浙江省湖州市菱湖中學(xué)(313018)吳凱

浙江省湖州市教育科學(xué)研究中心(313000)王勇強(qiáng)

數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)中最經(jīng)典的內(nèi)容之一,具有豐富的內(nèi)涵和外延,特別是數(shù)列有界性證明問(wèn)題,可以溝通函數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、導(dǎo)數(shù)、積分等內(nèi)容之間的聯(lián)系,常受到高考命題者的青睞.在數(shù)列有界性的證明中,通常會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法和放縮法這兩大主要方法,相對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法而言,放縮法的思想方法更加靈活多變,其中包含:放縮為等差(等比)數(shù)列、放縮為裂項(xiàng)相消、放縮為錯(cuò)位相減等常規(guī)數(shù)列求和模型方法,除了要熟練運(yùn)用數(shù)列問(wèn)題的基本方法,如構(gòu)造等差等比數(shù)列、迭代、累加、累乘等基本方法之外,還需要能夠綜合運(yùn)用執(zhí)果索因的分析方法,采用逆向思維,巧妙進(jìn)行拆項(xiàng)、添項(xiàng)、留項(xiàng)等解題策略.本文將針對(duì)精度要求較高的不等式放縮證明問(wèn)題來(lái)研究數(shù)列有界性的解題策略,以供讀者參考.

策略1 逆求通項(xiàng),對(duì)比分析

點(diǎn)評(píng)通過(guò)逆向反求通項(xiàng),可有效抓住求和的本質(zhì)原因,對(duì)比分析左右兩邊通項(xiàng)與通項(xiàng)之間的關(guān)系,找到等價(jià)命題,它是解決復(fù)雜數(shù)列放縮題型的一種重要策略.

策略2 先猜后證,構(gòu)造界限

策略3 構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用性質(zhì)

策略4 切線放縮,以直代曲

圖1

圖2

圖3

點(diǎn)評(píng)將數(shù)列看成特殊的函數(shù),利用函數(shù)思想,考慮原函數(shù)在某個(gè)特殊點(diǎn)位置處的切線方程,以直代曲形成放縮,有時(shí)為了計(jì)算簡(jiǎn)便,也可以考慮過(guò)原點(diǎn)且數(shù)值較簡(jiǎn)潔的相離直線代替切線作為界限,在不失精度的情況下,亦能實(shí)現(xiàn)證明.

結(jié)束語(yǔ)

除了以上四種解題策略,數(shù)列有界性問(wèn)題還可以從定積分的角度來(lái)求證.但是對(duì)于定積分不做高考要求的部分省份而言,考生有必要學(xué)習(xí)并掌握以上這些初等的解題策略以開(kāi)闊眼界,提升分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.筆者謹(jǐn)以此拋磚引玉,以期精妙之法.另外,教師在教學(xué)中,若能將如何發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、如何分析數(shù)學(xué)問(wèn)題、如何構(gòu)建研究問(wèn)題的方法和策略以及掌握解決問(wèn)題的基本思想方法等作為主要的教學(xué)目標(biāo),盡量讓學(xué)生每解完一題,就努力去思考和總結(jié),力求加深對(duì)數(shù)學(xué)核心概念的理解和解題思想方法的感悟,就會(huì)在解題中學(xué)會(huì)解題,從而真正提高教學(xué)效率[1].