閆 曌, 張立廣, 李紅楠, 劉 穎, 嚴(yán)宇欣

(1. 西安工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院, 陜西 西安 710021；2. 大連長豐實業(yè)總公司航豐公司, 遼寧 大連 116038)

0 引 言

文獻(xiàn)[1]報道Astrom等提出基于繼電反饋的PID整定方法，在工業(yè)界有著廣泛應(yīng)用。該方法在閉環(huán)回路中加繼電器產(chǎn)生振蕩，通過獲取系統(tǒng)輸出振蕩時的臨界參數(shù)，利用Z-N規(guī)則[2]來調(diào)整PID參數(shù)。然而，Z-N方法存在不穩(wěn)定、精度低等不足，無法準(zhǔn)確得到PID控制器的參數(shù)。

大多數(shù)工業(yè)過程可近似為低階慣性加純滯后環(huán)節(jié)[3]，在整定參數(shù)時，應(yīng)該根據(jù)不同對象的模型、特性等因素選擇合適的方法。文獻(xiàn)[4]提出一種改進(jìn)型的繼電反饋自整定PID用來控制自衡過程。文獻(xiàn)[5]針對實際工業(yè)對象，設(shè)計繼電反饋參數(shù)自整定算法。文獻(xiàn)[6]采用繼電反饋進(jìn)行參數(shù)獲取，根據(jù)對象的振蕩輸出曲線辨識模型參數(shù)和臨界信息。但均存在截斷誤差，對臨界增益的辨識精度低，在時滯大的工業(yè)過程中不能取得較好的結(jié)果。

針對Z-N方法整定PID參數(shù)時存在的不足，本文采用繼電反饋方法，對一階慣性純滯后環(huán)節(jié)的工業(yè)對象進(jìn)行仿真研究，推導(dǎo)了臨界信息與傳遞函數(shù)參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，實現(xiàn)工業(yè)對象的信息辨識。

1 繼電反饋基本原理及建模

在工業(yè)領(lǐng)域內(nèi)，大多數(shù)被控對象結(jié)構(gòu)復(fù)雜，無法獲得被控對象的精確模型[7]。參數(shù)整定規(guī)則大部分是基于傳遞函數(shù)進(jìn)行整定的，然而大多數(shù)被控對象均不是標(biāo)準(zhǔn)的延遲形式，為了使結(jié)論能廣泛應(yīng)用，將傳遞函數(shù)等效為一階慣性加滯后的模型。但慣性和純滯后的時間無法確定，因此本文采用繼電振蕩的方法，得到臨界參數(shù)Ku和Tu，通過建立模型，得到臨界參數(shù)與傳遞函數(shù)中特征參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，從而對控制器進(jìn)行參數(shù)整定。

1.1 基本原理

繼電反饋方法是在閉環(huán)控制回路中加入繼電控制[8]，利用繼電控制的非線性特性使被控過程出現(xiàn)極限環(huán)振蕩，利用振蕩曲線信息估計動態(tài)過程數(shù)學(xué)模型的特征參數(shù)Tu和Ku，進(jìn)而計算PID控制器的參數(shù)。

繼電整定法在控制系統(tǒng)中設(shè)置2種模式[9]：測試模式和調(diào)節(jié)模式。測試模式由一個繼電非線性環(huán)節(jié)來測試系統(tǒng)的振蕩頻率和振蕩幅值;調(diào)節(jié)模式由系統(tǒng)的特征參數(shù)首先得出控制器參數(shù)，然后由控制器對系統(tǒng)的動態(tài)性能進(jìn)行調(diào)節(jié)。如果系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生變化,則需要重新進(jìn)入測試模式進(jìn)行測試[10]，測試完畢后再回到調(diào)節(jié)模式進(jìn)行控制。結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1 繼電反饋PID自整定控制結(jié)構(gòu)圖

圖1中，r(t)為參考信號，目標(biāo)值通常被設(shè)為0，e(t)為偏差，u(t)為被控對象的輸入，y(t)為輸出[11]。

測試模式下，系統(tǒng)的等效框圖如圖2所示，開始時輸入u為d，當(dāng)輸出開始增加后，繼電輸出切換到相反的方向,即u=-d，因為相位延遲是-π，所以產(chǎn)生了一個周期為Tu的極限振蕩[12]。

圖2 繼電反饋測試模式結(jié)構(gòu)圖

當(dāng)系統(tǒng)處于等幅振蕩時，非線性環(huán)節(jié)信號輸入e(t)為正弦信號，非線性環(huán)節(jié)輸出信號u(t)為周期方波信號，周期為Tu，其傅里葉級數(shù)展開式為

(1)

式中：A0為直流分量；An、Bn分別為基波及各次諧波分量的幅值。

分析可知，輸出的信號為奇函數(shù)，則可推出直流分量系數(shù)與基波偶函數(shù)分量系數(shù)為0，即：

A0=A1=0

(2)

而基波奇函數(shù)分量系數(shù)為

(3)

可以得到該繼電特性的描述函數(shù)為

(4)

由控制理論可知，產(chǎn)生等幅振蕩的條件為

1+N(A)G(jω)=0

(5)

即可得：

argG(jω)=-π

(6)

(7)

式中：Ku為繼電特性在傳輸幅度為A的正弦信號時的等價臨界振蕩比例增益。幅度A可根據(jù)振蕩輸出曲線進(jìn)行計算。通過繼電反饋試驗可以獲得對象的臨界參數(shù)Ku和Tu，使用Z-N規(guī)則可以得到PID控制器的參數(shù)。

1.2 工業(yè)模型建立

工業(yè)控制中常用的模型為一階慣性加滯后模型，可以簡化為式(8)所示的最小模型傳遞函數(shù)：

(8)

式中：K表示穩(wěn)態(tài)增益；τ表示時間延遲；T表示慣性時間。

因此，一階慣性加滯后模型是描述工業(yè)系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)。

2 繼電反饋仿真

為了驗證繼電反饋方法的可行性，本文針對一階慣性加滯后環(huán)節(jié)的工業(yè)對象進(jìn)行MATLAB仿真試驗。搭建仿真模型如圖3所示。

圖3 繼電反饋仿真圖

當(dāng)開關(guān)打到繼電環(huán)節(jié)，系統(tǒng)進(jìn)入測試狀態(tài)，測試狀態(tài)的作用是進(jìn)行系統(tǒng)臨界信息獲取，通過繼電器發(fā)出繼電激勵信號，從而由系統(tǒng)的響應(yīng)曲線來計算出該系統(tǒng)的振蕩頻率和振蕩幅值。

為獲取臨界參數(shù)Ku、Tu，進(jìn)行繼電反饋仿真試驗，通過曲線可獲取被控對象的振蕩周期和繼電環(huán)節(jié)的幅值。繼電反饋仿真試驗圖如圖4所示。

圖4 繼電反饋仿真試驗圖

根據(jù)頻率點的幅值計算式計算出臨界增益，從而得到被控過程的臨界參數(shù)，即Ku和Tu，最終按照Z-N整定規(guī)則即可獲得PID參數(shù)，如表1所示。

表1 PID控制器參數(shù)整定規(guī)則

將被控對象接入控制環(huán)節(jié)，輸入表1的PID整定參數(shù)，得到整定曲線如圖5所示。

圖5 被控對象階躍響應(yīng)曲線

由圖5可知，基于Z-N整定方法獲取的PID控制器參數(shù)具有較大的系統(tǒng)超調(diào)量和穩(wěn)定時間，不能達(dá)到良好的控制效果。

3 仿真數(shù)據(jù)分析

3.1 函數(shù)關(guān)系仿真分析

通過繼電振蕩仿真曲線可得出臨界增益Ku和振蕩周期Tu。針對一對一的線性關(guān)系，分析Ku和Tu與被控對象的傳遞函數(shù)中T和τ之間的函數(shù)關(guān)系，具體分析如下。

被控對象在相同慣性時間、不同滯后時間的情況下，分別計算出Ku和Tu的值，當(dāng)慣性時間T相同時，分別得出Ku和Tu與滯后時間τ之間的函數(shù)關(guān)系，如圖6所示。

圖6 臨界增益、振蕩周期與滯后時間的相關(guān)性

Ku和滯后時間τ之間的函數(shù)關(guān)系為

y=0.018 9x2-0.375 9x+2.786 5

(9)

Tu和滯后時間τ之間的函數(shù)關(guān)系為

y=2.029 6x+1.095 2

(10)

其中臨界增益與滯后時間的擬合度參數(shù)為SSE=0.493，R2=0.812 8(SSE為擬合數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)對應(yīng)點的誤差平方和，R2為判定系數(shù))，振蕩周期與滯后時間的擬合度參數(shù)為SSE=0.133 6，R2=0.999 8。由式(9)和式(10)的函數(shù)關(guān)系得出，在相同慣性時間、不同滯后時間的條件下，Tu與滯后時間τ的相關(guān)性較大，Ku與滯后時間τ的相關(guān)性不大。

被控對象在相同滯后時間、不同慣性時間的情況下，分別計算出Ku和Tu的值，當(dāng)滯后時間τ相同時，分別得出Ku和Tu與慣性時間T之間的函數(shù)關(guān)系如圖7所示。

圖7 臨界增益、振蕩周期與慣性時間的相關(guān)性

Ku和慣性時間T之間的函數(shù)關(guān)系為

y=-0.006 247x2+0.352x+0.795 4

(11)

Tu和慣性時間T之間的函數(shù)關(guān)系為

y=-0.040 23x2+1.027x+10.74

(12)

其中，臨界增益和慣性時間的擬合度參數(shù)為SSE=0.097 19，R2=0.991 2，振蕩周期和慣性時間的擬合度參數(shù)為SSE=0.380 2，R2=0.988 8。由式(11)和式(12)的函數(shù)關(guān)系得出：在相同滯后時間、不同慣性時間的條件下，Ku與慣性時間T的相關(guān)性較大，Tu與慣性時間T的相關(guān)性不大。且Ku、Tu與T、τ存在著某種函數(shù)關(guān)系，即T=f(Ku,Tu)，τ=f(Ku,Tu)。

3.2 臨界參數(shù)分析

通過在MATLAB中進(jìn)行繼電測試，得出臨界參數(shù)。以下為在不同系統(tǒng)下得出其對應(yīng)的臨界參數(shù)。

對于超快速系統(tǒng)，取0.01 s

T=[0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

0.07 0.08 0.09 0.1]，

τ=[0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

0.07 0.08 0.09 0.1]。

分別對應(yīng)取值，即可得81組數(shù)據(jù)，如表2所示。

表2 試驗數(shù)據(jù)表

由繼電反饋試驗獲取各自傳遞函數(shù)分別對應(yīng)的Ku和Tu，并將這81組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，以Ku和Tu作為自變量，以T和τ作為因變量的函數(shù)關(guān)系。

Ku和Tu與時間常數(shù)T的函數(shù)關(guān)系如下：

f=-0.119 7+0.130 8x+8.13y-0.001 33x2-

9.937xy-66.16y2-0.031 58x3+3.942x2y+

70.44xy2+158.3y3+0.005 775x4-

0.253 2x3y-28.16x2y2-83.57xy3-242.1y4-

0.000 267x5-0.005 152x4y+1.554x3y2+

45.83x2y3-155.4xy4+655.1y5

(13)

對以上函數(shù)關(guān)系選取此范圍內(nèi)的非樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證。首先通過繼電振蕩得出Ku和Tu，然后輸入至式(13)得出理論慣性時間與仿真的慣性時間之間的誤差，如表3所示。

表3 慣性時間誤差分析表

由表3可知，該函數(shù)關(guān)系在超快速系統(tǒng)下，得到的仿真慣性時間與傳遞函數(shù)G(s)理論慣性時間之間的誤差均在3%以下，由此得出，該函數(shù)關(guān)系能較為準(zhǔn)確地得到被控對象傳遞函數(shù)中的慣性時間。

Ku和Tu與滯后時間τ的函數(shù)關(guān)系如下：

(14)

對以上函數(shù)關(guān)系選取此范圍內(nèi)的非樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證。通過繼電振蕩得出Ku和Tu，輸入至式(14)得出理論滯后時間與仿真滯后時間之間的誤差，如表4所示。

表4 滯后時間誤差分析表

由表4可知，該函數(shù)關(guān)系在超快速系統(tǒng)下的仿真滯后時間與傳遞函數(shù)G(s)理論滯后時間之間的誤差均在2%以下，由此得出，該函數(shù)關(guān)系能較為準(zhǔn)確地得到被控對象傳遞函數(shù)中的滯后時間。

3.3 仿真結(jié)果

本文以超快速系統(tǒng)為例進(jìn)行展開分析，從上面的仿真研究可以得到如表3、表4所示的特征參數(shù)的值，并給出其與理論值之間的誤差。數(shù)據(jù)表明，在超快速系統(tǒng)下，得到的特征參數(shù)值與理論參數(shù)值的誤差均在3%以下，可以看出該理論方法能有效且準(zhǔn)確地得出被控對象的特征參數(shù)。對于其余情況下的系統(tǒng)，同以上分析方法，可分別得出各自系統(tǒng)對應(yīng)的求參式。

4 結(jié) 語

針對被控對象特征參數(shù)未知、控制效果不穩(wěn)定等缺點，本文通過對典型一階慣性純滯后環(huán)節(jié)進(jìn)行繼電反饋試驗，提出了具體的獲取被控對象傳遞函數(shù)中特征參數(shù)的表達(dá)式。由該表達(dá)式得出系統(tǒng)重要的特征參數(shù)。利用這些特征參數(shù)，選取最優(yōu)的整定規(guī)則或者方法，從而快速對系統(tǒng)進(jìn)行整定。大量仿真數(shù)據(jù)表明，該表達(dá)式能以較小的誤差計算出控制系統(tǒng)的特征參數(shù)。