廣州市鐵一中學(510600)范選文

已知函數(shù)不等式求參數(shù)的取值范圍是高考壓軸題的常見考點之一,常見的有五種類型:一是“指數(shù)與冪函數(shù)模型”;二是“對數(shù)與冪函數(shù)模型”;三是“指數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型”;四是“指數(shù)、對數(shù)與冪函數(shù)模型”;五是“指數(shù)或?qū)?shù)與三角函數(shù)模型”.前兩種模型的解題策略筆者已經(jīng)探究[1],后面三種題型比較靈活,綜合性較強,對于學生來說解決方法較難掌握.本文筆者主要針對“指數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型”的探究.

一、問題呈現(xiàn)

題目1設函數(shù)f(x)=ex?ln(x+a).當f(x)≥0 時,求a的取值范圍.

此題是筆者針對一道高考題(2013年高考全國II 卷第21 題)進行了改編,原題是已知函數(shù)f(x)=ex?ln(x+m).當m≤2 時,證明f(x)>0.在講解過程中與學生探討時發(fā)現(xiàn)改編后不能求出具體a的取值范圍.

二、問題解決

問題改編思考:此題改編后題目本身沒有問題,只是針對高中學生來說求解出來的參數(shù)取不是常見具體數(shù)值而導致解答失敗.沒有改編成功的關鍵是在于最后的普通式利用基本不等式求解最值,忽略了不等式等號成立的x0取值與最后求解出的參數(shù)范圍等號成立時x0的取值是否一致(即沒有作出檢驗),導致筆者最初所寫解答錯誤.假如改編的題目能這點上處理得當,應該就比較容易設置出“指數(shù)與對數(shù)函數(shù)混合模型”求參數(shù)范圍的題目.

三、問題再改編與解題策略探究

評注指數(shù)函數(shù)部分與對數(shù)函數(shù)部分是互為相反的凹凸性,且?guī)⒉糠值暮瘮?shù)是指數(shù)或者對數(shù)進行左右平移或者上下平移的變換,則可以利用它們有相同的切點和公切線的性質(zhì),尋找它們之間大小關系.

策略二、利用不等式ex≥x+1 進行放縮求解

解法2因為f(x)=ex?a?ln(x+a)≥0,所以ex?a≥ ln(x+a),因為ex≥x+ 1,可以轉(zhuǎn)化為不等式ln(x+ 1)≤x(當且僅當x=0 時等號成立).所以ex?a≥x+ 1?a(當且僅當x=0 時等號成立),ln(x+a)≤x+a?1(當且僅當x+a=1 時等號成立).因為需要滿足ex?a≥ln(x+a),所以x+a?1 ≤x+1?a,解得a≤1.(經(jīng)檢驗當a=1 時x=0,滿足不等式同時成立的條件,故符合題意)

評注在遇到“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型”進行整合的不等式恒成立求參數(shù)范圍時,則首選觀察指數(shù)函數(shù)部分與對數(shù)函數(shù)部分是否互為反函數(shù),假如是互為反函數(shù),則直接用指數(shù)函數(shù)部分與直線y=x作比較即可,方法是利用直線與指數(shù)函數(shù)相切可求得.

策略四、虛設零點,整體代換把超越式降為普通式求解

評注針對“指數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型”的不等式求參數(shù)范圍的題目,因為這類函數(shù)求導后還是一個超越函數(shù),無法直接求出導函數(shù)的零點,所以我們一般對導函數(shù)虛設零點,對原函數(shù)的超越式進行合理代換,把超越式變成普通式后再進行求解.

策略五、虛設零點,消參得到關于零點的單一函數(shù)求解

策略六、利用同構(gòu)思想求解

解法6因為f(x)=ex?a?ln(x+a)≥0,所以ex≥ln(x+a)+a,兩邊加上x得到

ex+x≥ln(x+a)+(x+a),

即有同構(gòu)式

ex+x≥ln(x+a)+eln(x+a).

構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex+x,則g′(x)=ex+1>0 恒成立,故g(x)在(?a,+∞)上單調(diào)遞增,所以只需x≥ln(x+a)成立即可,即a≤ex?x.構(gòu)造函數(shù)h(x)=ex?x,易得h(x)min=1,實數(shù)a的取值范圍為a≤1.

評注同構(gòu)思想是構(gòu)造函數(shù)求解的重要思想之一,在導數(shù)中有重要的應用,我們可以總結(jié)出一些常見的同構(gòu)變形:

四、解題策略的高考運用

例(2020年高考山東卷第21 題)函數(shù)f(x)=aex-1?lnx+lna,若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解法1(運用相同切線分界來進行求解)因為f(x)≥1,所以aex-1≥lnx?lna+ 1.根據(jù)y=aex-1與y=lnx?lna+1 的凹凸性可得y=aex-1與y=lnx?lna+1有公切線,設切點為(x0,y0),故根據(jù)切線可得

解法2(利用不等式ex≥x+ 1 進行放縮求解)因為f(x)≥ 1,所以aex-1≥ lnx?lna+ 1(a >0).因為ex≥x+ 1(當且僅當x=0 時等號成立),所以aex-1≥ax(當且僅當x=1 時等號成立).又因為不等式lnx≤x?1(當且僅當x=1 時等號成立),所以lnx?lna+ 1=lnax?2 lna+ 1 ≤ax?2 lna(當且僅當ax=1 時等號成立).因為aex-1≥lnx?lna+1,所以ax≥ax?2 lna,解得a≥1,(經(jīng)檢驗等號成立的條件都是x=1 條件下取得,所以不等式等號成立,符合題意).故a≥1.

解法3(利用互為反函數(shù)的對稱性質(zhì)進行求解)因為y=aex-1與y=lnx?lna+1 互為反函數(shù),根據(jù)y=aex-1與y=lnx?lna+1 的凹凸性,它們有共同的切點,且切點(x0,y0)在直線y=x上,故根據(jù)公切線可得

解得x0=1,a=1,.故a≥1.

總之,指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的混合函數(shù)求參數(shù)取值范圍問題難度比較大,而且靈活性較強,筆者通過例題來探究和思考,總結(jié)出以上六種解題策略,當然,它們不能不是萬能的,而且每種策略都有其局限性.在處理這種題型時,需要我們對題目結(jié)構(gòu)上的細致觀察和深入計算了解,再選擇有效的解題思路和解題策略.