華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510630)羅碎海

2021年高考落下帷幕,一線教師高考研究的熱情進(jìn)入高潮.每年的高考題會(huì)出現(xiàn)一批批立意新穎充滿趣味的好題,2021年新高考I 卷數(shù)學(xué)第21 題就是一例,值得欣賞,值得推廣.

1 原題賞析

題目(2021年新高考I 卷第21 題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)點(diǎn)M滿足|MF1|?|MF2|=2.記M的軌跡為C.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)T在直線上,過(guò)T的兩條直線分別交C于A,B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn),且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

讀完該題,有幾個(gè)問(wèn)題值得思考:

問(wèn)題1 為什么題目給出的是雙曲線的右支,不是全部,想考查什么?

問(wèn)題2 題目中的等式|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,在完整的雙曲線中是否仍然成立?

問(wèn)題3 由等式|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,聯(lián)想到圓的相交弦定理與切割線定理,那么在圓錐曲線中有對(duì)應(yīng)的定理嗎?

分析1第一問(wèn)很簡(jiǎn)單.看到第二問(wèn),自然想到用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化求距離.

評(píng)述(1)在此解法中,考慮到Δ>0,但此時(shí)直線AB與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A,B可能分別在雙曲線左右兩支上,這個(gè)Δ>0 與該題不等價(jià).但無(wú)論是在雙曲線一支上有兩交點(diǎn),還是在兩支上各有一個(gè)交點(diǎn),本題答案不變.

(3)如果以上兩個(gè)細(xì)節(jié)要說(shuō)清,比較麻煩.但該題結(jié)論對(duì)整個(gè)雙曲線成立,與一支或兩支無(wú)關(guān),細(xì)節(jié)不清,答案不受影響.所以該題易做,得滿分不易.

分析2對(duì)于第二問(wèn),看到|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,聯(lián)系直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,應(yīng)該更易解答.

由題意可知,直線斜率k滿足|k|>4,得到16cos2α?sin2α<0,16cos2β?sin2β <0,由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,得sin2α?16cos2α=sin2β?16cos2β,?1?17cos2α=1?17cos2β ?cos2α=cos2β,因?yàn)棣?β∈(0,π),且αβ,所以α+β=π,所以,兩直線斜率k1與k2滿足k1+k2=0.

評(píng)述該解法考慮直線與雙曲線交于一支,但未說(shuō)明點(diǎn)T的位置.由于答案不受影響,還是抓主要矛盾吧.也許出題人就是為了避免大家都得滿分,用雙曲線一支編題.

2 圓錐曲線中的相交弦與切割線定理

在以上高考題中,等式|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|使我們聯(lián)想到圓中的相交弦定理與切割線定理,那么,此定理在一般的圓錐曲線中怎么樣?我們以橢圓為例分析.

2.1 圓的相交弦定理與切割線定理

圓中有一組優(yōu)美的性質(zhì)——相交弦、切割線定理:

(1)相交弦定理如圖1,圓O的兩弦AB,CD交于圓內(nèi)一點(diǎn)M,則MA·MB=MC·MD.

圖1

(2)割線定理 如圖2,過(guò)圓O外一點(diǎn)M作圓的兩條割線AB,CD,與圓相交于A,B,C,D,則MA·MB=MC·MD.

圖2

考慮割線的特殊情況變成切線,得到切割線定理.

(3)切割線定理 如圖3,過(guò)圓O外一點(diǎn)M作圓的一條割線交圓于A,B點(diǎn),作圓的一條切線MT,與圓切點(diǎn)為T,則MA·MB=MT2.

圖3

這三個(gè)定理是一個(gè)統(tǒng)一體,是過(guò)一定點(diǎn)作直線與圓有公共點(diǎn)的問(wèn)題.定點(diǎn)在圓內(nèi)還是圓外,交點(diǎn)是兩個(gè)還是重合為一個(gè).

2.2 探討相交弦定理在橢圓中的形式

設(shè)點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)t分別為t1,t2,則

同理有

所以

②式就是我們得到的橢圓割線的初步結(jié)果.在②中,若a=b,橢圓變?yōu)閳A,②為圓的割線定理,;若β=π?α,也有,這是高中數(shù)學(xué)選修4-4《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》(人教A 版)P38 例4;從推導(dǎo)過(guò)程發(fā)現(xiàn)該關(guān)系在雙曲線中依然成立,這正是文首今年高考題類型.

我們還發(fā)現(xiàn)①中比值只與橢圓長(zhǎng)短軸長(zhǎng)和直線的傾斜角有關(guān),與點(diǎn)P的坐標(biāo)倒無(wú)關(guān).很自然想到取點(diǎn)P為橢圓中心,易得結(jié)果.但對(duì)拋物線來(lái)說(shuō)沒有中心,還是取橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)更科學(xué).

過(guò)焦點(diǎn)F作與l平行的焦點(diǎn)弦為MN,即在①中將(x0,y0)代為(c,0)得

同理分析其它圓錐曲線,得到以下統(tǒng)一定理:

定理3點(diǎn)P在圓錐曲線外(不含焦點(diǎn)的部分),過(guò)點(diǎn)P的直線l,m與圓錐曲線E分別切于點(diǎn)A和B,d1、d2為與l,m分別平行的焦點(diǎn)弦長(zhǎng),則.

到此,我們看到了圓的切割線定理在一般的圓錐曲線中的數(shù)學(xué)形式.從數(shù)與形的統(tǒng)一、特殊與一般辨證關(guān)系去分析問(wèn)題,才能看到問(wèn)題的本質(zhì)與數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律,這也是我們學(xué)好數(shù)學(xué)的基本思想.高考題大多是將一般性問(wèn)題特殊化、具體化.只要平時(shí)做好對(duì)每個(gè)問(wèn)題特殊性與一般性分析,看高考題如掌上觀紋.