胡貴平

(甘肅省白銀市第一中學(xué) 730900)

解析幾何中證明直線過定點(diǎn)，一般是選擇參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換，通過推理、計(jì)算，找出參數(shù)之間的關(guān)系，并消去部分參數(shù)，將直線方程化為點(diǎn)斜式方程，從而得到直線所過的定點(diǎn).當(dāng)定點(diǎn)具備一定的限制條件時(shí)，可先探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).

一、試題呈現(xiàn)

(1)求C的方程；

(2)點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足.證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值.

本題綜合考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素，考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題.

二、試題解析

(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0

①

當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx+m,如圖1.

代入橢圓方程消去y并整理,得

(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0，

②

根據(jù)y1=kx1+m,y2=kx2+m,

代入①整理，可得

(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0

將②代入，

整理化簡(jiǎn)得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0，

因?yàn)锳(2,1)不在直線MN上，所以2k+m-1≠0，

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，可得N(x1,-y1)，如圖2.

①

三、引申探究

對(duì)于橢圓上一點(diǎn)作張角為直角所對(duì)的弦是否都過定點(diǎn)呢？

當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx+m,

②

根據(jù)y1=kx1+m,y2=kx2+m,代入①整理，

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，可得N(x1,-y1),

性質(zhì)3 過拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)P(x0,y0)作兩條互相垂直的弦PM，PN，則直線MN恒過定點(diǎn)(2p+x0,-y0).

過圓錐曲線上一點(diǎn)P(x0,y0)作兩條直線互相垂直加強(qiáng)到兩條直線斜率之積是定值，是否仍然有張角所對(duì)的弦必過定點(diǎn)？

即d(x1-x0)(x2-x0)-(y1-y0)(y2-y0)=0,①

當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx+m,

②

根據(jù)y1=kx1+m,y2=kx2+m,代入①整理，

過圓錐曲線上一點(diǎn)P(x0,y0)作兩條直線斜率之積是定值，拓展到兩條直線斜率之和是定值，是否仍然有張角所對(duì)的弦必過定點(diǎn)？

①

當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx+m,

②

根據(jù)y1=kx1+m,y2=kx2+m,代入①整理，

圓錐曲線上一定點(diǎn)P與另外兩點(diǎn)M，N的斜率之和或斜率之積為定值時(shí)，在斜率存在時(shí)，可設(shè)MN的方程y=kx+m與圓錐曲線方程聯(lián)立，根據(jù)斜率之和或斜率之積建立起參數(shù)k，m之間的關(guān)系(若是關(guān)于k，m之間是一元二次方程，要特別注意因式分解)，就可以得出直線過的定點(diǎn)，再在直線斜率不存在時(shí)單獨(dú)驗(yàn)證.