劉穩(wěn)殿 柯遵友

(陜西省白河縣白河高級(jí)中學(xué) 725800)

人們對(duì)于求解一元三次方程的根有著執(zhí)著的追求，例如卡爾丹、范盛金分別給出了求一元三次方程根的方法與公式.文獻(xiàn)[1]重溫了卡爾丹的求解過(guò)程，文獻(xiàn)[2]在研究多項(xiàng)式函數(shù)零點(diǎn)的共性與個(gè)性時(shí)詳細(xì)介紹了盛金公式，盛金公式對(duì)于研究三次函數(shù)的零點(diǎn)做出了極大的貢獻(xiàn).2018年全國(guó)Ⅱ卷文科數(shù)學(xué)高考導(dǎo)數(shù)題的第(2)問(wèn)就是一個(gè)有關(guān)三次函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，文獻(xiàn)[3]對(duì)于此題的解法有著詳細(xì)的描述.本文利用盛金公式重新證明了該高考題的第(2)問(wèn).

一、盛金公式內(nèi)容

對(duì)于一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a,b,c,d∈R，且a≠0)，有重根判別式：A=b2-3ac，B=bc-9ad，C=c2-3bd，總判別式：

Δ=B2-4AC

當(dāng)A=B=0時(shí)，盛金公式①：

當(dāng)Δ=B2-4AC>0時(shí)，盛金公式②：

當(dāng)Δ=B2-4AC=0時(shí)，盛金公式③：

當(dāng)Δ=B2-4AC<0時(shí)，盛金公式④：

二、盛金判別法

當(dāng)A=B=0時(shí)，方程有一個(gè)三重實(shí)根；

當(dāng)Δ=B2-4AC>0時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根和一對(duì)共軛虛根；

當(dāng)Δ=B2-4AC=0時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)根，其中有一個(gè)兩重根；

當(dāng)Δ=B2-4AC<0時(shí)，方程有三個(gè)不相等的實(shí)根.

三、盛金公式應(yīng)用

(1)若a=3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

解析(1)利用導(dǎo)數(shù)的常規(guī)解法，略.

所以方程f(x)=0只有一個(gè)實(shí)根.

即f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

四、總結(jié)

盛金公式在求解三次函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)有著優(yōu)于分離參數(shù)法及討論極值法的便捷與迅速.但導(dǎo)數(shù)題中非三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題更適合利用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行分離參數(shù)或討論極值等方法進(jìn)行求解.