張 勇,郭志飛*,甄希金,張敬芳

(1.河北機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程系,河北 邢臺(tái) 054001;2.上海船舶工藝研究所,上海 200032)

0 引 言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度好、運(yùn)動(dòng)精度高、易在線控制等優(yōu)點(diǎn),在許多工業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用廣泛[1]。對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、動(dòng)力學(xué)性能優(yōu)化和實(shí)時(shí)控制都具有重要的意義[2]6-7。

對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析需要系統(tǒng)的方法[2]119,并聯(lián)機(jī)構(gòu)的力學(xué)分析也是并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究的基本問題[3-5]。目前,國(guó)內(nèi)外在并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析方面取得了較大的成果,常用的并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析方法有Lagrange方法、Newton-Euler法和Kane方法[6-7]。YANG D C H[8]利用Newton-Euler法研究了Stewart平臺(tái)的逆動(dòng)力學(xué)問題;但該研究忽略了關(guān)節(jié)的摩擦和桿的力矩慣量,并且其假設(shè)桿的中心位于桿的軸線上。JI Zhi-ming[9]在1994年建立了Stewart平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)方程,并且該方程考慮了腿部轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)Stewart平臺(tái)的影響。CODOUREY A[10]介紹了基于拉格朗日方程和虛功原理的并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模方法,其中Lagrange方法是以能量為基礎(chǔ)建立的動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)模型,該方法能夠得到形式簡(jiǎn)潔的動(dòng)力學(xué)方程,十分適用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析[11];但是,該方法的不足之處是其無法進(jìn)行約束力分析,Kane方法亦然。在多數(shù)情況下,Newton-Euler法被用于對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的約束力進(jìn)行分析研究,但其過程復(fù)雜、方程數(shù)量龐大、易出錯(cuò)[12,13]。

綜上,本文開展基于逆動(dòng)力學(xué)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)約束力的分析研究,通過建立三平移Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)的Lagrange動(dòng)力學(xué)模型,使用二階影響系數(shù)矩陣求解滑塊的加速度,對(duì)三平移Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)滑塊的約束力進(jìn)行分析和求解,為三平移Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1 Lagrange動(dòng)力學(xué)模型建立

本文所研究的三平移動(dòng)Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示。

圖1 三平移Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)

圖1中,該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的主要組成部分有:固定平臺(tái)、導(dǎo)軌、滑塊、連桿、動(dòng)平臺(tái)等。當(dāng)3個(gè)滑塊以不同規(guī)律運(yùn)動(dòng)的時(shí)候,動(dòng)平臺(tái)就可以實(shí)現(xiàn)沿X、Y、Z方向的平動(dòng),以及各種耦合形式的運(yùn)動(dòng)。

為了便于后續(xù)分析,筆者將該并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化,機(jī)構(gòu)位置結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖2所示。

圖2 機(jī)構(gòu)位置結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖2中,固定平臺(tái)簡(jiǎn)化為等邊三角形A1A2A3,其外接圓半徑為R;動(dòng)平臺(tái)簡(jiǎn)化為等邊三角形B1B2B3,其外接圓半徑為r;在動(dòng)平臺(tái)上建立動(dòng)坐標(biāo)系,動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)位于動(dòng)平臺(tái)B1B2B3的中心,x軸垂直于B1B2,y軸平行于B1B2,z軸由右手坐標(biāo)系得到;在固定平臺(tái)上建立靜坐標(biāo),原點(diǎn)O位于三角形A1A2A3的角平分線的交點(diǎn),坐標(biāo)軸的建立和動(dòng)平臺(tái)相同。

該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)

本文研究的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的材料為45#鋼,動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量ma=0.336 kg,滑塊的質(zhì)量為m1=0.167 kg,連桿的質(zhì)量為m2=0.028 kg。

通過對(duì)該機(jī)構(gòu)分析,得到該機(jī)構(gòu)的Lagrange動(dòng)力學(xué)模型[14-16],表示廣義坐標(biāo)x、y、z方向上廣義力:

(1)

記為:

(2)

通過力的雅各比矩陣得出在驅(qū)動(dòng)滑塊所需的驅(qū)動(dòng)力表達(dá)式為:

(3)

鑒于文章篇幅,此處不再詳細(xì)列出其推導(dǎo)過程。

2 三平移Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)加速度分析

2.1 三平移Delta機(jī)構(gòu)的二階影響系數(shù)矩陣

根據(jù)三平移Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性質(zhì)可知,當(dāng)確定3個(gè)驅(qū)動(dòng)滑塊的輸入位移d1、d2、d3,動(dòng)平臺(tái)的位姿可以由其質(zhì)心坐標(biāo)x、y、z唯一確定。

動(dòng)平臺(tái)的位姿可以表示為U={x,y,z}T,對(duì)應(yīng)的3個(gè)驅(qū)動(dòng)滑塊的位置為d={d1,d2,d3}T,如圖3所示。

圖3 三平移Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化圖

根據(jù)圖3可列出位移方程組:

(4)

輸入位移d1、d2、d3和輸出廣義坐標(biāo)x、y、z均隨時(shí)間變化,將式(4)對(duì)時(shí)間進(jìn)行隱函數(shù)求導(dǎo),可以得到:

(5)

整理后可以得到其矩陣形式,即:

(6)

(7)

式中:矩陣[G]—該三平移Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一階影響系數(shù)矩陣(Jacobian矩陣)[17]182-185。

式(7)再次對(duì)時(shí)間求導(dǎo),經(jīng)簡(jiǎn)化整理后可得:

(8)

式(8)可以寫成矩陣形式:

(9)

式中:[H]—該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的二階段影響矩陣(Hessian矩陣)[17]186-190。

從式(8,9)可得到二階段影響矩陣的表達(dá)式為:

(10)

將二階段影響矩陣展開,有:

(11)

由式(11)可以看出,二階影響系數(shù)矩陣[H]是一個(gè)三維立體矩陣,即二階影響系數(shù)矩陣中的每個(gè)元素均為一個(gè)3×1的列向量。每個(gè)元素表達(dá)式為[17]189-190:

(12)

2.2 三平移Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)加速度分析和計(jì)算

設(shè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的加速度表示為:a0={ax,ay,az}T,3個(gè)滑塊的加速度為:ad={a1,a2,a3}T,根據(jù)式(9)可以求出驅(qū)動(dòng)滑塊加速度,即:

(13)

式中:v0—?jiǎng)悠脚_(tái)的速度，v0={vx,vy,vz}T;[J]—一階影響系數(shù)矩陣,式(7)中矩陣[G]的逆矩陣;[Hd]{d=1,2,3}—二階影響系數(shù)矩陣。

[Hd]展開后的表達(dá)式為:

(14)

(15)

(16)

在該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)添加空間圓錐螺旋線的運(yùn)動(dòng)軌跡,其曲線方程為:

(17)

在該運(yùn)動(dòng)軌跡下,使用MATLAB求解三平移Delta機(jī)構(gòu)3個(gè)驅(qū)動(dòng)滑塊的加速度,得到的加速度時(shí)間曲線如圖4所示。

圖4 三平移Delta機(jī)構(gòu)加速度時(shí)間曲線(MATLAB)

圖4中,從左向右依次為驅(qū)動(dòng)滑塊1、滑塊2和滑塊3的加速度時(shí)間曲線.

2.3 三平移Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)加速度仿真分析

在ADAMS中建立該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī),如圖5所示。

圖5 三平移Delta機(jī)構(gòu)加速度時(shí)間曲線

在并聯(lián)機(jī)構(gòu)虛擬樣機(jī)的動(dòng)平臺(tái)上添加運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng),運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)軌跡方程如式(17)所示。圖5為Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)仿真,顯示出動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡為空間圓錐螺旋線[18-19]。

仿真完成后,可得3個(gè)驅(qū)動(dòng)滑塊的加速度時(shí)間曲線,如圖6所示。

圖6 三平移Delta機(jī)構(gòu)加速度時(shí)間曲線(ADAMS)

圖6中,從左至右依次為滑塊1、滑塊2、滑塊3的加速度時(shí)間曲線。

在圖4中,t=1 s時(shí),滑塊一的加速度a1=0.079 9 m/s2;t=2 s時(shí),滑塊二加速度a2=-0.045 m/s2;t=3 s時(shí),滑塊三的加速度為a3=0.21 m/s2。

而在圖6中,即ADAMS的仿真結(jié)果中,t=1 s,滑塊一的加速度a1=0.079 9 m/s2;t=2 s時(shí),滑塊二的加速度a2=0.045 m/s2;t=3 s時(shí),滑塊三的加速度a3=0.21 m/s2?？梢钥闯?ADAMS仿真得到加速度的值與在MATLAB數(shù)值計(jì)算的結(jié)果吻合,驗(yàn)證了該加速度逆解數(shù)學(xué)模型的正確性,也證明了ADAMS仿真的正確性。

3 驅(qū)動(dòng)滑塊約束力分析

3.1 三平移Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)的約束力分析基礎(chǔ)

為方便三平移Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)約束力的分析,需要做一些準(zhǔn)備工作,具體如下:

(1)以驅(qū)動(dòng)滑塊1為例,設(shè)動(dòng)平臺(tái)中心坐標(biāo)在靜坐標(biāo)系中表示為Om(xm,ym,zm),與驅(qū)動(dòng)滑塊1相連的連桿B1C1兩端的坐標(biāo)點(diǎn)分別用B1和C1表示:

(18)

(19)

可以得到連桿B1C1的向量為:

(20)

根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解,在已知?jiǎng)悠脚_(tái)位姿時(shí),3個(gè)驅(qū)動(dòng)滑塊的Z方向位移可以表示為d1、d2和d3:

(21)

篇幅所限，這里不再給出其具體求解過程。

(2)該Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)的3個(gè)分支均為4S閉環(huán),并且為平行四邊形,如圖7所示。

圖7 Delta機(jī)構(gòu)4S平行四邊形閉環(huán)

球鉸1、2處連接驅(qū)動(dòng)滑塊,球鉸3、4處連接動(dòng)平臺(tái),根據(jù)螺旋理論可以知道,球鉸1、2處的約束力方向均是沿著分桿13和分桿24的軸向[20],本文將該并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化。

在圖7中,筆者將4S平行四邊形機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化成一個(gè)連桿,即球鉸1和2合并,3和4合并。

驅(qū)動(dòng)滑塊受力分析圖8所示。

圖8 驅(qū)動(dòng)滑塊受力分析圖

(3)連桿B1C1約束力分析如圖9所示。

圖9 連桿B1C1約束力分析

圖9中,在連桿B1C1中,作用在滑塊1中球鉸的約束力方向沿向量連桿B1C1軸線方向。為了方便求解連桿兩端球鉸水平方向約束力,筆者在連桿B1C1兩端球鉸球心處添加兩個(gè)局部坐標(biāo)系Ol-xlylzl和Op-xpypzp,兩個(gè)局部坐標(biāo)系的X、Y、Z軸均和世界坐標(biāo)系的X、Y、Z軸方向一致。

3.2 約束力豎直方向分力求解及仿真

根據(jù)前面的分析,可以得到驅(qū)動(dòng)滑塊豎直方向受力情況,如圖10所示。

圖10 驅(qū)動(dòng)滑塊受力分析圖

該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的材質(zhì)為鐵,滑塊1上的驅(qū)動(dòng)力為F1,加速度為ad1,球鉸處對(duì)驅(qū)動(dòng)滑塊在豎直方向的約束力分力用F21表示。根據(jù)圖10,在忽略摩擦力的前體下,滑塊1豎直方向的受力為:

F1+Fg+F21=ma

(22)

筆者在MATLAB對(duì)式(22)進(jìn)行求解,得到球鉸豎直方向的分力如圖11所示。

圖11 MATLAB中驅(qū)動(dòng)滑塊1處球鉸約束豎直方向分力

筆者在ADAMS中對(duì)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真,給3個(gè)驅(qū)動(dòng)滑塊添加驅(qū)動(dòng),動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡如式(17)。

對(duì)驅(qū)動(dòng)滑塊處球鉸約束力豎直分力進(jìn)行求解,得到球鉸的約束力豎直方向受力如圖12所示。

圖12 ADAMS中驅(qū)動(dòng)滑塊1處約束力的豎直方向分力

從圖11、圖12可以看出:兩者的結(jié)果吻合,驗(yàn)證了Lagrange方程和二階影響系數(shù)矩陣對(duì)球鉸連接處豎直方向約束力分析結(jié)果的正確性。

3.3 約束力水平方向分力分析

對(duì)約束力水平方向分力的分析將會(huì)涉及到連桿,需要建立連桿的質(zhì)心連體坐標(biāo)系ol-xlylzl和質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系op-xpypzp,對(duì)連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行坐標(biāo)間變換,這里研究對(duì)象為連桿B1C1。

圖13 連桿的連體坐標(biāo)系和質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系

質(zhì)心連體坐標(biāo)系的原點(diǎn)仍定義在連桿B1C1質(zhì)心處,質(zhì)心連體坐標(biāo)系的Z軸正向單位向量定義如式(23)所示,根據(jù)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸,得到其表達(dá)式為式(24),為了便于表達(dá),Z軸正向單位向量在靜坐標(biāo)系各軸分量用zl1、zl2、zl3表示,即:

(23)

(24)

坐標(biāo)系ol-xlylzl的其他坐標(biāo)軸的正向單位向量定義表達(dá)式為:

(25)

(26)

根據(jù)式(24～26),可以確定出質(zhì)心連體坐標(biāo)系o1-x1y1z1相對(duì)于質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系的方向余弦矩陣為:

(27)

根據(jù)剛體的慣量張量在連心坐標(biāo)系間的變換公式[21],已知連桿B1C1在質(zhì)心連體坐標(biāo)系下的慣性張量Il和連體坐標(biāo)系相對(duì)于質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系的方向余弦矩陣Cpl,可以求出連桿B1C1在質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系的慣性張量Ip。連體坐標(biāo)系O1-x1y1z1為連桿的慣性主軸坐標(biāo)系,可知連桿在質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性張量Ip,即:

Ip=[Cpi]*Il*[Cpi]T

(28)

經(jīng)分解后得到的連桿所受約束力如圖14所示。

圖14 連桿的所受約束力分解

根據(jù)上述分析以及剛體一般運(yùn)動(dòng)微分方程(8),可以寫出連桿沿質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系的xp軸方向的受力平衡方程和繞yp軸的力矩平衡方程,即:

(29)

(30)

通過MATLAB對(duì)式(29)進(jìn)行解算,并在ADAMS中獲取對(duì)應(yīng)球鉸的水平方向X軸約束力。

MATLAB中球鉸C1的X方向分力如圖15所示。

圖15 MATLAB中計(jì)算得出球鉸C1的X方向分力

ADAMS中球鉸C1的X方向分力如圖16所示。

圖16 ADAMS中計(jì)算得出球鉸C1的X方向分力

在該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的ADAMS仿真模型中,一個(gè)分支有4個(gè)球鉸,而文中的數(shù)學(xué)計(jì)算模型對(duì)分支球鉸進(jìn)行了合并,故ADAMS仿真對(duì)一個(gè)分支中同一端的兩個(gè)球鉸在X方向的約束分力進(jìn)行求和。

由圖(15，16)可看出:在MATLAB和ADAMS中,計(jì)算得到的球鉸約束力的X方向分力比較接近,存在的細(xì)微偏差是由于合理假設(shè)導(dǎo)致的,該結(jié)果驗(yàn)證了本文對(duì)約束力分析的正確性。

球鉸約束力的Y、X方向分量分析過程類似,此處不再重復(fù)。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文的結(jié)論,筆者使用現(xiàn)有的三平移Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn),如圖17所示。

圖17 三平移Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)

圖17中,該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的控制單元采用Arduino板,對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)進(jìn)行軌跡規(guī)劃,使其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5中的螺旋線。

筆者使用MPU-6050加速度計(jì)采集驅(qū)動(dòng)滑塊1的豎直方向的加速度數(shù)據(jù),并使用均值濾波得到較平滑的數(shù)據(jù);在MATLAB中打開該加速度文件,并繪制折線圖,如圖18所示。

圖18 MPU-6050加速度計(jì)采集的滑塊1的加速度數(shù)據(jù)

筆者根據(jù)式(22)和滑塊1的豎直方向加速度數(shù)據(jù)得到其豎直方向的合外力,如圖19所示。

圖19 實(shí)驗(yàn)所得的滑塊1所受合外力

從圖19中可以看到:驅(qū)動(dòng)滑塊1的合外力和圖11中通過公式計(jì)算所得的合外力數(shù)據(jù)趨勢(shì)吻合;其最大值、最小值也比較接近。該結(jié)果驗(yàn)證了本文結(jié)論的正確性。

5 結(jié)束語

本研究使用Lagrange方程和二階影響系數(shù)矩陣,建立了三平移Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)滑塊球鉸處的約束力方程,運(yùn)用MATLAB對(duì)約束力方程進(jìn)行了求解,并用ADAMS方程對(duì)約束力方程進(jìn)行了驗(yàn)證;最后,通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。

研究結(jié)果表明:

(1)使用Lagrange方程和二階影響系數(shù)矩陣建立的約束力方程,其表達(dá)式規(guī)范、簡(jiǎn)潔,方程數(shù)量減少約1/2;

(2)將二階影響系數(shù)矩陣和Lagrange方程結(jié)合,分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)的約束力,簡(jiǎn)化了約束力的推導(dǎo)過程,得到的約束力分析結(jié)果準(zhǔn)確,有一定程度的方法創(chuàng)新。

下一階段,筆者將會(huì)把本研究成果推廣應(yīng)用到其他構(gòu)型的并聯(lián)機(jī)構(gòu),以提升該約束力算法的通用性、穩(wěn)定性和運(yùn)算速度;并且,筆者還將致力于開發(fā)具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)專用三維動(dòng)力學(xué)分析軟件系統(tǒng)。