四川大學(xué)附屬中學(xué)(610061) 鮮何琴 羅文力

1 問題的提出

1.1 基于教學(xué)研究的視角

教學(xué)研究,是實(shí)施有效教學(xué)的必由之路,也是提升教師專業(yè)素養(yǎng)的有效途徑.從日常教學(xué)來看,教學(xué)研究覆蓋了教材、學(xué)情、教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)實(shí)施、課堂教學(xué)診斷等方面.而其中,對(duì)教材的研究尤為重要.在人教A 版教材“橢圓”一節(jié)的例題和習(xí)題中頻頻出現(xiàn)與橢圓定義有關(guān)的素材, 比較分散,筆者再次對(duì)教材進(jìn)行整體研讀,并根據(jù)本班學(xué)生實(shí)際情況重新梳理整合,以期更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,發(fā)展核心素養(yǎng).但是又考慮到現(xiàn)在課本都沒有明確提出橢圓的第二定義和第三定義的概念,所以就轉(zhuǎn)而從我們經(jīng)常在題目中遇到的“點(diǎn)在橢圓上”這個(gè)條件的處理思路入手,引導(dǎo)學(xué)生探究點(diǎn)在橢圓上的多種幾何解釋,并在實(shí)踐活動(dòng)中提煉出“點(diǎn)在橢圓上”這一條件的處理策略.

1.2 基于提升素養(yǎng)的視角

“核心素養(yǎng)”是當(dāng)下人們談?wù)撟疃嗟臒衢T話題.眾所周知,數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科.筆者認(rèn)為“思維”應(yīng)當(dāng)是核心素養(yǎng)之“魂”,是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力之“核”[1].能力與思維的培養(yǎng)都離不開日常的課堂教學(xué),本文以“點(diǎn)在橢圓上”主題為例,使用問題教學(xué)模式,關(guān)注問題導(dǎo)向,注重整合教材內(nèi)容,關(guān)注橢圓的三種定義與它的三種幾何解釋之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,以此來發(fā)展學(xué)生對(duì)知識(shí)的整合內(nèi)化能力,提升核心素養(yǎng).

1.3 基于落實(shí)課標(biāo)的視角

2017年普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“進(jìn)一步精選學(xué)科內(nèi)容,注重以學(xué)科大概念為核心,使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化,以主題為引領(lǐng),使課程內(nèi)容情境化,促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地”[2].

基于單元“主題”的角度,結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特征,數(shù)學(xué)單元主題教學(xué)被界定為：數(shù)學(xué)主題教學(xué)設(shè)計(jì)是在系統(tǒng)性和整體性的思維指導(dǎo)下,從提升學(xué)生的高階思維和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度出發(fā),對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化和統(tǒng)籌重組,并將優(yōu)化的教學(xué)內(nèi)容作為一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的教學(xué)主題,是以突出數(shù)學(xué)核心知識(shí)內(nèi)容為主線,加強(qiáng)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性為紐帶,對(duì)教學(xué)主題系列化和整體性循環(huán)改進(jìn)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)過程[3].

由此,挖掘教材是進(jìn)行單元主題教學(xué)的有效方式.下以“點(diǎn)在橢圓上”單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)為例,探討如何通過挖掘教材,整合教材進(jìn)行教學(xué)實(shí)施,從而發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).

2 教學(xué)設(shè)計(jì)分析

2.1 教材分析

本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容選自人教社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(A 版)數(shù)學(xué)選修2-1 第二章第2 節(jié)“橢圓”.是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”及“2.2.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)”之后的一節(jié)橢圓的復(fù)習(xí)課.

橢圓概念是圓錐曲線的核心概念.橢圓概念的建立對(duì)圓錐曲線的學(xué)習(xí)具有建構(gòu)和引領(lǐng)作用,在橢圓概念的建構(gòu)過程中解析幾何的兩類核心問題：幾何限制條件到代數(shù)方程、利用方程工具研究幾何性質(zhì)都有突出體現(xiàn).橢圓概念的研究對(duì)雙曲線和拋物線概念的形成和建構(gòu)具有奠基作用.

在人教A 版教材例、習(xí)題中頻頻出現(xiàn)與橢圓定義有關(guān)的素材,它們的背景大多源于學(xué)習(xí)生活或社會(huì)生活,題干簡練、設(shè)問合理,題型豐富,還有一些探究性和開放性問題,足以證明它的重要性.但有些問題的設(shè)置有些分散,本課就是從這個(gè)角度出發(fā)整合分散在例、習(xí)題中的橢圓的三種定義的題目.但是又考慮到現(xiàn)在課本都沒有明確提出橢圓的第二定義和第三定義的概念,所以就轉(zhuǎn)而從我們經(jīng)常在題目中遇到的“點(diǎn)在橢圓上”這個(gè)條件的處理思路入手,引導(dǎo)學(xué)生探究點(diǎn)在橢圓上的多種幾何解釋.對(duì)學(xué)有余力的同學(xué)可根據(jù)情況介紹橢圓的另外兩種定義,并關(guān)注定義與幾何解釋之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、發(fā)展學(xué)生的思維能力,掌握數(shù)學(xué)的思想方法具有重大的意義,也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的學(xué)科素養(yǎng).

2.2 學(xué)生分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和圓以及橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),對(duì)解析幾何的核心問題和思想方法有了初步的了解,已經(jīng)初步積累了用代數(shù)的方法解決幾何問題的策略,有了利用方程研究幾何性質(zhì)的基本經(jīng)驗(yàn),對(duì)教材中的例、習(xí)題有一定的鉆研能力.我班學(xué)生課堂氣氛很活躍,思維也不錯(cuò),探究問題時(shí)很積極.但是也存在下列一些問題：對(duì)橢圓的幾何解釋比較局限;方程工具的使用經(jīng)驗(yàn)有欠缺;教材例、習(xí)題的對(duì)比、分析、整合能力還有待提升.

平時(shí)學(xué)生很少經(jīng)歷復(fù)雜問題的探究活動(dòng),尤其是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的總結(jié)和歸納缺少經(jīng)驗(yàn).所以在教學(xué)中要逐步培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐探索能力,總結(jié)歸納能力.針對(duì)我班學(xué)生的實(shí)際情況,相信只要核心問題設(shè)計(jì)恰當(dāng)、指向清晰,學(xué)生能夠在整個(gè)過程中充分體會(huì)點(diǎn)在橢圓上的三種幾何解釋和橢圓的三種定義之間的關(guān)聯(lián),理解點(diǎn)在橢圓上的幾種解釋并歸納處理策略.

2.3 目標(biāo)分析

(1)結(jié)果性目標(biāo)：理解點(diǎn)在橢圓上的幾種解釋并歸納處理策略.

(2)體驗(yàn)性目標(biāo)：在解決核心問題的活動(dòng)中,體驗(yàn)點(diǎn)在橢圓上的三種幾何解釋和橢圓的三種定義之間的關(guān)聯(lián).

2.4 媒體分析

教學(xué)媒體功能板書教學(xué)流程、重要要點(diǎn)以及用于學(xué)生演板展示教學(xué)環(huán)節(jié),學(xué)生成果,展示動(dòng)畫、圖片,讓學(xué)生感受更加直觀動(dòng)態(tài)演示,感受點(diǎn)在橢圓上動(dòng)時(shí)相關(guān)的變量和定值

2.5 設(shè)計(jì)意圖分析

在人教A 版的教材上并沒有明確提出橢圓的第二定義和第三定義的概念,但是在課本的例題和習(xí)題中蘊(yùn)含了很豐富的與橢圓定義有關(guān)的素材.本課就是從這個(gè)角度出發(fā)整合分散在例、習(xí)題中的橢圓的三種定義,引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)研究橢圓新的幾何解釋.但是又考慮到現(xiàn)在都沒有明確提出橢圓的三種定義的概念,所以就轉(zhuǎn)而從我們經(jīng)常在題目中遇到的“點(diǎn)在橢圓上”這個(gè)條件的處理思路入手,引導(dǎo)學(xué)生探究點(diǎn)在橢圓上的多種幾何解釋.對(duì)學(xué)有余力的同學(xué)可根據(jù)情況介紹橢圓的另外兩種定義,并關(guān)注定義與幾何解釋之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.橢圓的第一定義：平面內(nèi),到定兩點(diǎn)F1,F2的距離之和為常數(shù)(常數(shù)大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.第二定義：平面內(nèi),到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比等于常數(shù)(大于零且小于1)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.第三定義：平面內(nèi),和兩定點(diǎn)連線斜率乘積為大于-1 小于0 的點(diǎn)的軌跡(包括這兩個(gè)定點(diǎn))叫做橢圓.所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在橢圓上的第一種解釋為：|MF1|+|MF2|= 2a(a ＞c ＞0),對(duì)應(yīng)第一定義.而橢圓的第二定義,在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中,無論是用移項(xiàng)平方、整理再平方的方法還是對(duì)式子進(jìn)行有理化再聯(lián)立求解的方法都會(huì)出現(xiàn)式子：對(duì)于這個(gè)式子的幾何解釋,可以解釋為焦半徑公式,就橢圓的焦點(diǎn)位置和兩個(gè)焦點(diǎn)的區(qū)別一共四種形式.對(duì)于焦點(diǎn)在x軸的為|MF1|=a+ex,|MF2|=a-ex(左加右減),對(duì)于焦點(diǎn)在y軸的為|MF1|=a+ey,|MF2|=a-ey(下加上減).當(dāng)然也可以再處理為即即橢圓的第二定義.當(dāng)然, 如果學(xué)生的基礎(chǔ)比較薄弱的話, 也可以不給出第二定義, 由兩點(diǎn)間距離公式給出焦半徑公式的推導(dǎo)和證明過程.對(duì)于橢圓的第三定義, 我也變了一個(gè)說法, 交換了順序.已知AB是過橢圓= 1(a ＞b ＞0) 中心的弦, 點(diǎn)M是橢圓上任意一點(diǎn), 若直線MA,MB的斜率都存在, 則kMA ·kMB=這個(gè)結(jié)論也同樣可以從標(biāo)準(zhǔn)方程的變形中得到：∵再進(jìn)一步由此推廣到我們常用的點(diǎn)差法推導(dǎo)出來的中點(diǎn)弦結(jié)論：k1·k2=發(fā)現(xiàn)它們其實(shí)是相通的,引導(dǎo)學(xué)生重新理解點(diǎn)在橢圓上的幾何解釋.重新整合的三種解釋的角度很新穎,也是統(tǒng)一的,更貼近學(xué)生的認(rèn)知水平和我們實(shí)際的教學(xué)需要.學(xué)生深度理解點(diǎn)在橢圓上的三種解釋,體會(huì)點(diǎn)在橢圓上的三種幾何解釋和橢圓的三種定義之間的關(guān)聯(lián),并在此基礎(chǔ)上歸納“點(diǎn)在橢圓上”的處理策略.老師在整個(gè)過程中需要通過評(píng)價(jià)促進(jìn)學(xué)生將方程同幾何解釋有效的關(guān)聯(lián).這樣從具體到抽象,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象,直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.6 教學(xué)環(huán)節(jié)

(1)提出問題

教學(xué)內(nèi)容：復(fù)習(xí)回顧“點(diǎn)在橢圓上”這個(gè)條件的處理思路,創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境,提出本節(jié)課的研究主題：解決所給問題,理解點(diǎn)在橢圓上的幾種解釋并歸納處理策略.

學(xué)生活動(dòng)：理解研究主題,明確學(xué)習(xí)任務(wù),為積極參與探究活動(dòng)做好準(zhǔn)備

教師活動(dòng)：創(chuàng)設(shè)問題情境,提出研究主題

設(shè)計(jì)意圖：由已有知識(shí)導(dǎo)出新的問題,創(chuàng)設(shè)問題情境,引導(dǎo)學(xué)生思考如何把已學(xué)知識(shí)梳理歸類,使之系統(tǒng)化并形成解題策略.在這個(gè)過程中學(xué)生目前還不能系統(tǒng)的闡述處理“點(diǎn)在橢圓上”這個(gè)條件的套路,以引起學(xué)生的學(xué)習(xí)需要和學(xué)習(xí)興趣,提出本節(jié)課的研究主題.

(2)解決問題

例1(1) 已知F1,F2為橢圓= 1 的兩個(gè)焦點(diǎn), 過點(diǎn)F2的直線交橢圓于點(diǎn)A,B, 若|AB|= 5, 則|AF1|+|BF1|=____.

(2)設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,若ΔF1PF2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率為____.

(3)設(shè)F1是橢圓=1 的左焦點(diǎn),P為橢圓上任意一點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4),則|PM|+|PF1|的最大值為____.

例2已知橢圓= 1(a ＞ b ＞0) 的左右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F2(c,0), 若橢圓上存在點(diǎn)P使則該橢圓的離心率的取值范圍為____.

例3(1)直線y=x+1 被橢圓=1 所截得的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是____.

(2) 已 知橢圓C∶= 1 的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2, 點(diǎn)P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[-2,-1],則直線PA1斜率的取值范圍是______.

(3)平行四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓= 1,直線AB的斜率k1=1,則直線AD的斜率k2=____.

學(xué)生活動(dòng)：每位同學(xué)先獨(dú)立解決以下三個(gè)例題,然后前后四人為一小組,相互交流討論解決方案,形成一種合作探究意識(shí).并感受點(diǎn)在橢圓上的幾種解釋之間的內(nèi)在聯(lián)系.

教師活動(dòng)：巡視、指導(dǎo),做必要的個(gè)體提示.展示學(xué)生的完成結(jié)果并引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注不同題型之間的聯(lián)系和區(qū)別,例2關(guān)注方法的多樣性,并對(duì)各種方法做一個(gè)全面的比較,分析優(yōu)劣及適用范圍.

設(shè)計(jì)意圖：在解決研究主題的活動(dòng)中,學(xué)生借助已經(jīng)學(xué)習(xí)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),分析例題,解決問題.就題目可能很明確的說某點(diǎn)在橢圓上,或者說直線與橢圓交于某點(diǎn)等可能相對(duì)隱含的說法,都要引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)識(shí)別題型,確定相關(guān)的入手點(diǎn)及方案.學(xué)生經(jīng)歷由幾何直觀到探討數(shù)量關(guān)系式的過程,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力和概括能力.另外,在橢圓的代數(shù)解釋(點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓的方程)和幾何解釋之間引導(dǎo)學(xué)生積極嘗試,選擇更合適的策略.

(3)反思提升

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生在活動(dòng)體驗(yàn)的基礎(chǔ)上反思點(diǎn)在橢圓上的幾種幾何解釋間的聯(lián)系及相關(guān)處理策略.

教師活動(dòng)：與學(xué)生一起回顧整個(gè)探究過程,并就其中用到的知識(shí)、方法、數(shù)學(xué)思想做點(diǎn)評(píng)和總結(jié).其中,焦半徑公式如果沒有提出橢圓的第二定義的說法的話也可以由兩點(diǎn)間的距離公式來得到.

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過歸納反思,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三種幾何解釋之間的內(nèi)在聯(lián)系,以及它們與橢圓的三種定義之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.知道點(diǎn)在橢圓上相應(yīng)的等式的三種表達(dá)形式,以及在求范圍時(shí)常常會(huì)用到的不等式的表達(dá)形式.

經(jīng)歷此環(huán)節(jié),學(xué)生不僅對(duì)橢圓的定義有了全新而清楚的認(rèn)識(shí),而且對(duì)探究性學(xué)習(xí)方法也會(huì)有新的感悟.

(4)應(yīng)用反饋

例4(2018 全國ⅠⅠⅠ卷第20 題改編)設(shè)F1,F2分別為橢圓C∶=1 的左、右焦點(diǎn),已知斜率為k的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).

(1)若直線l經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)F2,求ΔABF1的周長;

(2)若線段AB中點(diǎn)為M(1,m)(m ＞0),

①證明：k ＜

②設(shè)P為C上一點(diǎn),且證明：成等差數(shù)列.

學(xué)生活動(dòng)：運(yùn)用師生交流合作的成果,完成相關(guān)練習(xí).

教師活動(dòng)：教師出示相關(guān)題型,學(xué)生自主完成.這道題對(duì)剛開始學(xué)習(xí)橢圓的學(xué)生來說,是有一定難度的,在巡視過程中根據(jù)學(xué)生的實(shí)際完成情況適時(shí)給予提示和評(píng)價(jià).

設(shè)計(jì)意圖：初步掌握點(diǎn)在橢圓上的幾種解釋及相應(yīng)的處理策略.讓學(xué)生感悟在解決問題的過程中,如何合理地使用這幾種解釋快速準(zhǔn)確的解決相關(guān)問題.此外,引導(dǎo)學(xué)生注意同一個(gè)問題有可能可以采用不同的解釋(代數(shù)解釋或者幾何解釋),啟發(fā)學(xué)生關(guān)注不同解釋間的內(nèi)在關(guān)系和聯(lián)系,體會(huì)數(shù)學(xué)方法的多樣性.

3 教學(xué)感悟與啟示

3.1 關(guān)注教材整合,在鉆研學(xué)習(xí)中領(lǐng)會(huì)意圖

本節(jié)課把培養(yǎng)學(xué)生的對(duì)知識(shí)的整合與內(nèi)化能力和解決問題的能力放在首位.充分挖掘教材資源,注重教材整合.教材第40 頁例1、第47 頁例6、第41 頁例3 以及課后習(xí)題教材第49 頁A 組第1 題、第50 頁B 組第2 題、第3 題等多處出現(xiàn)與橢圓的三種定義有關(guān)的知識(shí).比較分散,本節(jié)課正好對(duì)橢圓的三種定義進(jìn)行重新整合與解釋.從不同的角度審視橢圓上的點(diǎn),可以得到關(guān)于這些點(diǎn)的一系列不同的性質(zhì).學(xué)生可能從代數(shù)角度處理,用點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓的方程,這是通性通法.也可以從幾何角度入手,給出相關(guān)處理方案.基于時(shí)間關(guān)系,這節(jié)課的主要內(nèi)容是幾何解釋.學(xué)生通過完成例題1-3,發(fā)現(xiàn)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.另外,在橢圓的代數(shù)解釋(點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓的方程)和幾何解釋之間引導(dǎo)學(xué)生積極嘗試,選擇更合適的策略,在“點(diǎn)在橢圓上”動(dòng)時(shí)的定值(等式)和變量(不等式)之間靈活處理.

3.2 注重知識(shí)內(nèi)化,在活動(dòng)體驗(yàn)中發(fā)展素養(yǎng)

在教學(xué)的過程中突出學(xué)生的主體地位,發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知力,教學(xué)生學(xué)會(huì)思考,體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).引導(dǎo)學(xué)生重新理解點(diǎn)在橢圓上的三種常見幾何解釋,在實(shí)踐的過程中真正體會(huì)到它們與橢圓的三種定義之間的關(guān)聯(lián).知道它們的來龍去脈,和整個(gè)知識(shí)體系的生成過程,同時(shí),在此基礎(chǔ)上歸納“點(diǎn)在橢圓上”這個(gè)條件的處理策略.老師在整個(gè)過程中需要給夠?qū)W生思考的時(shí)間和空間,并通過評(píng)價(jià)促進(jìn)學(xué)生將方程同幾何解釋有效的關(guān)聯(lián).這樣從具體到抽象,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象,直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng),同時(shí)提升學(xué)生對(duì)知識(shí)的整合與內(nèi)化的能力.

3.3 引導(dǎo)關(guān)聯(lián)體驗(yàn),在整合探索中深度學(xué)習(xí)

我國當(dāng)前學(xué)科課程的教材編排主要以單元模塊為主,缺乏對(duì)主題內(nèi)容整體性把握,導(dǎo)致教學(xué)價(jià)值層面缺乏主線的引導(dǎo),學(xué)生的學(xué)習(xí)從本質(zhì)上來講就是碎片化的學(xué)習(xí).整體系統(tǒng)論強(qiáng)調(diào)“任何一個(gè)系統(tǒng)都是一個(gè)有機(jī)的整體,學(xué)習(xí)和研究的最佳策略應(yīng)遵循這樣的公式：整體——部分——整體”.通過對(duì)教材進(jìn)行挖掘,從整體把握教材內(nèi)容,教師對(duì)主題內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計(jì)和教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行靠主題學(xué)習(xí)與知識(shí)整體的關(guān)聯(lián)體驗(yàn),形成整體性的知識(shí)網(wǎng),為學(xué)生的整體性思維的形成和其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).這也是深度學(xué)習(xí)的有效途徑.

4 結(jié)束語

其實(shí),教材解讀無止境,我們?cè)诮虒W(xué)中要以研究者的姿態(tài)來對(duì)待,方能常讀常新,才會(huì)有良多的感觸,才會(huì)悟出真諦,才能在數(shù)學(xué)課堂上也教會(huì)學(xué)生用不同的眼光去看待數(shù)學(xué)問題,這樣才能視野開闊,不斷提升核心素養(yǎng),促進(jìn)學(xué)生深遠(yuǎn)的發(fā)展[4]！