不同直線方程形式條件下的運算對比, 具體操作中, 發(fā)現(xiàn)學(xué)生會漏掉判別式,求弦長公式不肯舍棄韋達定理(事實上, 利用求根公式是較快的路徑),建立目標(biāo)函數(shù)不考慮定義域等一些問題.求目標(biāo)函數(shù)最值是本節(jié)課難點,但不屬于重點,如果能增加一兩道題,讓學(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用,內(nèi)容會顯得更加充實.

4 策略凝練和素養(yǎng)提升

從落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要求看,要以“研究一個數(shù)學(xué)對象的基本套路”為指導(dǎo),設(shè)計出體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性的數(shù)學(xué)活動[1].基于解析幾何三角形面積計算的教學(xué)實踐,我們可以獲得培養(yǎng)解析幾何運算素養(yǎng)的有效途徑.

4.1 充分理解運算對象

重視基本圖形(如三角形)性質(zhì)的探究及運算價值,從基本圖形中挖掘幾何元素間的數(shù)量、位置關(guān)系,提煉研究問題的一般流程.我們知道,數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng),解析幾何運算首先要明確運算的幾何對象是什么,是否需要進一步挖掘,經(jīng)過挖掘之后的幾何特征坐標(biāo)化結(jié)果是否簡潔,便于運算,然后再設(shè)計運算程序,利用運算法則得到運算結(jié)果.如解析幾何三角形面積計算中,就是在理解三角形特征,掌握面積公式基礎(chǔ)上,選擇恰當(dāng)?shù)膸缀伪碚飨逻M行的運算.

4.2 認真探索運算思路

在理解運算對象的基礎(chǔ)上, 確定運算的具體指向, 尋求運算條理和頭緒, 是對數(shù)學(xué)運算的進一步推進.在解析幾何探索運算思路中, 核心的難點表現(xiàn)在：不知道怎樣用代數(shù)式表示幾何對象, 及用運算處理幾何對象之間的關(guān)系.需要引導(dǎo)學(xué)生注意以下兩點：(1) 完整地提取信息.從題目已知中抽象、概況、提取題目條件中的已知信息是解題的先決條件, 看準(zhǔn)題目條件所呈現(xiàn)的幾何特征是解答解析幾何問題的前提; (2) 提升坐標(biāo)轉(zhuǎn)化能力, 能通過多種方式將幾何問題表征轉(zhuǎn)化代數(shù)問題或者是將幾何特征翻譯成代數(shù)語言.如上述教學(xué)環(huán)節(jié)中, 中心三角形的面積公式從幾何表征到代數(shù)表征,需要學(xué)生有較強的化簡求解能力和坐標(biāo)轉(zhuǎn)化能力,但正是這樣的教學(xué)過程培養(yǎng)了學(xué)生的探究精神.

4.3 選擇恰當(dāng)?shù)倪\算方法

解析幾何運算中,運算方法儲備必不可少,解決問題可能有多種途徑和方法,要挑選更為合理的.教師可在代數(shù)運算中引導(dǎo)學(xué)生從不同直線方程形式對運算復(fù)雜程度對比分析,也可以從弦長公式的選取中進行運算對比,在比較中擇優(yōu).

4.4 設(shè)計合理的運算程序

運算程序則是對運算思路的具體落實,它使得運算按部就班展開,因此要重視程序的設(shè)計,并“固化”一些重要的解析幾何運算程序[2].如聯(lián)立方程,判別式,韋達定理等,使學(xué)生便于掌握.

4.5 強化運算心理

教學(xué)中可將其拆分為幾何問題解析化和代數(shù)運算兩種獨立的方法,對這兩種方法做獨立的分析,讓學(xué)生在兩種獨立的方法中找到解決問題的路徑,不斷感受到問題解決的喜悅,樹立運算信心,強化運算心理.尤其涉及到參數(shù)較多的字母運算,要讓學(xué)生從方程中體會到參數(shù)的幾何含義,如何利用方程結(jié)構(gòu)進行消參(如2020年全國課標(biāo)Ⅰ解析幾何解答題)等.糾正運算是“繁瑣,低級,無味”的,讓學(xué)生課后慢慢算,或者直接PPT 展示解答過程,略帶而過的錯誤觀點和教學(xué)方法.

綜上,解析幾何運算素養(yǎng)的培養(yǎng)需要關(guān)鍵是要落實幾何問題坐標(biāo)化這一核心,需要在教學(xué)中能夠結(jié)合直線與圓、圓錐曲線的知識,逐步引導(dǎo)學(xué)生從圖形角度、方程角度,數(shù)值角度來挖掘圖形的幾何特征,明晰幾何問題的轉(zhuǎn)化方向,同時在代數(shù)運算中引導(dǎo)學(xué)生從方程形式對運算復(fù)雜程度對比分析[3],優(yōu)化解題策略,獲得運算結(jié)果.當(dāng)然,過程需要教師對解析幾何本質(zhì)有深刻的認識并有“靜待花開”的耐心和勇氣.