齊 磊

(江蘇省豐縣中等專業(yè)學(xué)校 221700)

一、合理利用一次函數(shù)方法

若已知一個(gè)一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)，并且y=f(x)在[m,n]內(nèi)有f(x)>0恒成立，那么由函數(shù)的圖象就可以很輕易得到上述結(jié)論與下式相等.

圖1

例1 給出條件如下：假設(shè)一個(gè)實(shí)數(shù)p滿足|p|≤2,求使不等式x2+px+1>p+2x恒成立的x的取值范圍.

思考這個(gè)題目的不等式中有兩個(gè)字母：x和p,把哪個(gè)字母看成是變量就是解決這道題的突破口，然后把另外一個(gè)當(dāng)作是常數(shù)，如果將p當(dāng)作是自變量，那么上述問題就變成了當(dāng)p∈[-2,2]時(shí)，就可以得到p的一次函數(shù)值恒大于O.

解析由題意得，不等式x2+px+1>p+2x.

則(x-1)p+x2-2x+1>0.

二、合理運(yùn)用二次函數(shù)法

也可以用韋達(dá)定理及根的分布的相關(guān)知識(shí)求解二次函數(shù)在某些指定區(qū)間上的恒成立問題.

例2 給出y=x2-2ax+2，存在f(x)≥a恒成立的條件是x∈[-1,+∞)，求a的取值范圍.

思考設(shè)法將問題轉(zhuǎn)化成x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立的問題，那么就可以把a(bǔ)移動(dòng)到等式的左邊，這樣就簡單很多.

解析假設(shè)F(x)=x2-2ax+2-a.

①如果Δ=4(a-1)(a+2)≤0，等價(jià)于-2≤a≤1時(shí)，對一切滿足x∈[-1,+∞)，F(xiàn)(x)≥0條件的式子都恒成立；

②如果Δ=4(a-1)(a+2)>0時(shí)，與圖象相結(jié)合就能得到下面這些充分必要條件：

解得-3≤a≤-2.

結(jié)合上述分析，得a的取值在[-3,1]之間.

三、合理運(yùn)用分離變量法

如果等式或者不等式中存在兩個(gè)變量，并且已知其中一個(gè)變量的范圍，題目要求是求另一個(gè)變量的范圍，而且可以通過恒等變形的方法將這兩個(gè)變量分別放在等式或者不等式的兩邊，那么就可以把恒成立問題轉(zhuǎn)變成函數(shù)的最大值或最小值來求解.

思考由題意可知，在不等式里有兩個(gè)變量a和x，其中告知了x的范圍(x∈R)，要求題中另外一個(gè)變量a的范圍，因此可以采用把a(bǔ)從式子里分離出來的方法.

f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3≤3.

特別提醒：觀察到題目中有sinx和cosx,且cos2x=1-2sin2x，因此如果把sinx換元成為t，那么就可以把原來的不等式轉(zhuǎn)化成為一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù)類型.

除此之外，還有另一種解法：

因此f(t)在[-1,1]范圍內(nèi)單調(diào)遞減.

四、運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)法

思考因?yàn)樵坏仁匠闪⒌臈l件是自然數(shù)n要大于1，因此等式左邊的最小值應(yīng)該大于等于右邊，可以先求等式左邊的最小值.

恒成立問題具有很高的研究探索價(jià)值，它不僅可以鍛煉學(xué)生的思維能力，還可以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)從多個(gè)方面思考問題，培養(yǎng)了學(xué)生細(xì)心謹(jǐn)慎的品質(zhì)，幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)和提高運(yùn)算能力.對于數(shù)學(xué)的研究也有巨大幫助，為數(shù)學(xué)的探究發(fā)展提供了新思路和新方法.