朱永明，邱文靜

鄭州大學(xué) 管理工程學(xué)院，鄭州 450001

為了解決決策問題中存在的模糊信息，Zadeh[1]和Atanassov[2]分別提出了模糊集和直覺模糊集，然而在一些多屬性決策過程中仍然存在無法處理的不確定信息，為此Smarandache[3]對(duì)直覺模糊集進(jìn)行了拓展提出了中智集，以便考慮信息的真實(shí)程度、不確定程度和失真程度。為了將中智集應(yīng)用到實(shí)際問題中，Wang等[4]提出了單值中智集。后來考慮到多屬性決策中決策群體存在偏好的不一致性，王堅(jiān)強(qiáng)等[5]和Ye[6]均基于猶豫模糊集[7]和單值中智集提出了多值中智集，目前已經(jīng)引起了許多學(xué)者的深入研究[8-10]。多值中智集是由三種集合構(gòu)成：真值隸屬度集合、不確定隸屬度集合和非隸屬度集合，三種集合包含的基本元素分別是隸屬度、不確定隸屬度和非隸屬度，且這些基本元素的個(gè)數(shù)可以是一至多個(gè)的。但多值中智集認(rèn)為上述三種集合中的每個(gè)基本元素發(fā)生的概率是一樣的。然而，在多屬性決策問題中，決策者通常會(huì)偏好一些評(píng)價(jià)值，使得在三種集合中的不同的基本元素可能具有不同的重要程度。因此，Peng等[11]和Shao 等[12]在多值中智集的基礎(chǔ)上提出了概率多值中智集，有效地考慮到了真值隸屬度，不確定隸屬度和非隸屬度各自發(fā)生的概率。目前，概率多中智集的研究已引起了許多學(xué)者的關(guān)注，Peng等[11]定義了概率多值中智集的交叉熵，并將其運(yùn)用到多屬性決策問題中；Shao等[12]提出了2種概率多值中智Choquet積分集結(jié)算子，并探究了二者性質(zhì)；Liu等[13]將傳統(tǒng)的PROMETHEE方法拓展到概率多值中智集領(lǐng)域提出了一種全新的多屬性決策方法；Liu 等[14]首先提出了概率多值中智集的熵測(cè)度和標(biāo)準(zhǔn)加權(quán)Bonferroni 距離測(cè)度，然后基于二者提出了概率多值中智ARAS 方法；Shao 等[15]在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上提出了廣義Shapley 概率多值中智Choquet 積分集結(jié)算子；針對(duì)屬性權(quán)重完全已知的多屬性決策問題，?ahin 等[16]提出了概率多值中智MABAC 方法；Shao等[17]對(duì)概率多值中智集進(jìn)行了拓展，提出了概率多值區(qū)間中智集和相關(guān)測(cè)度。

為了測(cè)量不同的單值中智集、多值中智集和區(qū)間多值中智集的相關(guān)關(guān)系，關(guān)聯(lián)系數(shù)被引入到中智集領(lǐng)域中。Ye等[18]首先將關(guān)聯(lián)系數(shù)推廣到單值中智環(huán)境下，定義了單值中智集的關(guān)聯(lián)系數(shù)，而且提出一種單值中智多屬性決策方法。后來Ye[19]又提出了一種新的單值中智關(guān)聯(lián)系數(shù)。Sahin 等[20]基于區(qū)間猶豫模糊集的關(guān)聯(lián)系數(shù)[21]提出了多值中智集的關(guān)聯(lián)系數(shù)。Ye[22]提出了區(qū)間多值中智集的關(guān)聯(lián)系數(shù)。

目前關(guān)于概率多值中智集的關(guān)聯(lián)系數(shù)的研究較少，因此，為了測(cè)量2 個(gè)概率多值中智集的平均程度、精確程度和信息完整程度之間的相關(guān)關(guān)系，本文首先提出了概率多值中智集的期望關(guān)聯(lián)系數(shù)、精確度關(guān)聯(lián)系數(shù)和信息完全度關(guān)聯(lián)系數(shù)。其次，本文基于概率多值中智集的期望關(guān)聯(lián)系數(shù)、精確度關(guān)聯(lián)系數(shù)和信息完全度關(guān)聯(lián)系數(shù)，提出了一種包含參數(shù)的概率多值中智集的綜合關(guān)聯(lián)系數(shù)，以便測(cè)量2 個(gè)概率多值中智集的整體相關(guān)關(guān)系。然后，本文提出了一系列的概率多值中智集的加權(quán)關(guān)聯(lián)系數(shù)。最后，本文基于概率多值中智集的關(guān)聯(lián)系數(shù)構(gòu)建一種可以有效地確定參數(shù)且適用于屬性權(quán)重已知的多屬性決策模型，并通過具體案例進(jìn)行了驗(yàn)證分析。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 概率多值中智集

1.2 概率多值中智數(shù)的信息完全度

在概率多值中智數(shù)α中的真值隸屬度集合、不確定隸屬度集合和非隸屬度集合中，若三者中的概率之和越接近于1，則代表α的信息就越完整，反之則亦然。為此本文基于概率猶豫模糊元的信息不完全度[23]提出一種測(cè)量α的信息完整程度的測(cè)度，其相關(guān)定義如下：

2 概率多值中智集的關(guān)聯(lián)測(cè)度

為了測(cè)量2個(gè)概率多值中智集的相關(guān)關(guān)系，在文獻(xiàn)[24]的啟發(fā)下，本文首先提出概率多值中智集的期望關(guān)聯(lián)系數(shù)、精確度關(guān)聯(lián)系數(shù)和信息完全度關(guān)聯(lián)系數(shù)，然后通過加權(quán)平均算子的思想構(gòu)建帶有參數(shù)的概率多值中智綜合關(guān)聯(lián)系數(shù)，以便測(cè)量任意2個(gè)概率多值中智集的整體相關(guān)關(guān)系，最后考慮到權(quán)重的重要性，提出了概率多值中智集的多種加權(quán)關(guān)聯(lián)系數(shù)。

2.1 概率多值中智集的關(guān)聯(lián)系數(shù)

2.2 概率多值中智集的加權(quán)關(guān)聯(lián)系數(shù)

考慮到集合X中的xi(i=1,2,…,n)可能會(huì)存在不同的權(quán)重，因此本文提出概率多值中智集的加權(quán)關(guān)聯(lián)系數(shù)。

3 建立決策模型

本文利用上述概率多值中智集的關(guān)聯(lián)系數(shù)構(gòu)建一種適用于屬性權(quán)重完全已知的多屬性決策模型。

3.1 問題描述

對(duì)某一概率多值中智多屬性決策問題，設(shè)被評(píng)價(jià)對(duì)象的集合為Y={yi|i=1,2,…,n}，相關(guān)的評(píng)價(jià)屬性集合為E={ej|j=1,2,…,m}，屬性的權(quán)重集合為w=(w1,w2,…,wn)T，且滿足wj≥0 和，且屬性權(quán)重完全已知。決策群體根據(jù)屬性對(duì)被評(píng)價(jià)方案進(jìn)行評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)結(jié)果以概率多值中智數(shù)的形式表現(xiàn)出來，因此獲得概率多值中智決策矩陣M=(αij)m×n。

3.2 理想方案的選擇

3.3 參數(shù)的確定

根據(jù)屬性的權(quán)重集w=(w1,w2,…,wn)T和公式（8）～（10）計(jì)算每個(gè)被評(píng)價(jià)方案yi={αij|j=1,2,…,n}(i=1,2,…,m)與理想方案之間加權(quán)期望關(guān)聯(lián)系數(shù)ρwe(yi,y+)、加權(quán)精確度關(guān)聯(lián)系數(shù)ρwu(yi,y+)和加權(quán)信息完全度關(guān)聯(lián)系數(shù)ρwl(yi,y+)。

已知ρwe(yi,y+)、ρwu(yi,y+)和ρwl(yi,y+)分別測(cè)量了被評(píng)價(jià)方案yi與理想方案y+的平均程度、精確程度和信息完整程度之間的相關(guān)關(guān)系，可見上述三種關(guān)聯(lián)系數(shù)是從三個(gè)不同的視角進(jìn)行研究的，因此在計(jì)算被評(píng)價(jià)方案yi與理想方案y+的加權(quán)綜合關(guān)聯(lián)系數(shù)ρwt(yi,y+)時(shí)，參數(shù)可以看作是3 種關(guān)聯(lián)系數(shù)的相對(duì)權(quán)重。為了有效地確定參數(shù)的大小，下面本文從主客觀權(quán)重的實(shí)際意義提出該參數(shù)的計(jì)算方法。

從主觀的角度，本文基于文獻(xiàn)[25]對(duì)主觀賦權(quán)的研究結(jié)論，發(fā)現(xiàn)決策群體在主觀給出參數(shù)時(shí)，一般在心里首先對(duì)3種關(guān)聯(lián)系數(shù)的重要性進(jìn)行排序，然后再進(jìn)行主觀賦值。顯然主觀參數(shù)具有2個(gè)重要信息：序信息和強(qiáng)度信息。序信息代表了參數(shù)的大小排序，強(qiáng)度信息代表了參數(shù)的大小。由于主觀得到的參數(shù)是決策群體根據(jù)自身經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)得到的，所以參數(shù)的大小具有很強(qiáng)的主觀隨意性。但參數(shù)的大小排序與現(xiàn)實(shí)情況比較接近，且不會(huì)隨著數(shù)據(jù)的改變而改變，因此主觀參數(shù)的序信息的作用要強(qiáng)于強(qiáng)度信息。為了有效地考慮主觀結(jié)果的序信息，參數(shù)應(yīng)當(dāng)與主觀參數(shù)的排列順序保持一致最好。

根據(jù)模型（M-1）得到關(guān)于方案yi(i=1,2,…,m)的客觀參數(shù)為受文獻(xiàn)[25]的啟發(fā)，客觀得到的參數(shù)也具有序信息和強(qiáng)度信息，其中強(qiáng)度信息有效地避免了主觀隨機(jī)性。但該參數(shù)會(huì)隨著數(shù)據(jù)的改變而改變，相應(yīng)參數(shù)的排序結(jié)果也會(huì)發(fā)生改變，所以序信息是不穩(wěn)定的。因此客觀參數(shù)的強(qiáng)度信息作用要強(qiáng)于序信息。為了有效地考慮客觀結(jié)果的強(qiáng)度信息，參數(shù)應(yīng)當(dāng)與客觀參數(shù)越接近越好。

此外，基于文獻(xiàn)[27]的思想，本文認(rèn)為實(shí)際的參數(shù)應(yīng)當(dāng)落在主觀參數(shù)的δ鄰域和客觀參數(shù)的δ鄰域的交集，保證最終的參數(shù)兼顧主觀結(jié)果的序信息和客觀結(jié)果的強(qiáng)度信息。因此本文認(rèn)為關(guān)于方案yi的參數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足

3.4 被評(píng)價(jià)方案的排序

4 案例分析

4.1 案例

某購(gòu)物網(wǎng)站欲對(duì)4 款即將上市的同等價(jià)位的性價(jià)比高低不一的智能手機(jī)（記為yi(i=1,2,3,4)）展開評(píng)測(cè)，進(jìn)而探索消費(fèi)者的潛在購(gòu)買意向。已知相關(guān)評(píng)測(cè)的屬性分別為系統(tǒng)流暢度(e1)、UI 設(shè)計(jì)（指對(duì)手機(jī)的人機(jī)交互、操作邏輯、界面美觀的整體設(shè)計(jì)）(e2)、功能多樣性(e3)以及硬件配置(e4)4個(gè)方面，相關(guān)的屬性權(quán)重分別是w=(0.27,0.2,0.16,0.37)T。現(xiàn)邀請(qǐng)一專家組按照上述4 種屬性對(duì)4 種手機(jī)進(jìn)行評(píng)價(jià)，相關(guān)評(píng)價(jià)結(jié)果以概率多值中智數(shù)的形式表現(xiàn)出來，如表1所示。

表1 概率多值中智決策矩陣MTable 1 Probability multi-valued neutrosophic decision matrix M

在表1 中<{0（0.6），0.6（0.4）}，{0.4（1）}，{0.3（0.4），0.5（0.4）}>，{0（0.6），0.6（0.4）}代表決策群體認(rèn)為手機(jī)y1滿足屬性e1的隸屬程度有0 和0.6，且相應(yīng)的概率分別是0.6和0.4；{0.4（1）}代表決策群體對(duì)手機(jī)y1滿足屬性e1的不確定程度為0.4，且它的概率為1；{0.3（0.4），0.5（0.4）}代表決策群體對(duì)手機(jī)y1不隸屬于屬性e1的程度為0.3和0.5，且相應(yīng)的概率均為0.4，其他數(shù)據(jù)具有類似意義。

4.2 理想方案的確定

4.3 參數(shù)的確定

根據(jù)公式（8）、（9）和（10）分別計(jì)算yi(i=1,2,3,4)與理想方案y+的關(guān)聯(lián)系數(shù)，相關(guān)計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 各個(gè)方案與理想方案的關(guān)聯(lián)系數(shù)Table 2 Correlation coefficient of each plan and ideal plan

已知決策群體給出的主觀參數(shù)為ωs=(0.6,0.1,0.3)T，然后基于模型（M-1）和（M-2）計(jì)算得到最終參數(shù)如表3所示。

表3 各個(gè)方案的參數(shù)Table 3 Parameters of each plan

4.4 排序結(jié)果

根據(jù)表2 和表3 計(jì)算得到各個(gè)被評(píng)價(jià)方案的加權(quán)綜合關(guān)聯(lián)系數(shù)分別是ρwt(y1,y+)=0.416 8，ρwt(y2,y+)=-0.059 6，ρwt(y3,y+)=-0.048 8 和ρwt(y4,y+)=0.906 7。

因此可得方案的最終排序?yàn)閥4?y1?y3?y2。

4.5 對(duì)比分析

為了說明本文所提的方法的優(yōu)勢(shì)，本文采用文獻(xiàn)[11]所提的概率多值中智加權(quán)平均（PMVMMWA）算子和概率多值中智加權(quán)幾何（PMVMMGA）算子對(duì)上述案例進(jìn)行決策，計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表4 三種方法的排序結(jié)果Table 4 Sort results of three methods

從表4 可以看出PMVMMWA 算子和PMVMMWG算子得到的結(jié)果與本文的結(jié)果存在部分差異，但本文模型具有以下優(yōu)勢(shì)：（1）文獻(xiàn)[11]所提的方法與本文模型相比步驟復(fù)雜且耗時(shí)過多，而本文模型的計(jì)算過程簡(jiǎn)單且易于理解；（2）本文模型較文獻(xiàn)[11]相比考慮了方案的整體，即關(guān)聯(lián)系數(shù)是將方案看作一個(gè)整體考慮的，并通過方案與理想方案之間的關(guān)聯(lián)程度體現(xiàn)各方案的優(yōu)劣，因此計(jì)算結(jié)果更直觀。

5 結(jié)語

針對(duì)關(guān)于研究概率多值中智集關(guān)聯(lián)系數(shù)較少的現(xiàn)狀，本文首先提出了概率多值中智集的期望關(guān)聯(lián)系數(shù)、精確度關(guān)聯(lián)系數(shù)和信息完全度關(guān)聯(lián)系數(shù)，然后提出了帶有參數(shù)的概率多值中智綜合關(guān)聯(lián)系數(shù)和一系列加權(quán)關(guān)聯(lián)系數(shù)，建立一種概率多值中智多屬性決策模型，最后通過具體案例證明了該模型的有效性。雖然本文所提的關(guān)聯(lián)系數(shù)可應(yīng)用到模式識(shí)別和聚類分析領(lǐng)域中，但該關(guān)聯(lián)系數(shù)假設(shè)屬性之間是完全獨(dú)立的，而在現(xiàn)實(shí)情況中，屬性之間可能存在相關(guān)關(guān)系，因此在后續(xù)的研究中將關(guān)注其他形式的概率多值中智關(guān)聯(lián)系數(shù)。