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        類正弦定理猜想的否定

        2021-08-05 09:22:04甘志國
        數(shù)理化解題研究 2021年19期
        關(guān)鍵詞:題設(shè)正弦內(nèi)角

        甘志國

        (北京豐臺二中 100071)

        筆者在文[1]中提出了如下猜想:

        類正弦定理猜想在△ABC中,若滿足下列條件之一,則A=B=C:

        下面的定理3,4,5,6,7(其證明只用到了三角函數(shù)的恒等變形)分別否定了類正弦定理猜想的(1)(2)(3).

        證明由題設(shè)及三角形內(nèi)角和定理、正弦定理,可得

        ?k=8n±1(|n|∈N*).

        證明由題設(shè)及三角形內(nèi)角和定理,得

        =0(k≠1.5n,n∈Z)

        ?k=12n±1(n∈Z)

        由正弦定理,可得

        ?2cos3A-cosA=2cos3C-cosC

        ?2cos3A-cosA=2cos3(π-2A)-cos(π-2A)

        ?2cos3A-cosA=-2(2cos2A-1)3+(2cos2A-1)

        所以欲證結(jié)論成立.

        證明由題設(shè)及三角形內(nèi)角和定理、正弦定理,可得

        進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.

        證明由題設(shè)及三角形內(nèi)角和定理、正弦定理,可得

        進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.

        以上研究可能離高中數(shù)學(xué)教學(xué)有點(diǎn)遠(yuǎn),但下面的三道原創(chuàng)題是適合有興趣的高中師生練習(xí)的.

        題1在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c.

        (1)請選擇下面的一個條件,證明A=B=C.

        題2在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c.

        (1)請選擇下面的一個條件,證明A=B=C.

        題3在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c.

        (1)請選擇下面的一個條件,證明A=B=C.

        題1的參考答案(1)見文[1]中對開頭題目的解答及定理1[1]的證明.

        題2的參考答案(1)見文[1]中對開頭題目的解答.

        題3的參考答案(1)見文[1]中對開頭題目的解答及定理2的證明.

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