劉彥永

(吉林省長春市東北師范大學附屬中學 130000)

2020年高考新課標Ⅰ卷文科第21題，引起了筆者的深入探索和思考.題目如下：

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點.

一、試題分析

本題也是2020年高考全國1卷理科第20題，考查了曲線的方程和圓錐曲線中直線過定點問題.問題由淺入深，對計算難度、思維深度的要求逐步提高.考查學生的推理論證能力和代數(shù)運算能力.考查層次分明、區(qū)分度較高，能使學生充分展示理性思維的廣度和深度和數(shù)學核心素養(yǎng).

二、解法探究

圖1

本題第(2)問的解法很多，不同的解法體現(xiàn)不同的思維層次和思考角度，要求學生要有一種勇于探索、敢于實踐的精神.

解析(1)根據(jù)題意作圖如下：

下面對第二問深入探討：

解法1設(shè)點表線解決問題

(2)證明：設(shè)P(6,t)，則直線AP的方程為

整理得(t2+9)x2+6t2x+9t2-81=0，

點評對滿足一定條件曲線上兩點連結(jié)所得直線過定點問題，設(shè)該直線上兩點的坐標，建立點的坐標滿足的方程，求出相應的直線，然后再說明直線過定點.

解法2 設(shè)點設(shè)線解決問題

(*)

整理得4x1x2-15(x1+x2)+36=0，

即4(ty1+n)(ty2+n)-15(ty1+ty2+2n)+36=0，

點評解法2巧妙利用坐標的平方，再結(jié)合點在橢圓上處理問題，這就是曲線代換，2011年四川理科高考圓錐曲線題就可以用曲線代換解決.反設(shè)直線也避免了討論斜率是否存的情況，事實上，先討論斜率不存在，再設(shè)直線CD方程為y=kx+m解決問題也會有巧妙處理技巧，在此不贅述.

解法3整體法解決問題

同解法2可知，2tny1y2=(9-n2)(y1+y2)

(**)

整理得2ty1y2+3(n-3)y1-(n+3)y2=0，結(jié)合(**)式有

(2n2-9n+9)y1+(-2n2-3n+9)y2=0，

點評解法3利用韋達定理很難處理，然而利用(**)式進行替換，利用整體法就很巧妙地解決了問題.這種代數(shù)變形的技巧需要積累多了才能用得靈活.

解法4先猜后證解決問題

證明：根據(jù)已知條件的特征和橢圓的對稱性，可以猜想到該定點一定在x軸上.

當直線CD斜率不存在時，得t2=3，

解法5 參數(shù)方程解決問題

設(shè)P(6,t)、C(3cosα,sinα)、D(3cosβ,sinβ).

點評利用參數(shù)方程巧妙地用一個參數(shù)表示出橢圓上點的坐標，結(jié)合三角函數(shù)公式快速解決問題.2010年陜西、遼寧、寧夏高考圓錐曲線解答題均可用參數(shù)方程解決.

解法6 極點極線解決問題

點評基于高等數(shù)學的極點和極線知識命題是命題人的一個常見思路，這在全國各地的考題中屢見不鮮.盡管此法簡潔，但不宜作為解答題的解法，也不建議教師突出本解法而沖淡常規(guī)解法.值得一提的是本題的第(2)問與2010年江蘇高考試題18題第(3)問本質(zhì)完全一樣，幾乎就是“撞衫”題.

圓錐曲線中的定點問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就要用變化的量表示目標量，目標量不受變化的量所影響的那個點就是要求的定點.化解這類問題難點的關(guān)鍵就是引進變的參數(shù)表示目標量，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.

圓錐曲線解答題主要考察學生的運算能力，因此在備考過程中要培養(yǎng)學生敢想、會算、有信心能算對.這就要求教師首先對試題的解法深入的探究，然后在教學中踐行所掌握的知識技能和思想方法，最后使學生的思維更廣闊、思想更深刻.