廣東省中山市中山紀念中學(528454)李文東

數(shù)學中的同構(gòu)式是指除了變量不同,而結(jié)構(gòu)相同的兩個表達式.數(shù)學中的同構(gòu)式,它不僅體現(xiàn)了數(shù)學的對稱和諧美,而且運用同構(gòu)式的思想解題能夠培養(yǎng)學生的抽象,轉(zhuǎn)化化歸的思維能力.例如求數(shù)列的通項公式的關(guān)鍵就是將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征,即關(guān)于(an,n)與(an-1,n?1)的同構(gòu)式,從而將同構(gòu)式設為輔助數(shù)列便于求解.在解析幾何中,經(jīng)常碰到結(jié)構(gòu)相同的問題,此時我們?nèi)绻捎猛瑯?gòu)的思想來處理,會給我們的解題帶來很大的方便,下面舉例說明.

一、過曲線上一定點的兩直線的斜率同構(gòu)

圖1

代入曲線C的方程可得關(guān)于k1的一元二次方程同理可知k2也滿足該方程,即k1,k2是方程aK2+bK+c=0 的兩根,利用這個方程可以方便的處理與直線PA,PB的斜率之和或之積問題.

二、過曲線外一定點的兩切線同構(gòu)

1 過曲線外一定點的兩切線的斜率同構(gòu)

過曲線C外一定點P(x0,y0)作曲線C的切線PA,PB,切點分別為A,B,設直線PA,PB的方程分別為:y?y0=k1(x?x0)和y?y0=k2(x?x0),聯(lián)立y?y0=k1(x?x0)與曲線C的方程,根據(jù)相切得Δ=0或d=r(曲線為圓時)得到關(guān)于k1的一元二次方程同理可知k2也滿足該方程,即k1,k2是方程aK2+bK+c=0 的兩根.

例3如圖 2,已知M(x0,y0)是橢圓上的任一點,從原點O向圓M:(x?x0)2+(y?y0)2=2 作兩條切線,分別交橢圓于點P、Q.若直線OP,OQ的斜率存在,并記為k1,k2,求證:k1·k2為定值.

圖2

2 過一定點的兩切線的切點方程同構(gòu)

三、參數(shù)同構(gòu)