付 軍

(安徽省六安皋城中學 237000)

筆者是初中的一名數(shù)學教師，近日在陪同初三學生學習的過程中，遇到了這樣一道題目，通過教學中學生的探究與作答，與出題人給于的參考答案進行對比，發(fā)現(xiàn)了一些問題，引發(fā)了筆者的一些思考.

一、原題重現(xiàn)

例1 (浙江省寧波市中考題)若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形．

(1)已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，請直接寫出所有滿足條件的AC的長；

(2)如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求證：△ABC是比例三角形．

二、參考答案重現(xiàn)

解(1)因為△ABC是比例三角形，且AB=2、AC=3，

(2)因為AD∥BC，所以∠ACB=∠CAD，

又因為∠BAC=∠ADC，所以△ABC∽△DCA，

因為AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD，

因為BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD，

所以∠ADB=∠ABD，所以AB=AD，

所以CA2=BC·AB，

所以△ABC是比例三角形；

因為AD∥BC，∠ADC=90°，所以∠BCD=90°，

所以∠BHA=∠BCD=90°，

又因為∠ABH=∠DBC，所以△ABH∽△DBC，

三、題型分析

此題目類型屬于近些年比較流行的“新定義”型.所謂“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了初中數(shù)學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結合已有知識、能力進行理解，根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.通過該題目的三個設問來看，筆者認為，出題人的意圖應該是給定“比例三角形”這樣一個沒有學過的一些概念，從而在學生理解概念的基礎上，設置了三個問題.第一個問題意在考查“比例三角形”簡單應用；第二個問題意在考查如何判定“比例三角形”；第三個問題需要結合輔助線的添加以及相似三角形的相關知識，意在考查“比例三角形”的靈活運用.

四、問題呈現(xiàn)

筆者所在學校的學生為電腦搖號分班，班級兩極分化現(xiàn)象較為嚴重.學生們在做這道題目時，大部分同學只能完成前兩個問.對于第三個問，學生做起來有一定難度.為了使題目有區(qū)分度，出題人這樣設置三個問題無可厚非.但筆者發(fā)現(xiàn)成功做出第三問正確答案的同學，幾乎都沒有選擇參考答案提供的方法.這引起了筆者的思考，是學生們的思維方式有問題還是第三問的設問有問題？下面將學生的做法呈現(xiàn)如下：

設AD=AB=a,DC=b.

在Rt△ADC中,根據(jù)勾股定理可得AC2=AD2+DC2=a2+b2;

在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理可得BC2=AC2+AB2=2a2+b2;

在Rt△BCD中,根據(jù)勾股定理可得BD2=BC2+CD2=2a2+2b2.

這種做法很明顯比參考答案更簡潔，學生也更容易理解，但問題在于如果用這樣方法的話，解答過程中和“比例三角形”這個概念關系不大，甚至可以跳脫出這個題目，單獨將第三問設立為一個獨立問題：

五、筆者思考

一道題目的設問，梯度上應該是由易到難，層層遞進.幾個設問之間也應該是相互呼應，考查方向明確而且符合學生的認知水平.基于以上考慮，筆者認為，此題第三個設問，如果改成

“(3)如圖2，在(2)的條件下，當∠ADC=90°時，求的值．”是否更自然，合理一些？這樣的更改的話，如果學生依然沿用“勾股定理”的解法，解答如下：

設AD=AB=a,DC=b.

在Rt△ADC中,根據(jù)勾股定理可得AC2=AD2+DC2=a2+b2;

在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理可得BC2=AC2+AB2=2a2+b2;

發(fā)現(xiàn)無法解答，進而在思維困惑下，重新回歸題目，發(fā)現(xiàn)設AB=x,BC=y.

利用第二個設問的結論，可以得AC2=AB·BC=xy,

在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理可得BC2=AC2+AB2.

這樣設問使得題目更連貫也更符合學生的認知，而且此題的答案是黃金分割知識中的黃金數(shù)，因而可以在此基礎帶領學生們進一步探究AB和BC的交點O的特殊性.第四個設問也應運而生：交點O是否為線段AB的黃金分割點？交點O是否為線段BC的黃金分割點？

筆者認為，“解題”的目的不僅是為找到正確答案，更重要的是搞清問題的來龍去脈，建立學習的整體結構，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).“理解數(shù)學一理解教學一理解學生”，讓學生在學習的過程中逐步達成“獲得數(shù)學的基本思想’的目標，提高數(shù)學素養(yǎng)，發(fā)展思維能力.問題之解此中來,“問題”與“解”才更有價值.