牟筱寧，曾凡銓，周 陽(yáng)，崔業(yè)兵，宋樹偉

(1.上海航天控制技術(shù)研究所·上?！?01109；2.上海伺服系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心·上?！?01109)

0 引 言

由于采用了永磁體勵(lì)磁，永磁同步電機(jī)(Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小、功率密度高和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)小等優(yōu)勢(shì)[1]。在對(duì)控制精度和可靠性有嚴(yán)格要求的應(yīng)用場(chǎng)合(如航空航天、高精度數(shù)控加工機(jī)床、工業(yè)機(jī)器人等領(lǐng)域)中，均已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用[2-3]。

永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)一般采用三環(huán)級(jí)聯(lián)的層次式反饋控制結(jié)構(gòu)。電流環(huán)作為電機(jī)的內(nèi)環(huán)，其動(dòng)態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)控制性能直接決定著電機(jī)的控制性能[4]。微處理器的性能取得了不斷發(fā)展，使得在一個(gè)控制周期內(nèi)便可以完成更加復(fù)雜的控制算法，而電流預(yù)測(cè)控制技術(shù)已成為了近年來(lái)的研究熱點(diǎn)[5]。電流預(yù)測(cè)控制技術(shù)使用電機(jī)和逆變器的離散時(shí)間模型預(yù)測(cè)下一周期的電流響應(yīng)，從而提前產(chǎn)生響應(yīng)動(dòng)作，縮短控制延時(shí)，提高電流環(huán)的帶寬與動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力[6-9]。

按照電壓矢量作用方式的不同，永磁同步電機(jī)電流預(yù)測(cè)控制技術(shù)主要可分為直接電流預(yù)測(cè)控制、雙矢量電流預(yù)測(cè)控制和PWM電流預(yù)測(cè)控制三種[10]。其中，PWM預(yù)測(cè)控制根據(jù)電機(jī)及逆變器的離散時(shí)間模型精確計(jì)算當(dāng)前時(shí)刻所需的電壓，并將該電壓的數(shù)值通過(guò)PWM調(diào)制轉(zhuǎn)換為逆變器的開關(guān)順序的控制方法。該方法具有紋波較小的交直軸電流響應(yīng)，相電流諧波含量較低，且諧波集中分布在開關(guān)頻率及其倍數(shù)頻率附近[11]。但是，PWM電流預(yù)測(cè)控制是基于模型的控制方法，電機(jī)定子電阻、電感與磁鏈的參數(shù)變化，均會(huì)導(dǎo)致電流控制出現(xiàn)振蕩或靜差[12]。

為消除參數(shù)誤差對(duì)電流預(yù)測(cè)控制的影響，研究人員進(jìn)行了廣泛而深入的研究[10,13-14]。文獻(xiàn)[10]分析了電感和磁鏈參數(shù)誤差對(duì)電流靜差的影響。通過(guò)在d軸電流控制中加入積分，同時(shí)動(dòng)態(tài)調(diào)整控制器電機(jī)模型的磁鏈參數(shù)，消除了電流靜差；文獻(xiàn)[13]詳細(xì)討論了電感對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；文獻(xiàn)[14]對(duì)電機(jī)的電感和磁鏈進(jìn)行了在線參數(shù)辨識(shí)，但該方法需要占用大量的系統(tǒng)資源。本文在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上，從PWM電流預(yù)測(cè)控制的模型出發(fā)，重新推導(dǎo)出了電阻、電感和磁鏈參數(shù)誤差與電流靜差的函數(shù)關(guān)系，引入了參數(shù)偏差因子，量化分析了電機(jī)參數(shù)誤差與產(chǎn)生的電流靜差之間的關(guān)聯(lián)規(guī)律。

本文首先介紹PWM電流預(yù)測(cè)控制技術(shù)的基本原理，對(duì)電流靜差的產(chǎn)生進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，分析參數(shù)變化與電流靜差產(chǎn)生的內(nèi)在關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，引入偏差因子反映電機(jī)參數(shù)的變化大小，總結(jié)出誤差變化與靜差變化之間的規(guī)律。最后，通過(guò)Matlab/Simulink仿真平臺(tái)進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證了二者之間的制約關(guān)系。

1 PWM電流預(yù)測(cè)控制

本文以表貼式永磁同步電機(jī)模型為基礎(chǔ)，采用id為0的矢量控制方式。通常選擇同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系d-q下的數(shù)學(xué)模型，其定子電壓方程可表示為

(1)

式中,ud、uq分別是定子電壓的d-q軸分量；id、iq分別是定子電流的d-q軸分量；R是定子電阻；ψd、ψq為定子磁鏈的d-q軸分量；ωe是電角速度。

定子磁鏈方程為

(2)

式中，Ld、Lq分別是d-q軸電感分量；ψf為永磁體磁鏈。

將式(2)代入式(1)，可得定子電壓方程為

(3)

根據(jù)定子電壓方程式(3)，選擇電機(jī)電流為狀態(tài)變量。對(duì)于表貼式永磁同步電機(jī)，有Ld=Lq=L，并可得到狀態(tài)方程如下

(4)

狀態(tài)方程式(4)的通解可表示為

(5)

為了得到系統(tǒng)離散化的電流狀態(tài)方程，在采樣時(shí)間T較小的前提下，可認(rèn)為系統(tǒng)輸入電壓u和反電勢(shì)D在kT～(k+1)T時(shí)間間隔內(nèi)恒定。令t0=kT、t=(k+1)T，電流狀態(tài)方程(5)的離散通解為

i(k+1)=Aφi(k)+A-1(Aφ-I)Bu(k)+

A-1(Aφ-I)D(k)

(6)

當(dāng)采樣時(shí)間T足夠小時(shí)，可做如下近似

(7)

由此，可以得到簡(jiǎn)化后的電流預(yù)測(cè)模型為

i(k+1)=F(k)i(k)+G(k)u(k)+H(k)

(8)

u(k)=G-1(k)[i*(k+1)-F(k)i(k)-H(k)]

(9)

將下一時(shí)刻電流指令i*(k+1)和當(dāng)前電流反饋值i(k)代入式(9)，便可計(jì)算出使電機(jī)電流精確跟隨指令所需的電壓矢量u(k)。將生成的電壓矢量通過(guò)SVPWM進(jìn)行調(diào)制，以生成所需的開關(guān)信號(hào)并將其作用于開關(guān)器件。PWM預(yù)測(cè)控制的結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中，ia、ib、ic為電機(jī)三相電流的采樣值。

圖1 PWM電流預(yù)測(cè)控制結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Block diagram of PWM predictive current control

2 電流靜差成因分析

電機(jī)在運(yùn)行過(guò)程中，電機(jī)定子電阻、電感和磁鏈會(huì)受溫度、工況等因素影響而發(fā)生參數(shù)值變化，使得電機(jī)的實(shí)際參數(shù)值與控制器模型初始值之間存在誤差。PWM預(yù)測(cè)控制是基于模型的預(yù)測(cè)控制方法，電機(jī)參數(shù)的變化對(duì)預(yù)測(cè)控制性能有很大影響，這使得電流預(yù)測(cè)值與電流給定值之間產(chǎn)生了靜差。下文將首先分析產(chǎn)生電流靜差的原因。

電流預(yù)測(cè)控制的控制過(guò)程為：在第一個(gè)控制周期中，根據(jù)電流指令i*(k+1)和上一時(shí)刻的電流反饋i(k)，依據(jù)控制器中電機(jī)的原始參數(shù)，計(jì)算下一個(gè)控制周期所需的電壓矢量u(k)；在第二個(gè)控制周期中，將由上一時(shí)刻計(jì)算得到的電壓矢量u(k)作用于當(dāng)前電機(jī)，產(chǎn)生新的i(k+1)。將式(9)代入式(8)，可得電流表達(dá)式

i(k+1)=F0(k)i(k)+G0(k)u(k)+H0(k)

(10)

考慮電阻參數(shù)誤差，根據(jù)高精度永磁同步電機(jī)參數(shù)，電阻值通常為數(shù)十mΩ。當(dāng)電機(jī)工作在實(shí)際生產(chǎn)工況時(shí)，電阻會(huì)有不超過(guò)±10%的參數(shù)變化。電流環(huán)的采樣頻率一般設(shè)置為10kHz，電感通常設(shè)置為數(shù)百mH。按照電阻最大波動(dòng)計(jì)算系數(shù)矩陣F(k)中的TR/L項(xiàng)，TR/L項(xiàng)會(huì)有不超過(guò)1‰的變化。因此，電機(jī)電阻參數(shù)誤差對(duì)預(yù)測(cè)控制的影響較小。同時(shí)，由于TR/L<<1，可認(rèn)為1-TR/L≈1。因此，F(xiàn)(k)和F0(k)可簡(jiǎn)化為FI(k)

(11)

將式(11)代入式(10)，可以得到d、q軸電流響應(yīng)與給定電流的關(guān)系

(12)

式中，ΔL和Δψf分別為實(shí)際電機(jī)參數(shù)與控制器電機(jī)模型參數(shù)的差值，即有ΔL=L0-L，Δψf=ψf-ψf0。

對(duì)預(yù)測(cè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。在電機(jī)控制系統(tǒng)中，電機(jī)的機(jī)械時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)大于電氣時(shí)間常數(shù)，轉(zhuǎn)速變化相對(duì)于電流變化是十分緩慢的。因此，可將式(12)中含有ωe(k)的項(xiàng)視為擾動(dòng)項(xiàng)。對(duì)式(12)進(jìn)行Z變換，可得到系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

(13)

由上式可知，系統(tǒng)的特征根為z=1-L/L0。根據(jù)離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，可得到系統(tǒng)的穩(wěn)定條件為

0

(14)

即控制器電感小于電機(jī)實(shí)際電感的2倍。

在穩(wěn)態(tài)狀態(tài)時(shí)，可以認(rèn)為id(k)=id(k+1)，iq(k)=iq(k+1)。由此，可推導(dǎo)出d、q軸電流靜差公式為

(15)

由式(15)可知，電感參數(shù)偏差影響d軸電流靜差，電感和磁鏈參數(shù)偏差影響q軸電流靜差。此外，d、q軸電流靜差與采樣時(shí)間T、轉(zhuǎn)速ωe和iq(k)均有直接關(guān)系。

3 參數(shù)誤差量化分析

為了更加直觀地描述參數(shù)誤差對(duì)電流靜差的影響，可引入電感偏差因子α和磁鏈偏差因子β來(lái)定量分析影響的大小，定義

(16)

將式(16)代入式(15)，可以得到d、q軸電流靜差與偏差因子間的關(guān)系

(17)

由上文的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析可知，當(dāng)α>-0.5時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定可控，靜差的大小與α正相關(guān)；當(dāng)α≤-0.5時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，電流會(huì)出現(xiàn)振蕩發(fā)散。

由式(17)可得到d軸電流靜差與電感偏差因子α之間的制約關(guān)系，如表1所示。

表1 d軸電流靜差與電感偏差因子α的關(guān)系表Tab.1 Table of the relationship between d-axis static current error and inductance deviation factor α

由表1中的關(guān)系可知，當(dāng)電機(jī)正轉(zhuǎn)、電磁轉(zhuǎn)矩為正時(shí)，d軸電流靜差的產(chǎn)生與磁鏈參數(shù)誤差無(wú)關(guān)，只與電感參數(shù)誤差有關(guān)。同時(shí)，電感值偏差越大，產(chǎn)生的d軸電流靜差越為明顯。在id為0的控制中，當(dāng)電機(jī)的實(shí)際電感值大于控制器電機(jī)模型的電感參數(shù)時(shí)，d軸電流響應(yīng)大于0；當(dāng)電機(jī)的實(shí)際電感值小于控制器電機(jī)模型的電感參數(shù)時(shí)，d軸電流響應(yīng)小于0。

分析q軸電流靜差，得到如表2所示的關(guān)系。

表2 q軸電流靜差與α、β的關(guān)系表Tab.2 Table of the relationship between q-axis static current error and α、β

由表2的數(shù)據(jù)可知，電機(jī)正轉(zhuǎn)、電磁轉(zhuǎn)矩為正且不考慮磁鏈參數(shù)誤差，當(dāng)電機(jī)實(shí)際電感值與控制器電機(jī)模型電感參數(shù)存在偏差時(shí)，q軸電流響應(yīng)小于q軸電流給定值。當(dāng)電感參數(shù)準(zhǔn)確時(shí)，僅存在由磁鏈參數(shù)誤差引起的q軸電流靜差。當(dāng)實(shí)際磁鏈參數(shù)大于電機(jī)模型磁鏈參數(shù)時(shí)，q軸電流響應(yīng)小于給定值；當(dāng)實(shí)際磁鏈參數(shù)小于電機(jī)模型磁鏈參數(shù)時(shí)，q軸電流響應(yīng)將大于給定值。

4 仿真結(jié)果及分析

4.1 仿真條件

電機(jī)仿真參數(shù)如表3所示，電流環(huán)控制頻率設(shè)置為10kHz，仿真在Matlab/Simulink中進(jìn)行。

表3 電機(jī)仿真模型參數(shù)Tab.3 Simulation parameters of the motor

仿真條件設(shè)置為：直流母線電壓311V，在0.005s轉(zhuǎn)速階躍給定從0到1000r/min；在0.03s突加0.5倍額定負(fù)載，在0.04s突卸負(fù)載；在0.05s突加額定負(fù)載，在0.06s突卸負(fù)載；在0.07s突加1.5倍額定負(fù)載，在0.08s突卸負(fù)載。

4.2 參數(shù)誤差條件下的電流靜差情況

本節(jié)采用所提出的電流預(yù)測(cè)控制方法，對(duì)上述電機(jī)進(jìn)行了仿真測(cè)試。圖2是d、q軸電流在模型參數(shù)準(zhǔn)確時(shí)的響應(yīng)曲線；圖3～圖7是d、q軸電流在電感和磁鏈參數(shù)失配時(shí)的響應(yīng)曲線。其中，黑線為給定的電流指令。

圖2 無(wú)參數(shù)誤差時(shí)的電流響應(yīng)仿真波形Fig.2 Simulation results of current response without parameter mismatch

圖3 α=-0.5、β=-0.5時(shí)的電流響應(yīng)仿真波形Fig.3 Simulation results of current response (α=-0.5，β=-0.5)

圖4 α=0.5、β=0.5時(shí)的電流響應(yīng)仿真波形Fig.4 Simulation results of current response (α=0.5，β=0.5)

圖5 α=-0.5、β=0.5時(shí)的電流響應(yīng)仿真波形Fig.5 Simulation results of current response (α=-0.5，β=0.5)

圖6 α=0.5、β=-0.5時(shí)的電流響應(yīng)仿真波形Fig.6 Simulation results of current response (α=0.5，β=-0.5)

圖7 α=-0.7、β=0時(shí)的電流響應(yīng)仿真波形Fig.7 Simulation results of current response (α=-0.7，β=0)

由圖3～圖6可以看出，電機(jī)在參數(shù)不準(zhǔn)時(shí)會(huì)產(chǎn)生d、q軸電流靜差，且電流靜差與第3節(jié)得出的分析規(guī)律一致。當(dāng)實(shí)際電感與磁鏈參數(shù)相較于控制器原始數(shù)據(jù)偏大時(shí)，引起的靜差現(xiàn)象更為明顯。由圖7可以看出，當(dāng)電機(jī)實(shí)際電感小于額定電感的一半時(shí)，電流會(huì)出現(xiàn)振蕩發(fā)散，由此驗(yàn)證了上文所提出的穩(wěn)定域。

5 結(jié) 論

本文依據(jù)PWM電流預(yù)測(cè)控制的基本原理，從理論上分析了d、q軸電流靜差產(chǎn)生的原因，對(duì)電機(jī)參數(shù)誤差與電流靜差間的制約關(guān)系進(jìn)行了分析。引入偏差因子α和β描述了當(dāng)電機(jī)電感和磁鏈參數(shù)變化時(shí)，d、q軸電流靜差的變化情況。通過(guò)判定α和β的大小，簡(jiǎn)單、形象地反映了電流響應(yīng)與給定電流間的量化關(guān)系，并通過(guò)仿真驗(yàn)證了所提方法的實(shí)用性和準(zhǔn)確性。